Categoria de producto)

En una categoría , el producto de una familia de objetos es su límite , cuando existe. Por lo tanto, se caracteriza por una propiedad universal o de manera equivalente como un funtor representable .

Definición

Sea una categoría y una familia de objetos de . Buscamos un par , donde X es un objeto de y una familia de morfismos , tal que para cualquier objeto Y de y para cualquier familia de morfismos , existe un morfismo único tal que para cualquier índice i , tenemos . VS{\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}(XI)I∈I{\ Displaystyle (X_ {i}) _ {i \ in I}}VS{\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}(X,(πI)I∈I){\ Displaystyle (X, (\ pi _ {i}) _ {i \ in I})}VS{\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}(πI)I∈I{\ Displaystyle (\ pi _ {i}) _ {i \ in I}}πI:X→XI{\ Displaystyle \ pi _ {i}: X \ a X_ {i}}VS{\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}FI:Y→XI{\ Displaystyle f_ {i}: Y \ a X_ {i}}F:Y→X{\ Displaystyle f: Y \ a X}πI∘F=FI{\ Displaystyle \ pi _ {i} \ circ f = f_ {i}}

Si existe tal pareja , se dice que es producto de . También decimos, con menos rigor, que X es un producto de . Los morfismos se denominan proyecciones canónicas y los morfismos son componentes de . (X,(πI)I∈I){\ Displaystyle (X, (\ pi _ {i}) _ {i \ in I})}(XI)I∈I{\ Displaystyle (X_ {i}) _ {i \ in I}}(XI)I∈I{\ Displaystyle (X_ {i}) _ {i \ in I}}πI{\ Displaystyle \ pi _ {i}}FI{\ Displaystyle f_ {i}}F{\ Displaystyle f}

Dada una categoría y una familia de objetos de , los pares , donde Y es un objeto de y una familia de morfismos , son los objetos de una categoría , siendo los morfismos (según ) del objeto al objeto los morfismos (según ) f de Y en Y 'tal que, para todo i , (el morfismo de identidad de en la categoría es el morfismo de identidad de Y en la categoría ). La definición del producto equivale entonces a decir que un producto de la familia de objetos de es un objeto final de la categoría . Como dos objetos finales de una categoría son isomorfos en esta categoría, dos productos y de la misma familia de objetos son siempre isomorfos en , por lo tanto, a fortiori, los “productos” X y X 'son isomorfos en . Por el contrario, si X y X 'son dos objetos isomorfos de , si X es un "producto" de una familia de objetos de , entonces X' es también un "producto" de esta familia. Todo esto muestra que el producto se define hasta el isomorfismo. VS{\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}(XI)I∈I{\ Displaystyle (X_ {i}) _ {i \ in I}}VS{\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}(Y,(λI)I∈I){\ Displaystyle (Y, (\ lambda _ {i}) _ {i \ in I})}VS{\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}(λI)I∈I{\ Displaystyle (\ lambda _ {i}) _ {i \ in I}}λI:Y→XI{\ Displaystyle \ lambda _ {i}: Y \ a X_ {i}}VS′{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} '}VS′{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} '}(Y,(λI)I∈I){\ Displaystyle (Y, (\ lambda _ {i}) _ {i \ in I})}(Y′,(λI′)I∈I){\ Displaystyle (Y ', (\ lambda' _ {i}) _ {i \ in I})}VS{\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}λI′∘F=λI{\ Displaystyle \ lambda '_ {i} \ circ f = \ lambda _ {i}}(Y,(λI)I∈I){\ Displaystyle (Y, (\ lambda _ {i}) _ {i \ in I})}VS′{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} '}VS{\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}(XI)I∈I{\ Displaystyle (X_ {i}) _ {i \ in I}}VS{\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}VS′{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} '}(X,(πI)I∈I){\ Displaystyle (X, (\ pi _ {i}) _ {i \ in I})}(X′,(πI′)I∈I){\ Displaystyle (X ', (\ pi' _ {i}) _ {i \ in I})}VS{\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}VS′{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} '}VS{\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}VS{\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}VS{\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}

En cualquier categoría, el producto de , cuando existe, representa el funtor que a un objeto Y de C asocia el producto cartesiano . (XI)I∈I{\ Displaystyle (X_ {i}) _ {i \ in I}} ∏I∈IHometro(Y,XI){\ Displaystyle \ prod _ {i \ in I} Hom (Y, X_ {i})}

Producto y suma

La suma es la propiedad dual del producto: la suma corresponde al producto de la categoría dual .

Ejemplos de

• En la categoría de conjuntos , el producto de una familia de conjuntos es su producto cartesiano , provisto de las respectivas proyecciones.
• El producto indexado por el conjunto vacío es el objeto final .
• En la categoría de magmas , monoides o grupos , el producto es el producto directo . Se basa en el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes. Por tanto, el producto conmuta con el functor de olvido .
• Cuando A es un anillo conmutativo , en la categoría de A - módulos , el producto es el producto directo. La categoría de K - espacios vectoriales así como la categoría de grupos conmutativos son casos especiales.
• El producto de una familia de campos (respectivamente campos conmutativos ) no existe necesariamente en la categoría de campos (respectivamente campos conmutativos). Por ejemplo, si K denota un campo de 2 elementos (conmutativo) y L un campo de 3 elementos (conmutativo), el producto de K y L no existe en la categoría de campos ni en la de campos conmutativos. De hecho, las proyecciones de tal producto M serían respectivamente homomorfismos de M en K y en L. Sin embargo, cualquier homomorfismo de campo es inyectivo, por lo tanto M sería isomorfo al mismo tiempo a un subcampo de un campo con 2 elementos y a un subcuerpo de un cuerpo de 3 elementos, lo cual es imposible.
• En la categoría de espacios topológicos , el producto se obtiene construyendo la topología del producto (topología de convergencia simple) sobre el producto cartesiano.
• El producto de fibra es una versión más sofisticada del producto.

Calificación y referencia

1. Serge Lang , Álgebra [ detalle de las ediciones ], Dunod, 2004, pág. 62

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Límite proyectivo