Función de varias variables

En matemáticas y más especialmente en análisis de vectores , una función numérica con varias variables reales es una función de la cual el conjunto inicial $E$ es parte . El conjunto de llegada $F$ puede ser o . El segundo caso se puede reducir con el primer caso por considerar que es en realidad $p$ funciones de llamada coordinar las funciones. $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {R} ^ {p}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R}$

Por tanto, la función es una relación que se asocia con cada n -tupla $x = ( x 1 , x 2 , ..., x n )$ elemento del conjunto inicial uno y sólo un elemento del conjunto final, que llamamos imagen de $x$ por $f$ y denotamos por $f ( x )$ o $f ( x 1 , ..., x n )$ :

{\ displaystyle f: {\ begin {array} {ccc} E & \ longrightarrow & F \\ (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) & \ longmapsto & f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ end {matriz}}}

Si equipamos los dos espacios vectoriales y un estándar , podemos estudiar la continuidad y diferenciabilidad de tales funciones. Al fijar las $n$ variables reales $($ $x$ $1$ $,$ $x$ $2$ $, ...,$ $x$ $n$ $)$ excepto una, volvemos al estudio de funciones de una variable real, con valores en (o incluso en , considerando la $p$ coordinada funciones). Sus derivadas , cuando existen, se denominan derivadas parciales de la función inicial. $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R} ^ {p}$ $\ mathbb {R} ^ {p}$ $\ mathbb {R}$

Fragmentos de historia

La noción de funciones de varias variables aparece al principio de la física en la que estudia a menudo cantidades que dependen de varios otros pero crece significativamente desde el final de la XVII ª siglo . En 1667, James Gregory, en su Vera circuli et hyperbolae quadratura , dio una de las primeras definiciones formales: "una función es una cantidad obtenida de otras cantidades por una sucesión de operaciones algebraicas o por cualquier operación imaginable". El XVIII ª siglo vio el desarrollo del cálculo y la búsqueda de soluciones a las ecuaciones diferenciales y ecuaciones diferenciales parciales . Las funciones con varias variables se manejan tanto como funciones con una sola variable. No fue hasta el final de la XIX XX siglo y el XX XX siglo ver establecida cálculos más rigurosos sobre las derivadas parciales, incluyendo segundas derivadas.

Categorización

El estudio de funciones con varias variables se puede clasificar según el número de variables iniciales y finales. Los objetos estudiados son entonces curvas, superficies, campos escalares o vectoriales.

Objeto	Solicitud	Operaciones específicas
Curva	$f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {n}$	Cálculo de la longitud de un arco , de curvatura .
Área	$f: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {n}$	Cálculo de área , curvatura.
Campo escalar	$f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}$ $f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {C}$	Cálculo del extremo del gradiente de la derivada direccional , del múltiplo integral , de la integral de superficie , en la integral de línea de flujo .
Campo vectorial	$f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}$	Calcule el gradiente de divergencia , de rotación , de integral de superficie , en la integral de línea de flujo .

Analisis multivariable

Los conceptos clásicos de análisis se extienden a funciones de varias variables. La introducción del álgebra lineal es fundamental.

Función parcial en una dirección

Si $a = ( a 1 , ..., a n )$ es un punto de y si $u$ $= ($ $u$ $1$ $, ...,$ $u$ $n$ $)$ es un vector de , llamamos a una función parcial de $f$ en el punto $a a lo$ largo del dirección $u$ la función de la variable real que asocia $f$ $($ $a$ $+$ $tu$ $)$ con la $t$ real . $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$

Cuando $u$ es un vector de base canónica (todos los componentes son cero excepto uno), la función parcial consiste en considerar todas las variables excepto una como constantes. Si solo la $k-$ ésima variable es no constante, hablamos de la $k-$ ésima componente parcial en $una$ función parcial o según la $k-$ ésima coordenada.

f _ {{k, a}} (t) = f (a_ {1}, \ cdots, a _ {{k-1}}, a_ {k} + t, a _ {{k + 1}}, \ cdots, año})

