Ecualizador (matemáticas)

El ecualizador es una construcción categórica asociada a dos morfismos paralelos, que en cierto sentido generaliza la noción de núcleo en álgebra . La construcción dual, el co-ecualizador, puede interpretarse como una generalización categórica de la noción de cociente por una relación de equivalencia . A veces encontramos la variante del ecualizador .

Motivación y definición

Sea C una categoría y dos objetos X e Y de esta categoría. Deje que f y g sea dos paralelas morfismos entre estos objetos:

X {\ underset {g} {{\ overset {f} {\ rightrightarrows}}}} \; Y

Decimos que una flecha iguala el par cuando coinciden los morfismos compuestos . $e: E \ a X$ $f \ circ e = g \ circ e$

Hay, potencialmente, múltiples formas de atar un par. El ecualizador hace esto de una manera universal , en el sentido de que cualquier otra solución está factorizada de manera única por él.

Para un par de morfismos paralelos f , g , un ecualizador es una flecha que iguala al par y tal que, para cualquier flecha que iguala al par, existe una sola flecha tal que . En otras palabras, tenemos el siguiente diagrama: ${\ mathrm {eq}}: E \ a X$ $m: O \ a X$ $u: O \ a E$ $m = {\ mathrm {eq}} \ circ u$

Otra forma de decir esto es que el ecualizador es el límite del diagrama . $X {\ underset {g} {{\ overset {f} {\ rightrightarrows}}}} \; Y$

Construimos el co-ecualizador invirtiendo la dirección de las flechas en el diagrama, o como colimit de , o incluso como ecualizador en la categoría dual . $X {\ underset {g} {{\ overset {f} {\ rightrightarrows}}}} \; Y$ ${\ mathbf C} ^ {{{\ mathrm {op}}}}$

Ejemplos de

En el conjunto de la categoría de conjuntos, tenemos y la inyección es un ecualizador. $E = \ {x \ en X \, | \, f (x) = g (x) \}$ ${\ mathrm {eq}}: E \ hookrightarrow X$
En la categoría R - Mod de módulos en un anillo R , nosotros y la inclusión sigue siendo un ecualizador. $E = {\ mathrm {ker}} (fg)$
En una clase que tiene un objeto de cero (es decir que tiene un objeto para tanto inicial y final de ), el ecualizador un morfismo y cero morfismo define el núcleo en el sentido de las categorías (en) : . ${\ mathrm {ker}} (f) = {\ mathrm {eq}} (f, 0 _ {{X \ to Y}})$
Por el contrario, en una categoría preaditiva, cualquier ecualizador se obtiene como un determinado núcleo.

Propiedades

Cualquier ecualizador es un monomorfismo .
Cualquier producto de fibra se descompone como la composición de un producto seguida de un ecualizador. Si una categoría tiene productos y productos de fibra, entonces tiene ecualizadores.
Si una categoría admite todos los productos terminados (resp. Coproductos) y todos los ecualizadores (resp. Co-ecualizadores), entonces admite todos los límites finitos (resp. Colimitas).

Referencia

(en) Saunders Mac Lane , Categorías para el matemático que trabaja [ detalle de la edición ]