Relación de conmutación canónica

En mecánica cuántica , la relación de conmutación canónica es la relación fundamental entre las cantidades conjugadas canónicas ( cantidades que están relacionadas por definición de manera que una es la transformada de Fourier de otra). Por ejemplo :

{\ Displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}} _ {x}] = i \ hbar}

entre el operador de posición $x$ y el operador de momento $p x$ en la dirección $x$ de una partícula puntual en una dimensión , donde $[ x , p x ] = x p x - p x x$ es el conmutador de $x$ y $p x$ , $i$ es el unidad imaginaria , y $ℏ$ es la constante de Planck reducida $h / 2π$ . En general, la posición y la cantidad de movimiento son vectores de operadores y su relación de conmutación entre los diferentes componentes de la posición y la cantidad de movimiento se puede expresar como:

{\ Displaystyle [{\ hat {r}} _ {i}, {\ hat {p}} _ {j}] = i \ hbar \ delta _ {ij}.}

donde se encuentra el delta de Kronecker . $\ delta_ {ij}$

Esta relación se atribuye a Max Born (1925), quien la denominó "condición cuántica" que sirve de postulado a la teoría; observado por E. Kennard (1927) para involucrar el principio de incertidumbre de Heisenberg . El teorema de Stone-von Neumann da un resultado de unicidad para operadores satisfactorios (forma exponencial) las relaciones de conmutación canónicas.

Relación con la mecánica clásica

Por otro lado, en la física clásica , todos los observables conmutan y el conmutador sería cero. Sin embargo, existe una relación análoga, que se obtiene reemplazando el conmutador por el corchete de Poisson multiplicado por $i ℏ$ :

{\ Displaystyle \ {x, p \} = 1 \,.}

Esta observación llevó a Dirac a proponer que los homólogos cuánticos $f̂$ $ĝ$ de los clásicos $f$ $g$ satisfacen:

{\ Displaystyle [{\ hat {f}}, {\ hat {g}}] = i \ hbar {\ widehat {\ {f, g \}}} \,}

En 1946, Hip Groenewold demostró que una correspondencia sistemática general entre interruptores cuánticos y corchetes de Poisson no podía ser consistente.

Sin embargo, también apreció que existe una correspondencia tan sistemática entre el interruptor cuántico y una deformación del corchete de Poisson, hoy llamado corchete de Moyal , y, en general, los operadores cuánticos y las distribuciones y observables clásicas en el espacio de fase . De este modo, finalmente dilucidó el mecanismo de correspondencia coherente, la transformada de Wigner-Weyl , que subyace a una representación matemática equivalente alternativa de la mecánica cuántica conocida como cuantificación de deformaciones .

Derivación de la mecánica hamiltoniana

De acuerdo con el principio de correspondencia , dentro de ciertos límites, las ecuaciones cuánticas de estados deben aproximarse a las ecuaciones de movimiento de Hamilton . Este último establece la siguiente relación entre la coordenada generalizada q (por ejemplo, la posición) y el impulso generalizado p :

{\ Displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {q}} = {\ frac {\ parcial H} {\ parcial p}} = \ {q, H \}; \\ {\ dot {p}} = - {\ frac {\ parcial H} {\ parcial q}} = \ {p, H \}. \ end {casos}}}

En mecánica cuántica, el hamiltoniano , el de coordenadas (generalizado) y el momento (generalizado) son todos operadores lineales . ${\ hat {H}}$ ${\ hat {Q}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {P}}}$

La derivada temporal de un estado cuántico es (según la ecuación de Schrödinger ). De manera equivalente, dado que los operadores no son explícitamente dependientes del tiempo, podemos verlos evolucionar con el tiempo (ver la imagen de Heisenberg ) de acuerdo con su relación de conmutación con el hamiltoniano: ${\ Displaystyle i {\ hat {H}} / \ hbar}$

{\ Displaystyle {\ frac {d {\ hat {Q}}} {dt}} = {\ frac {i} {\ hbar}} [{\ hat {H}}, {\ hat {Q}}]}

{\ Displaystyle {\ frac {d {\ hat {P}}} {dt}} = {\ frac {i} {\ hbar}} [{\ hat {H}}, {\ hat {P}}] \ , \,.}