Límites y continuidad

Se elige una norma en , $yf$ es una función de valor real definida en una $E$ abierta de , definimos la continuidad de la siguiente manera: para cualquier punto $a$ de $E$ , $f$ es continua en $a$ si y solo si $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$

\ forall \ varepsilon> 0 \, \ existe \ alpha> 0, (|| xa || <\ alpha {\ text {y}} x \ en E) \ Rightarrow | f (x) -f (a) | < \ varepsilon

El estudio de los límites y la continuidad conduce a muchos resultados contradictorios. Por tanto, si es cierto que una función continua tiene funciones parciales continuas, lo contrario puede resultar falso. Un ejemplo comúnmente citado es el de la función definida por

\ left \ {{\ begin {array} {cl} {\ text {si}} \ (x, y) \ neq (0,0), \ f (x, y) = {\ frac {xy} {x ^ {2} + y ^ {2}}} ~, \\ f (0,0) = 0 ~. \ End {matriz}} \ right.

Sus funciones parciales en $x$ constante o en $y$ constante son continuas mientras que la función no es continua en $(0; 0)$ . En efecto

\ lim _ {{x \ to 0}} f (x, 0) = 0 = \ lim _ {{y \ to 0}} f (0, y)

mientras que la función parcial que sigue la dirección $u = ( a , b )$ no es continua porque

\ lim _ {{t \ to 0, t \ neq 0}} f (ta, tb) = {\ frac {ab} {a ^ {2} + b ^ {2}}}

Incluso hay funciones cuyas funciones parciales son continuas independientemente del sentido elegido, sin que la función lo sea. Así, la función definida por

\ left \ {{\ begin {array} {cl} {\ text {si}} \ (x, y) \ neq (0,0), \ f (x, y) = {\ frac {x ^ {2 } y} {x ^ {4} + y ^ {2}}} ~, \\ f (0,0) = 0 \ end {matriz}} \ right.

tiene funciones parciales continuas en cualquier dirección. Pero si nos acercamos a $(0; 0) de$ acuerdo con la parábola de la ecuación $y = x 2$ , $f ( x , y ) se$ aproxima a 1/2.

Sin embargo, si la E abierta es un producto de intervalos $( E i ) i \in {1, ..., n }$ y si la norma elegida es una norma p o la norma infinita, cuando las funciones parciales $f i$ son Lipschitzianas de razón $k i$ , la función $f$ es entonces Lipschitziana de razón . ${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} k_ {i}}$

Cálculo diferencial

Las derivadas parciales generalizan el concepto de derivada . Una derivada parcial de una función de varias variables es la derivada de esta función según una variable, considerándose las demás constantes.

Se dirá que una función $f$ de in es diferenciable en $a$ $= ($ $a$ $1$ $, ...,$ $a$ $n$ $)$ si hay una expansión de la forma $E \ subconjunto \ R ^ n$ $\ mathbb {R}$

f (a_ {1} + h_ {1}, \ puntos, a_ {n} + h_ {n}) = f (a_ {1}, \ puntos, a_ {n}) + h_ {1} \ alpha _ { 1} + \ puntos + h_ {n} \ alpha _ {n} + o \ izquierda (\ | h \ | \ derecha)

donde denota la norma del vector $h$ de componentes $($ $h$ $1$ $, ...,$ $h$ $n$ $)$ . Cuando la función es derivable, mostramos que los coeficientes reales $α$ $i que$ aparecen en esta expansión son las derivadas parciales de $f$ , es decir las derivadas de las funciones parciales a lo largo de $x$ $i$ . Por lo tanto, notamos ${\ Displaystyle \ | h \ |}$

{\ mathrm d} f (a) (h) = h_ {1} \ cdot {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x_ {1}}} (a) + \ puntos + h_ {n} \ cdot { \ frac {\ parciales f} {\ parciales x_ {n}}} (a)

el diferencial total de $f$ en $a$ .

