Ecuación de difusión

La ecuación de difusión es una ecuación diferencial parcial . En física, describe el comportamiento del desplazamiento colectivo de partículas (moléculas, átomos, fotones, neutrones, etc. ) o de cuasi-partículas como fonones en un medio causado por el movimiento aleatorio de cada partícula cuando las escalas de tiempo y d Los espacios macroscópicos son grandes frente a sus contrapartes microscópicas. De lo contrario, el problema se describe mediante la ecuación de Boltzmann . En matemáticas, una u otra de estas descripciones se aplica a cualquier tema incluido en el proceso de Markov como en otros campos, como ciencias de los materiales, ciencias de la información, vida, sociales, etc. Por tanto, hablamos más de un proceso browniano.

Escritura

La ecuación generalmente se escribe en la forma:

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ phi (\ mathbf {r}, t)} {\ parcial t}} = \ nabla \ cdot \ left [{\ mathcal {D}} (\ phi, \ mathbf {r }) \ \ nabla \ phi (\ mathbf {r}, t) \ derecha],}

donde $ϕ ( r , t )$ es la densidad del material que se difunde en el punto $r$ y en el tiempo $t$ , y es el coeficiente de difusión colectiva para la densidad $ϕ$ en el punto $r$ . El símbolo ∇ ( nabla ) designa el degradado. Si el coeficiente de difusión depende de la densidad, entonces la ecuación es débilmente no lineal; de lo contrario, lo es. ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} (\ phi, \ mathbf {r})}$ $\ mathcal {D}$

En el caso más general, cuando es una matriz definida positiva simétrica, la ecuación describe una difusión anisotrópica , descrita (en el caso 3D) por: $\ mathcal {D}$

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ phi (\ mathbf {r}, t)} {\ parcial t}} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ sum _ {j = 1} ^ { 3} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {i}}} \ izquierda [{\ mathcal {D}} _ {ij} (\ phi, \ mathbf {r}) {\ frac {\ parcial \ phi (\ mathbf {r}, t)} {\ parcial x_ {j}}} \ derecha]}

Si es constante, la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal conocida, la ecuación de calor : $\ mathcal {D}$

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ phi (\ mathbf {r}, t)} {\ parcial t}} = {\ mathcal {D}} \ nabla ^ {2} \ phi (\ mathbf {r}, t).}

De manera más general, cuando hay varios tipos de partículas en el medio y varias fuentes para la difusión, el sistema se describe mediante un sistema lineal como en el caso de las ecuaciones de Stefan-Maxwell .

Historia y desarrollo

Muchos fenómenos físicos, en diferentes campos científicos, se describen matemáticamente mediante las ecuaciones de difusión, que traducen la evolución de un proceso de Markov en relación con la ley normal . En física, el desplazamiento de partículas dispersas corresponde al movimiento browniano que satisface la ley parabólica. Sin embargo, su uso puede extenderse a campos más distantes. Por lo tanto, las ecuaciones de difusión se utilizan en la ciencia de los materiales, para la relación de equilibrio local entre defectos en los cristales de silicona, o en biología, para el equilibrio depredador-presa.

La ecuación de calor propuesta por Fourier en 1822 fue diseñada para describir la evolución de la temperatura en un material. En 1827 salió a la luz el movimiento browniano, donde la autodifusión del agua se evidencia por el desplazamiento de los granos de polen. Sin embargo, el movimiento browniano no fue reconocido como un problema de difusión hasta las teorías de Einstein en 1905. Aunque era un problema de difusión, Fick aplicó la ecuación del calor al fenómeno de difusión a partir de 1855.

El teorema de divergencia de flujo muestra que la ecuación de difusión es válida independientemente del estado del material (sólido, líquido o gas) como ley de conservación, si no hay fuente ni pérdida en el sistema. También muestra que la equivalencia entre la primera y la segunda ley de Fick es matemáticamente incompleta sin un flujo de difusión constante vinculado a un movimiento browniano localmente en el espacio. Este flujo es fundamental para comprender el mecanismo de autodifusión. Este mecanismo no ha sido estudiado en sí mismo, sino indirectamente por la difusión de impurezas en un medio puro por la teoría del movimiento browniano de Einstein y la ecuación de Langevin .

