Operador vinculado

En matemáticas , la noción de operador acotado es un concepto de análisis funcional . Esta es una transformación lineal L entre dos espacios normados X y Y de tal manera que la imagen de la bola unidad X es una parte delimitada por Y . Esto demuestra que se identifican con aplicaciones lineales continuas de X en Y . El conjunto de operadores acotados está dotado de una norma resultante de las normas de X e Y , laestándar del operador .

Definición

Un mapa lineal L entre los espacios vectoriales normativos X e Y se denomina operador acotado cuando el conjunto

{\ Displaystyle \ left \ {\ left. {\ tfrac {\ | Lu \ | _ {Y}} {\ | u \ | _ {X}}} \ right | u \ in X \ setminus \ {0 \} \ right \} = \ left \ {\ | Lu \ | _ {Y} \ mid u \ in X, \ | u \ | _ {X} = 1 \ right \}}

está ligado. En otras palabras, existe una M real estrictamente positiva para la cual, para cualquier u perteneciente a X , se realiza la siguiente desigualdad

{\ Displaystyle \ | Lu \ | _ {Y} \ leq M \ | u \ | _ {X}. \,}

El más pequeño del límite superior adecuado M se llama la norma del operador de L , y se denota , o más simplemente . ${\ Displaystyle | \! | \! | L | \! | \! |}$ ${\ Displaystyle \ | L \ |}$

Esta definición puede reformularse de varias formas. Y una aplicación lineal L de X en Y se dice que está delimitada cuando la imagen de la bola unidad B está limitada, y es el radio de la bola más pequeña Y que contiene las imágenes de los elementos B . ${\ Displaystyle \ | L \ |}$

O, usando linealidad, un operador está acotado si y solo si es un mapa de Lipschitz , y entonces es su constante de Lipschitz. ${\ Displaystyle \ | L \ |}$

{\ Displaystyle \ forall (u, v) \ in X ^ {2}, \ | Lu-Lv \ | _ {Y} = \ | L (uv) \ | _ {Y} \ leq \ | L \ | \ | uv \ | _ {X}. \,}

La expresión "operador acotado" no debe ser engañosa, no es una función acotada de X a Y , sino más bien una función acotada localmente .

Enlace con continuidad

Un operador L entre espacios vectoriales normados X y Y está limitada si y sólo si es continua en 0, o si y sólo si es continua en X .

Ejemplos de

Un mapa lineal entre espacios vectoriales normativos de dimensión finita es siempre un operador acotado.
De manera más general, este es el caso de todos los mapas lineales para los que el espacio inicial es de dimensión finita.
Sobre el espacio vectorial de polinomios , tomando como norma el máximo de los valores absolutos de los coeficientes, la forma lineal L que asocia P (2) con un polinomio P no es continua: no está acotada ya que L ( X n ) = 2 n . $\ mathbb {R} [X]$
Otro ejemplo: la lineal de en sí mismo no puede, cualquiera que sea la elección de la norma, sea una aplicación de Lipschitz, ya que para cualquier número entero n , . ${\ Displaystyle L: P \ mapsto XP '(X)}$ $\ mathbb {R} [X]$ ${\ Displaystyle L (X ^ {n}) = nX ^ {n}}$
Un operador compacto es un mapeo lineal de X a Y de manera que la unidad de bola X tiene la parte de imagen relativamente compacto en Y . Entonces, dicho operador está acotado. Este es el caso, por ejemplo, de los operadores integrales (u operadores de kernel). El ejemplo más simple de tal operador lo da ${\ Displaystyle T_ {K}: f \ mapsto \ left ({T_ {K} (f): x \ mapsto T_ {K} (f) (x) = \ int _ {a} ^ {b} K (t , x) f (t) ~ {\ rm {d}} t} \ derecha).}$ Si la función K ( kernel ) es continua , entonces es un operador compacto de in (ambos provistos de la norma de convergencia uniforme ). ${\ Displaystyle [a, b] \ times [c, d]}$ $T_ {K}$ ${\ Displaystyle C ^ {0} ([a, b])}$ ${\ Displaystyle C ^ {0} ([c, d])}$

Operadores acotados en el marco de los espacios de Banach

El conjunto de operadores acotado entre dos espacios de Banach X e Y forma un espacio de Banach cuando se le proporciona la norma de operador . Si X = Y , es un álgebra de Banach unitaria.

Es posible definir un operador acotado entre dos espacios de Banach dando solo su restricción a un subespacio denso . Para ello basta con asegurar que esta restricción esté delimitada localmente (o Lipschitziana) y aplicar el procedimiento general de prolongación por continuidad . El resultado es de hecho un operador acotado.

El teorema de Banach-Schauder (o aplicación abierta)

El teorema de Banach-Schauder muestra que cualquier operador acotado y sobreyectivo entre espacios de Banach es un mapa abierto (es decir, la imagen de un abierto es un abierto de F ). En particular, la imagen de la bola unitaria se "enmarca" entre dos bolas del espacio de la imagen.

El teorema de Banach sigue : si L es un operador acotado y biyectivo entre dos espacios de Banach, su inverso también es un operador acotado. Tal mapa constituye un isomorfismo para la estructura espacial de Banach.

El teorema de Banach-Steinhaus (o principio de cota uniforme)

El teorema de Banach-Steinhaus se refiere a familias, y en particular a secuencias, de operadores acotados. En su versión débil, establece que tal familia está uniformemente delimitada si y solo si está puntualmente delimitada.

Como corolario, cuando una secuencia ( L n ) de operadores acotados en un espacio de Banach simplemente converge a una función L , entonces L también es un operador acotado. Sin embargo, no se puede afirmar la convergencia de la secuencia ( L n ) hacia L con relación a la norma del operador.

El teorema del grafo cerrado

Para un mapa lineal entre dos espacios de Banach E y F está limitada (y por tanto continuos) si y sólo si su gráfica está cerrado en E × F . Este resultado es una consecuencia directa del teorema de Banach.

Ver también

Operador ilimitado