Ecuación de Euler-Lagrange

La ecuación de Euler-Lagrange (en español, ecuación de Euler-Lagrange o ELE ) es un resultado matemático que juega un papel fundamental en el cálculo de las variaciones . Esta ecuación se encuentra en muchos problemas reales de minimización de la longitud del arco , como el problema de la braquistocrona o incluso los problemas geodésicos . Lleva el nombre de Leonhard Euler y Joseph-Louis Lagrange .

Notaciones

$E$ denotará un espacio vectorial normalizado , $[ t 0 , t 1 ]$ un intervalo real , y el espacio afín de funciones $x$ $: [$ $t$ $0$ $,$ $t$ $1$ $] \to$ $E$ de clase C 1 tal que , donde $x$ $0$ $,$ $x$ $1$ son dos vectores conjunto de $E$ . ${\ mathcal {G}}$ ${\ Displaystyle x \ left (t_ {i} \ right) = x_ {i}}$

Se denota el vector derivado de una función en un punto $t$ $\in [$ $t$ $0$ $,$ $t$ $1$ $]$ . ${\ Displaystyle x \ in {\ mathcal {G}}}$ ${\ Displaystyle {\ dot {x}} (t)}$

También nos damos una función de clase C 1 . ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}: \ left [t_ {0}, t_ {1} \ right] \ times E ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$

Se anotan sus tres variables (lo que probablemente dé lugar a confusión con la notación anterior pero es de uso común), se anotan sus tres aplicaciones diferenciales parciales ${\ Displaystyle t, x, {\ dot {x}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial t}}}$ (desde adentro ) y ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ times E ^ {2}}$ $\ mathbb {R}$
${\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial x}}, {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ punto {x}}}} }$ (de en $E '$ , el dual de $E$ ). ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ times E ^ {2}}$

Cuando las componimos por la función para una función dada , obtenemos tres funciones definidas en $[$ $t$ $0$ $,$ $t$ $1$ $]$ (nuevamente con valores respectivamente en , $E '$ y $E'$ ), que usualmente denotamos de la misma manera ( aunque, de nuevo, esto es confuso), lo que en particular da significado a las dos funciones ${\ Displaystyle \ left [t_ {0}, t_ {1} \ right] \ to \ mathbb {R} \ times E ^ {2}, \; t \ mapsto \ left (t, x (t), {\ punto {x}} (t) \ right)}$ ${\ Displaystyle x \ in {\ mathcal {G}}}$ $\ mathbb {R}$

{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial x}} {\ texto {et}} {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ punto {x}}}}: \ left [t_ {0}, t_ {1} \ right] \ to E '}

Estados

Sea $J$ el funcional definido por: ${\ mathcal {G}}$

{\ Displaystyle J (x) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} {\ mathcal {L}} \ left (t, x (t), {\ dot {x}} (t ) \ derecha) \, \ mathrm {d} t}

Para cualquier función estacionaria para $J$ , es diferenciable y ${\ Displaystyle x \ in {\ mathcal {G}}}$ ${\ Displaystyle t \ mapsto {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {x}}}}}$

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac { \ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {x}}}} \ right) = 0}

. Demostración parcial

La prueba que sigue se anuncia como "parcial" porque supone que y son de clase C 1 (en cuyo caso la diferenciabilidad de está asegurada desde el principio). Para una demostración asumiendo solo que y son de clase C 1 , vea la aplicación del lema de Du Bois-Reymond al cálculo de variaciones . $\ dot x$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {x}}}}}$ ${\ Displaystyle t \ mapsto {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {x}}}} \ left (t, x (t), {\ dot {x}} ( t) \ derecha)}$ $X$ ${\ mathcal {L}}$

La expresión "estacionario", en el enunciado, significa: satisfacer la condición de Euler , que es una condición necesaria para que la función haga el funcional extremal (restringido en esta prueba a funciones de clase C 2 ). $X$ $J$ ${\ mathcal {G}}$

Esta condición euleriana se escribe :, para cualquier función $h$ $: [$ $t$ $0$ $,$ $t$ $1$ $] \to$ $E$ (de clase C 2 ) cero en $t$ $0$ y $t$ $1$ . Oro ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} J (x + \ varepsilon h)} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} _ {| \ varepsilon = 0} = 0}$

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} J (x + \ varepsilon h)} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} _ {| \ varepsilon = 0} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ izquierda (\ izquierda \ langle {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial x}}, h \ derecha \ rangle + \ izquierda \ langle {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {x}}}}, {\ dot {h}} \ right \ rangle \ right) \, \ mathrm {d} t}

(donde está el corchete de dualidad )