Al igual que con la continuidad, hay resultados contrarios a la intuición. Por tanto, una función diferenciable tiene derivadas parciales, pero una función que tiene derivadas parciales en $a$ no es necesariamente diferenciable en $a$ . Puede que ni siquiera sea continuo en $a$ . Así, la función presentada anteriormente:

f (x, y) = {\ frac {xy} {x ^ {2} + y ^ {2}}}

y comprobando

f (0,0) = 0 \,

tiene derivadas parciales en todos los puntos pero no es continuo en 0.

Sin embargo, una función que tiene derivadas parciales continuas en $E$ es diferenciable en $E$ y se dice que es de clase $C 1$ .

El cálculo de derivadas parciales de orden superior también tropieza con algunas trampas como la relativa al orden de derivación (véase el teorema de Schwarz ).

Las derivadas parciales se pueden combinar de muchas formas para crear interesantes objetos diferenciales.

En el análisis vectorial , el operador nabla se usa para definir operadores como gradiente , divergencia y rotación . Se puede usar una primera matriz de derivada parcial, la matriz jacobiana , para representar la derivada de una función de cualquier número de variables. La matriz de Hesse es su análoga con las segundas derivadas parciales.

Las ecuaciones diferenciales que contienen derivadas parciales se denominan ecuaciones diferenciales parciales (PDE). Generalmente son más difíciles de resolver que las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Cálculo integral

La integral múltiple generaliza el concepto de integral. Se pueden usar integrales dobles y triples para calcular áreas y volúmenes de regiones del espacio. Su cálculo generalmente implica su expresión en una composición de integrales simples, calculadas cada vez según una única variable.

La integral de superficie y la integral curvilínea se utilizan para la integración en colectores .

Teoremas fundamentales del análisis multivariado

En análisis, estos teoremas establecen un vínculo entre la derivada y la integral. El vínculo entre derivadas parciales y múltiples integrales está asegurada por el gradiente , de flujo de divergencia , rotacional , y verde teoremas .

En un estudio más avanzado del análisis vectorial, vemos que estos teoremas son solo la encarnación de un teorema más general, el teorema de Stokes , que se aplica a la integración de formas diferenciales en variedades .

Análisis de vectores

El análisis vector examina los campos de escalares y vectores suficientemente espacios euclídeos regulares, es decir, la diferenciable mapea un abierto un espacio euclídeo $E$ a los valores, respectivamente, en y en $E$ . Por tanto, el análisis vectorial es una rama, además del análisis multivariado, de la geometría diferencial . $\ mathbb {R}$

Pero la importancia del análisis de vectores se debe a su uso intensivo en la física y las ciencias de la ingeniería . Es por eso que nos limitamos con mayor frecuencia al caso en el que se encuentra el espacio tridimensional habitual. En este contexto, un campo vectorial asocia un vector (con tres componentes reales) con cada punto en el espacio, mientras que un campo escalar asocia uno real con él. Por ejemplo, imagina el agua de un lago. Los datos de su temperatura en cada punto forman un campo de escalares, el de su velocidad en cada punto, un campo de vectores. El análisis vectorial es, por tanto, una herramienta fundamental en mecánica de fluidos , meteorología , electrostática , electrodinámica , geofísica , etc. ${\ Displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {3}}$

Notas y referencias

Jeanne Peiffer , en su Historia de las matemáticas, Routes et mazes , p. 210 , relata los esfuerzos de Thomas Bradwardine (1290-1349) para encontrar una relación funcional entre velocidad, fuerza y resistencia en un movimiento.
A. Dahan-Dalmedico y J. Peiffer , Una historia de las matemáticas: caminos y laberintos ,1986[ detalle de ediciones ], p. 216 .
Podemos citar por ejemplo las memorias de Lagrange en la Academia de Ciencias de 1773 Investigación sobre cálculo integral con diferencias parciales o el problema de las cuerdas vibrantes .
Historia de la aparición de derivadas parciales, del diferencial total, de las funciones de varias variables, del teorema de Schwarz , sobre Math93, historia de las matemáticas y los matemáticos.