Ecuación de Ramanujan-Nagell

En matemáticas , y más específicamente en teoría de números , la ecuación de Ramanujan-Nagell es una ecuación que relaciona un cuadrado perfecto con una potencia de dos menos siete. Es un ejemplo de una ecuación diofántica exponencial , una ecuación que debe resolverse en números enteros donde uno de las variables aparece como exponente. Esto lleva el nombre de Srinivasa Ramanujan , quien conjeturó que solo tiene cinco soluciones enteras, y de Trygve Nagell , quien demostró la conjetura.

Ecuación y solución

La ecuación es

{\ Displaystyle 2 ^ {n} -7 = x ^ {2}}

y las únicas soluciones en números naturales n y x son n = 3, 4, 5, 7 y 15.

Esta solución fue conjeturada en 1913 por el matemático indio Srinivasa Ramanujan , propuesta independientemente en 1943 por el matemático noruego Wilhelm Ljunggren , y probada en 1948 por el matemático noruego Trygve Nagell . Los valores de x correspondientes a los valores de n anteriores son respectivamente:

x = 1, 3, 5, 11 y 181.

Números triangulares de Mersenne

El problema de encontrar todos los enteros de la forma 2 b - 1 ( número de Mersenne ) que son números triangulares es equivalente a la ecuación de Ramanujan-Nagell:

{\ displaystyle {\ begin {align} 2 ^ {b} -1 = {\ frac {y (y + 1)} {2}} \ Longleftrightarrow & \ 2 ^ {b + 3} -8 = 4y ^ {2 } + 4y \\\ Longleftrightarrow & \ 2 ^ {b + 3} -7 = (2y + 1) ^ {2}. \ End {alineado}}}

Los valores de b en esta ecuación son solo los de n - 3 en la ecuación de Ramanujan-Nagell, y los números triangulares de Mersenne correspondientes (también llamados números de Ramanujan-Nagell ) son:

{\ Displaystyle {\ frac {y (y + 1)} {2}} = {\ frac {(x-1) (x + 1)} {8}}}

para x = 1, 3, 5, 11 y 181, dando 0, 1, 3, 15 y 4095 (continuación A076046 de la OEIS ).

Ecuaciones de tipo Ramanujan-Nagell

Una ecuación de la forma

{\ Displaystyle x ^ {2} + D = AB ^ {n}}

para D , A , B fijo y x desconocido , se dice que n es del tipo Ramanujan-Nagell . Un resultado de Carl Siegel implica que el número de soluciones en cada caso es finito. La ecuación con A = 1, B = 2 tiene como máximo dos soluciones, excepto si D = 7. Hay una infinidad de valores de D para los cuales solo hay dos soluciones.

Ecuaciones tipo Lebesgue-Nagell

Una ecuación de la forma

{\ Displaystyle x ^ {2} + D = Ay ^ {n}}

para D , A fija y desconocidas x , y , n se dice que es del tipo Lebesgue-Nagell . Estas ecuaciones llevan el nombre de Victor-Amédée Lebesgue , quien demostró que la ecuación

{\ Displaystyle x ^ {2} + 1 = y ^ {n}}

no tiene soluciones no triviales cuando n es un número primo .

Los resultados de Shorey y Tijdeman implican que el número de soluciones en cada caso es finito. Bugeaud, Mignotte y Siksek han resuelto las ecuaciones de este tipo con A = 1 y 1 ≤ D ≤ 100. En particular, la siguiente generalización de la ecuación de Ramanujan-Nagell

{\ Displaystyle y ^ {n} -7 = x ^ {2}}

tiene soluciones enteras solo si x = 1, 3, 5, 11 o 181.

Referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado “ Ecuación de Ramanujan-Nagell ” ( ver lista de autores ) .

(en) S. Ramanujan, " Pregunta 464 " , J. Indian Math. Soc. , vol. 5,1913, p. 130.
(no) W. Ljunggren, " Oppgave nr 2 " , Norsk Mat. Tidsskr. , vol. 25,1943, p. 29.
(no) T. Nagell, " Løsning till oppgave nr 2 " , Norsk Mat. Tidsskr. , vol. 30,1948, p. 62-64.
(en) T. Nagell, " La ecuación diofántica x 2 + 7 = 2 n " , Ark. Mástil. , vol. 30,1961, p. 185-187 ( DOI 10.1007 / BF02592006 ).
(en) N. Saradha y Anitha Srinivasan , Diophantine Ecuaciones , Narosa,2008, 308 p. ( ISBN 978-81-7319-898-4 ) , “Ecuaciones generalizadas de Lebesgue-Ramanujan-Nagell” , pág. 207-223 : p. 208 .
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M. Lebesgue, " Sobre la imposibilidad, en números enteros, de la ecuación x m = y 2 + 1 ", Nouv. Ana. Matemáticas. , 1 st series, vol. 9,1850, p. 178-181 ( leer en línea ).
Pascal Boyer, Pequeño compañero de números y sus aplicaciones , Paris / 58-Clamecy, Calvage y Mounet,2019, 648 p. ( ISBN 978-2-916352-75-6 ) , V. Ecuaciones diofánticas, cap. 3.1 (“Ecuación de Lebesgue”), pág. 487.
(in) TN Shorey y R. Tijdeman , Ecuaciones diofánticas exponenciales , vuelo. 87, Cambridge / Londres / Nueva York, etc., Cambridge University Press ,1986, 240 p. ( ISBN 0-521-26826-5 , zbMATH 0606.10011 ) , pág. 137-138.
Saradha y Srinivasan 2008 , p. 211.
(en) Yann Bugeaud, Mauricio Mignotte y Samir Siksek, " Enfoques clásicos y modulares de las ecuaciones diofánticas exponenciales II. La ecuación de Lebesgue-Nagell ” , Compos. Matemáticas. , vol. 142,2006, p. 31-62 ( DOI 10.1112 / S0010437X05001739 , leer en línea ).

Ver también

enlaces externos

(en) Eric W. Weisstein , " Ramanujan's Square Equation " , en MathWorld
(en) G. Myerson, “ ¿Puede N 2 + N - 2 ser una potencia de 2? » , En mathforum.org ,2002