En matemáticas , el producto de fibra es una operación entre dos conjuntos, ambos provistos de un mapa del mismo tercer conjunto. Su definición se extiende a ciertas categorías al satisfacer una propiedad universal de factorización de diagramas, en dualidad con la suma amalgamada .
El producto de fibra se utiliza en particular en geometría algebraica para definir el producto de dos diagramas , o en topología algebraica para construir, a partir de un espacio de fibra (como una cubierta ), otro espacio de la misma fibra, la fibra inducida , subiendo a lo largo de una aplicación entre las dos bases, de ahí el nombre en inglés pullback (" pull back") que a veces se usa en francés.
Dadas dos aplicaciones al mismo conjunto:
el producto de fibra y superior se define como el conjunto de pares de producto cartesiano × cuyos componentes tienen la misma imagen . Se observa:
.Siendo el producto de fibra un subconjunto del producto cartesiano, las proyecciones de cada factor permiten completar el cuadrado conmutativo:
En categorías establecidas, como las de espacios topológicos o espacios vectoriales, el producto de fibra en sí mismo constituye un objeto de la categoría.
Con las notaciones de la parte anterior, si es un conjunto dotado de mapas para y que nos permiten construir un cuadrado conmutativo:
entonces existe una aplicación única del conjunto al producto de fibra que factoriza el diagrama:
.En otras palabras, el producto de fibra es el límite (en el sentido de las categorías) del diagrama formado utilizando las dos asignaciones iniciales y . También es posible verlo como el producto (en el sentido de categorías) en una categoría de morfismos de gusano .
De manera más general, el producto de fibra en cualquier categoría es el límite de dicho diagrama, cuando existe, que es el caso de las categorías abelianas .