Para que esto esté en el límite clásico con las ecuaciones de movimiento hamiltonianas, debe depender completamente de la aparición de en el hamiltoniano y debe depender completamente de la aparición de en el hamiltoniano. Además, dado que el operador hamiltoniano depende de los operadores de coordenadas (generalizado) y de impulso, se puede considerar como funcional , y podemos escribir (usando derivadas funcionales ): ${\ Displaystyle [{\ hat {H}}, {\ hat {Q}}]}$ ${\ Displaystyle {\ hat {P}}}$ ${\ Displaystyle [{\ hat {H}}, {\ hat {P}}]}$ ${\ hat {Q}}$

{\ Displaystyle [{\ hat {H}}, {\ hat {Q}}] = {\ frac {\ delta {\ hat {H}}} {\ delta {\ hat {P}}}} \ cdot [ {\ hat {P}}, {\ hat {Q}}]}

funcional

{\ Displaystyle [{\ hat {H}}, {\ hat {P}}] = {\ frac {\ delta {\ hat {H}}} {\ delta {\ hat {Q}}}} \ cdot [ {\ hat {Q}}, {\ hat {P}}] \, \,.}

Para obtener el límite clásico, debemos tener:

{\ Displaystyle [{\ hat {Q}}, {\ hat {P}}] = i \ hbar}

Relaciones de Weyl

El grupo generado por la exponenciación del álgebra de Lie tridimensional, determinada por la relación de conmutación, se denomina grupo de Heisenberg . Este grupo se puede realizar como el grupo de matrices triangulares superiores con diagonales. ${\ Displaystyle H_ {3} (\ mathbb {R})}$ ${\ Displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] = i \ hbar}$ $3 \ por 3$

De acuerdo con la formulación matemática estándar de la mecánica cuántica , los observables cuánticos como y deberían representarse como operadores autoadministrados en un determinado espacio de Hilbert . Es relativamente fácil ver que dos operadores que satisfacen las relaciones de conmutación canónicas anteriores no pueden estar acotados . Ciertamente, si y fuera el seguimiento de la clase del operador , la relación proporciona un número diferente de cero a la derecha y ceros. ${\ hat {x}}$ $\ hat {p}$ ${\ hat {x}}$ $\ hat {p}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} (AB) = \ operatorname {Tr} (BA)}$

Alternativamente, si y fueran operadores limitados, tenga en cuenta que , por lo tanto, las normas de los operadores ${\ hat {x}}$ $\ hat {p}$ ${\ Displaystyle [{\ hat {x}} ^ {n}, {\ hat {p}}] = i \ hbar n {\ hat {x}} ^ {n-1}}$

{\ Displaystyle 2 \ left \ | {\ hat {p}} \ right \ | \ left \ | {\ hat {x}} \ right \ | ^ {n} \ geq n \ hbar \ left \ | {\ hat {x}} \ right \ | ^ {n-1}}

, de modo que para todos los n :

{\ Displaystyle 2 \ left \ | {\ hat {p}} \ right \ | \ left \ | {\ hat {x}} \ right \ | \ geq n \ hbar}

Sin embargo, $n$ puede ser arbitrariamente grande, por lo que al menos un operador no puede estar acotado y la dimensión del espacio de Hilbert subyacente no puede ser finita. Si los operadores satisfacen las relaciones de Weyl (una versión exponencial de las relaciones de conmutación canónicas, descritas a continuación), entonces, como consecuencia del teorema de Stone-von Neumann , los dos operadores deben ser ilimitados .

Sin embargo, estas relaciones de conmutación canónicas pueden hacerse algo "más dóciles" escribiéndolas en términos de operadores unitarios (acotados) y . Las relaciones de trenzado resultantes para estos operadores son las llamadas relaciones de Weyl : ${\ displaystyle \ mathrm {exp} (es {\ hat {x}})}$ ${\ displaystyle \ mathrm {exp} (es {\ hat {p}})}$

{\ Displaystyle \ mathrm {exp} (it {\ hat {x}}) \ mathrm {exp} (es {\ hat {p}}) = \ mathrm {exp} (-ist \ hbar) \ mathrm {exp} (es {\ hat {p}}) \ mathrm {exp} (es {\ hat {x}})}

Estas relaciones pueden considerarse como una versión exponencial de las relaciones de conmutación canónicas; reflejan que las traducciones en su lugar y las traducciones en movimiento no conmutan . Podemos reformular fácilmente las relaciones de Weyl en términos de representaciones del grupo de Heisenberg .