{\ Displaystyle \ langle ~, ~ \ rangle: E '\ times E \ to \ mathbb {R}}

y el segundo término de la integral se expresa, gracias a una integración por partes (permitida por los supuestos adicionales de regularidad), en la forma

{\ Displaystyle \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ left \ langle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}}}}, {\ dot {h}} \ right \ rangle \, \ mathrm {d} t = \ left [\ left \ langle {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {x} }}}, h \ right \ rangle \ right] _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} - \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ left \ langle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ punto {x}}}} \ derecha), h \ right \ rangle \, \ mathrm {d} t}

El gancho es cero ya que $h ( t 0 ) = h ( t 1 ) = 0$ , la condición de Euler se escribe por lo tanto:

{\ displaystyle 0 = {\ frac {\ mathrm {d} J (x + \ varepsilon h)} {\ mathrm {d} \ varepsilon}} _ {| \ varepsilon = 0} = \ int _ {t_ {0} } ^ {t_ {1}} \ izquierda \ langle {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t }} \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {x}}}} \ derecha), h \ derecha \ rangle \, \ mathrm {d} t}

Aplicando el lema fundamental del cálculo de variaciones , deducimos:

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac { \ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {x}}}} \ right) = 0}

Ejemplo

Un ejemplo es una aplicación del principio de Fermat . El objetivo es determinar una trayectoria óptica plana, cuyas coordenadas se indican horizontalmente $ty$ verticalmente x , para cumplir con las notaciones del enunciado anterior. El rayo de luz atraviesa el vacío, a excepción de la zona correspondiente a los valores de $t$ situados entre –1 y 1. En esta banda, se supone que el índice $n t$ ya no es igual a 1 sino a 1 / | t |. Entre las dos bandas, el camino óptico tiene la longitud :

{\ Displaystyle \ mathrm {L} = \ int _ {- 1} ^ {1} f \ left (t, x (t), {\ dot {x}} (t) \ right) \, \ mathrm {d } t \ quad {\ text {con}} \ quad f (t, x, y) = n_ {t} {\ sqrt {1 + y ^ {2}}} = {\ frac {\ sqrt {1 + y ^ {2}}} {| t |}}}

Ya que aquí , la ecuación de Euler-Lagrange establece que la derivada parcial de $f$ con respecto a su tercera variable es una constante, indicada aquí $C$ , si se aplica a las variables $t$ , $x$ y su derivada. Obtenemos : ${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x}} = 0}$

{\ Displaystyle C = {\ frac {\ parcial f} {\ parcial {\ dot {x}}}} = {\ frac {\ dot {x}} {| t | {\ sqrt {1 + {\ dot { x}} ^ {2}}}}} \ quad {\ text {por lo tanto}} \ quad {\ dot {x}} ^ {2} = C ^ {2} t ^ {2} (1 + {\ dot {x}} ^ {2})}

Este resultado se escribe de nuevo, estableciendo $u = C | t |$ :

\ dot x = \ frac {u} {\ sqrt {1 - u ^ 2}}

Reconocemos la ecuación de una parte de una cicloide .

Identidad Beltrami

Un caso especial frecuente es aquel en el que la función es independiente de $t$ . Un corolario de la ecuación de Euler-Lagrange es entonces la identidad de Beltrami : ${\ mathcal {L}}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {x}}}} {\ dot {x}} = C}

La letra $C$ designa una constante real, que también es la transformada de Legendre de la función $f$ con respecto a la variable . ${\ textstyle \ dot {x}}$

Demostración

Suponiendo que sean dos veces diferenciables, derivemos el lado izquierdo de la identidad de Beltrami: $X$

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ mathcal {L}} - {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {x}}}} {\ dot {x}} \ right) = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial x}} {\ dot {x}} + {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {x}}}} {\ ddot {x}} - \ left ({\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d } t}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ punto {x}}}} \ derecha) {\ punto {x}} + {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ partial {\ dot {x}}}} {\ ddot {x}} \ right) = \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ parcial x}} - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial {\ dot {x} }}} \ right) \ right) {\ dot {x}} = 0}

Un ejemplo histórico famoso es la curva braquistócrona . La pregunta planteada equivale a encontrar la curva que conecta un punto A con un punto B, ubicado a menor altitud, como un punto material que parte del punto A sin velocidad inicial y deslizándose sin fricción en la curva une lo más rápidamente posible el punto B .

Cuando es una función homogénea de la variable , el teorema de Euler aplicado a la identidad de Beltrami implica . ${\ mathcal {L}}$ $\ dot x$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = C}$

enlaces externos

(en) Eric W. Weisstein , " Euler-Lagrange Differential Equation " , en MathWorld