La difusividad de la ecuación generalmente depende de la concentración de las partículas. En este caso, la ecuación de difusión se vuelve no lineal y su resolución es imposible, incluso en el caso de una dimensión espacial. De acuerdo con la ley parabólica, Boltzmann transforma la ecuación de difusión, que cambia de una ecuación de deriva parcial no lineal a una ecuación ordinaria diferenciales no lineales en 1894. Desde entonces, sin embargo, la transformación Boltzmann no se ha resuelto matemáticamente antes del final de la XX XX siglo, aunque Matano lo utilizó empíricamente para problemas de interdifusión en metalurgia.

Aquí se estableció en el caso parabólico el método de resolución analítica de la ecuación de difusión, cuyo cálculo es más eficiente en comparación con métodos analíticos existentes como las transformaciones integrales de Fourier o Laplace o la separación de variables.

Derivación

La ecuación de difusión se puede deducir simplemente de la ecuación de conservación , que dice que un cambio en la densidad en cualquier parte del sistema se debe a intercambios con el exterior del sistema. De hecho, no se crea ni se destruye ningún material:

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ phi} {\ parcial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {j} = 0 \ ,, \ qquad \ mathbf {j} = \ phi \ mathbf {v}}

con j el flujo del material de dispersión yv la velocidad de las partículas. La ecuación de difusión aparece cuando se combina con la primera ley de Fick , que supone que el flujo del material que se difunde en cualquier parte del sistema es proporcional al gradiente de densidad local:

{\ Displaystyle \ mathbf {j} = -D (\ phi, \ mathbf {r}) \, \ nabla \ phi (\ mathbf {r}, t).}

En general, el problema se describe mediante la ecuación de Boltzmann, de la cual la ecuación de difusión constituye una aproximación cuando las escalas macroscópicas de tiempo y espacio son grandes en comparación con sus contrapartes microscópicas. Esto es cierto para la difusión de masa, pero también para la conducción térmica , la transferencia radiativa o cualquier otro proceso de transferencia de energía.

La transferencia difusiva también se puede obtener a partir de un proceso de caminata aleatoria como el movimiento browniano .

Discretización

La ecuación de difusión es continua en el espacio y el tiempo. Por tanto, podemos discretizar en el espacio, el tiempo o ambos, lo que sucede en la aplicación. La discretización en el tiempo por sí sola no revela nuevos fenómenos; en la discretización de solo espacio, la función de Green del sistema se convierte en el kernel gaussiano discreto . La discretización en el espacio y en el tiempo da lugar a un paseo aleatorio .

Discretización en el procesamiento de imágenes

La regla del producto se utiliza para el caso de difusión con tensor anisotrópico, en esquemas de discretización, para evitar que el uso de fórmulas de primer orden genere artefactos. Una reescritura comúnmente utilizada en el procesamiento de imágenes es:

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ phi (\ mathbf {r}, t)} {\ parcial t}} = \ nabla \ cdot \ left [D (\ phi, \ mathbf {r}) \ right] \ nabla \ phi (\ mathbf {r}, t) + {\ rm {tr}} \ left [D (\ phi, \ mathbf {r}) \ left (\ nabla \ nabla ^ {T} \ phi (\ mathbf {r}, t) \ derecha) \ derecha]}

con $tr$ denota la traza del tensor 2 orden e , y el exponente $T$ para transponer , donde, en el procesamiento de imágenes, $D ( φ , r )$ son matrices simétricas construidas a partir de los vectores propios de la estructura de la imagen de los tensores. Los derivados espaciales pueden ser aproximadas por diferencias finitas de 2 ° orden. El algoritmo de difusión resultante puede verse como una convolución de la imagen con un núcleo en movimiento (o plantilla) de tamaño 3 × 3 en 2D y 3 × 3 × 3 en 3D.

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Ecuación de difusión " ( consulte la lista de autores ) .

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Ver también

Bibliografía

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enlaces externos

Registros de autoridad :

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