La unicidad de las relaciones de conmutación canónicas, en forma de relaciones de Weyl, está garantizada por el teorema de Stone-von Neumann.

Es importante señalar que, por razones matemáticas, las relaciones de Weyl no son estrictamente equivalentes a la relación de conmutación canónica . Si y fueran operadores acotados, entonces un caso especial de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff permitiría “exponencializar” las relaciones de conmutación canónicas a relaciones de Weyl. Dado que, como hemos señalado, cualquier operador que satisfaga las relaciones de conmutación canónicas debe ser ilimitado, la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff no se aplica sin supuestos de dominio adicionales. De hecho, existen contraejemplos que satisfacen las relaciones canónicas de conmutación pero no las relaciones de Weyl (estos mismos operadores dan un contraejemplo a la forma ingenua del principio de incertidumbre). Estos problemas técnicos son la razón por la que el teorema de Stone-von Neumann se formula en términos de relaciones de Weyl. ${\ Displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] = i \ hbar}$ ${\ hat {x}}$ $\ hat {p}$

A discreta versión de las relaciones Weyl, en el que los parámetros de s y t lapso , se pueden realizar en un espacio de Hilbert de dimensión finita por medio de las matrices de reloj y de cambio . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n}$

Generalizaciones

La fórmula simple:

{\ Displaystyle [x, p] = i \ hbar, \,}

válido para la cuantificación del sistema clásico más simple, se puede generalizar al caso de un lagrangiano arbitrario . Identificamos las coordenadas canónicas (como $x$ en el ejemplo anterior, o un campo $Φ ($ $x$ $)$ en el caso de la teoría cuántica de campos ) y los momentos canónicos $π$ $x$ ( $p$ en el ejemplo anterior, o más generalmente, algunas funciones que involucran la derivada de coordenadas canónicas con respecto al tiempo): ${\ mathcal L}$

{\ Displaystyle \ pi _ {i} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial x_ {i} / \ parcial t)}}.}

Esta definición del impulso canónico garantiza que una de las ecuaciones de Euler-Lagrange tiene la forma:

{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \ pi _ {i} = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial x_ {i}}}.}

Las relaciones canónicas de conmutación ascienden entonces a:

{\ Displaystyle [x_ {i}, \ pi _ {j}] = i \ hbar \ delta _ {ij}, \,}

donde $δ ij$ es el delta de Kronecker .

Además, podemos demostrar fácilmente que:

{\ Displaystyle [F ({\ vec {x}}), p_ {i}] = i \ hbar {\ frac {\ parcial F ({\ vec {x}})} {\ parcial x_ {i}}} ; \ qquad [x_ {i}, F ({\ vec {p}})] = i \ hbar {\ frac {\ parcial F ({\ vec {p}})} {\ parcial p_ {i}}} .}

Usando , podemos mostrar fácilmente que por inducción matemática: ${\ Displaystyle C_ {n + 1} ^ {k} = C_ {n} ^ {k} + C_ {n} ^ {k-1}}$

{\ Displaystyle \ left [{\ hat {x}} ^ {n}, {\ hat {p}} ^ {m} \ right] = \ sum _ {k = 1} ^ {min \ left (m, n \ right)} {{\ frac {- \ left (-i \ hbar \ right) ^ {k} n! ​​m!} {k! \ left (nk \ right)! \ left (mk \ right)! }} {\ hat {x}} ^ {nk} {\ hat {p}} ^ {mk}} = \ sum _ {k = 1} ^ {min \ left (m, n \ right)} {{\ frac {\ left (i \ hbar \ right) ^ {k} n! ​​m!} {k! \ left (nk \ right)! \ left (mk \ right)!}} {\ hat {p}} ^ {mk} {\ hat {x}} ^ {nk}}}

Invariancia de calibre

La cuantificación canónica se aplica, por definición, a las coordenadas canónicas . Sin embargo, en presencia de un campo electromagnético , el pulso canónico $p$ no es invariante de calibre . La velocidad invariante del indicador correcto (o momento angular ) es:

{\ Displaystyle p _ {\ text {parentesco}} = p-qA \, \!}

( Unidades SI ) ( unidades cgs ),

{\ Displaystyle p _ {\ text {parentesco}} = p - {\ frac {qA} {c}} \, \!}

donde $q$ es la carga eléctrica de la partícula, $A$ es el potencial vectorial y $c$ es la velocidad de la luz . Aunque la cantidad $p kin$ es el "momento físico", en el sentido de que es la cantidad que debe identificarse con el momento en los experimentos de laboratorio, no satisface las relaciones canónicas de conmutación; sólo el impulso canónico hace esto. Esto se puede ver de la siguiente manera:

El hamiltoniano no relativista para una partícula cargada cuantificó la masa $m$ en un campo electromagnético clásico (en unidades cgs ):

{\ Displaystyle H = {\ frac {1} {2m}} \ left (p - {\ frac {qA} {c}} \ right) ^ {2} + q \ phi}

donde $A$ es el potencial de tres vectores y $φ$ es el potencial escalar . Esta forma del hamiltoniano, junto con la ecuación de Schrödinger $Hψ = iħ\partialψ / \partialt$ , las ecuaciones de Maxwell y la ley de fuerza de Lorentz son invariantes bajo la transformación de gauge:

{\ Displaystyle A \ to A ^ {\ prime} = A + \ nabla \ Lambda}

{\ Displaystyle \ phi \ to \ phi ^ {\ prime} = \ phi - {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ parcial \ Lambda} {\ parcial t}}}

{\ Displaystyle \ psi \ to \ psi ^ {\ prime} = U \ psi}

{\ Displaystyle H \ to H ^ {\ prime} = UHU ^ {\ dagger},}

o :

{\ Displaystyle U = \ exp \ left ({\ frac {iq \ Lambda} {\ hbar c}} \ right)}

y Λ = Λ (x, t) es la función de calibre.

El operador de momento angular es:

{\ Displaystyle L = r \ times p \, \!}

y obedece a las relaciones canónicas de cuantificación:

{\ Displaystyle [L_ {i}, L_ {j}] = i \ hbar {\ epsilon _ {ijk}} L_ {k}}

definiendo el álgebra de Lie para so (3) , donde está el símbolo Levi-Civita . Bajo transformaciones de calibre, el momento angular cambia a: $\ epsilon _ {{ijk}}$

{\ Displaystyle \ langle \ psi \ vert L \ vert \ psi \ rangle \ to \ langle \ psi ^ {\ prime} \ vert L ^ {\ prime} \ vert \ psi ^ {\ prime} \ rangle = \ langle \ psi \ vert L \ vert \ psi \ rangle + {\ frac {q} {\ hbar c}} \ langle \ psi \ vert r \ times \ nabla \ Lambda \ vert \ psi \ rangle \,.}

El momento angular invariante (o momento angular angular) viene dado por:

{\ Displaystyle K = r \ times \ left (p - {\ frac {qA} {c}} \ right),}

que tiene las relaciones de conmutación:

{\ Displaystyle [K_ {i}, K_ {j}] = i \ hbar {\ epsilon _ {ij}} ^ {\, k} \ left (K_ {k} + {\ frac {q \ hbar} {c }} x_ {k} \ left (x \ cdot B \ right) \ right)}

o :

{\ Displaystyle B = \ nabla \ times A}

es el campo magnético . La no equivalencia de estas dos formulaciones aparece en el efecto Zeeman y el efecto Aharonov-Bohm .

Relación de incertidumbre e interruptores

Todas estas relaciones de conmutación no triviales para pares de operadores conducen a las correspondientes relaciones de incertidumbre , que implican contribuciones positivas a las expectativas semidefinidas de sus respectivos conmutadores y anti-conmutadores. En general, para dos operadores Hermitic $A$ y $B$ consideraron valores medios en un sistema en el estado $ψ$ , la varianza alrededor del valor medio correspondiente es:

$(Δ A ) 2 \equiv ⟨( A - ⟨ A >) 2 >$

Después :

{\ Displaystyle \ Delta A \, \ Delta B \ geq {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ left | \ left \ langle \ left [{A}, {B} \ right] \ right \ rangle \ right | ^ {2} + \ left | \ left \ langle \ left \ {A- \ langle A \ rangle, B- \ langle B \ rangle \ right \} \ right \ rangle \ right | ^ {2} }},}

donde $[ A , B ] \equiv A B - B A$ es el interruptor de $A$ y $B$ , y ${ A , B } \equiv A B + B A$ es el interruptor anti .

Esto sigue a la utilización de la Cauchy - Schwarz , ya que $| < A 2 > | | 〈B 2〉 | \geq | 〈'A B 〉 | 2$ y $UNA B = ([ A , B ] + { A , B }) / 2; y lo mismo para los operadores con turnos A - < A > y B - 〈 B 〉 (Cf. derivaciones del principio de incertidumbre).$

Mediante la sustitución de $A$ y $B$ (y el cuidado de la análisis ), obtenemos la relación de incertidumbre de Heisenberg para $x$ y $p$ .

Relación de incertidumbre para operadores de momento angular

Para los operadores de momento angular, como $L x = y p z - z p y$ , tenemos:

{\ Displaystyle [{L_ {x}}, {L_ {y}}] = i \ hbar \ epsilon _ {xyz} {L_ {z}},}

donde está el símbolo de Levi-Civita y simplemente invierte el signo de la respuesta bajo el intercambio de índices por pares . Una relación análoga es válida para los operadores de espín . ${\ Displaystyle \ epsilon _ {xyz}}$

Aquí, para $L x$ y $L y$ , en multipletes de momento angular tenemos, para las componentes transversales de la invariancia de Casimir $L$ $x$ $2$ $+$ $L$ $y$ $2$ $+$ $L$ $z$ $2$ las relaciones simétricas en $z$ : ${\ Displaystyle \ psi = | \ ell, m \ rangle}$

{\ Displaystyle \ langle L_ {x} ^ {2} \ rangle = \ langle L_ {y} ^ {2} \ rangle = \ left (\ ell (\ ell +1) -m ^ {2} \ right) { \ frac {\ hbar ^ {2}} {2}}}

y $⟨ L x ⟩ ⟨= L y ⟩ = 0$

Por lo tanto, la desigualdad anterior aplicada a esta relación de conmutación especifica:

{\ Displaystyle \ Delta L_ {x} \ Delta L_ {y} \ geq {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ hbar ^ {2} | \ langle L_ {z} \ rangle | ^ {2 }}} ~,}

En consecuencia :

{\ Displaystyle {\ sqrt {| \ langle L_ {x} ^ {2} \ rangle \ langle L_ {y} ^ {2} \ rangle |}} \ geq {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 }} m}

y entonces :

{\ Displaystyle \ ell (\ ell +1) -m ^ {2} \ geq m ~,}

Entonces, esta relación proporciona restricciones útiles como un límite inferior en el invariante Casimir : y por lo tanto , entre otras. ${\ Displaystyle \ ell (\ ell +1) \ geq m (m + 1)}$ ${\ Displaystyle \ ell \ geq m}$

Ver también

Teorema de Stone-von Neumann
Cuantización canónica
Álgebra CCR
Derivada de la mentira
Anzuelo Moyal

Referencias

Born y Jordan, “ Zur Quantenmechanik ”, Zeitschrift für Physik , vol. 34,1925, p. 858 ( DOI 10.1007 / BF01328531 , Bibcode 1925ZPhy ... 34..858B )
Kennard, “ Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen ”, Zeitschrift für Physik , vol. 44, núms . 4-5,1927, p. 326–352 ( DOI 10.1007 / BF01391200 , Bibcode 1927ZPhy ... 44..326K )
Groenewold, “ en los principios de la mecánica cuántica elemental ”, Physica , vol. 12, n o 7,1946, p. 405–460 ( DOI 10.1016 / S0031-8914 (46) 80059-4 , Bibcode 1946Phy .... 12..405G )
Teorema 13.13 de Hall 2013
Curtright y Zachos, " Mecánica cuántica en el espacio de fase " , Boletín de física de Asia Pacífico , vol. 01,2012, p. 37–46 ( DOI 10.1142 / S2251158X12000069 , arXiv 1104.5269 )
Hall 2015 Sección 1.2.6 y Proposición 3.26
Consulte la Sección 5.2 del Hall 2015 para obtener una derivación elemental
Hall 2013 Ejemplo 14.5
JS Townsend , A Modern Approach to Quantum Mechanics , Sausalito, CA, University Science Books,2000( ISBN 1-891389-13-0 , leer en línea )
Robertson, “ El principio de incertidumbre, ” Physical Review , Vol. 34, n o 1,1929, p. 163–164 ( DOI 10.1103 / PhysRev.34.163 , Bibcode 1929PhRv ... 34..163R )

Bibliografía

Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos, Textos de posgrado en matemáticas, 267, Springer.
Hall, Brian C. (2013), Grupos de mentiras, Álgebras y representaciones de mentiras, Introducción elemental, Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2ª ed.), Springer.