Grupo Heisenberg
En matemáticas , el grupo de Heisenberg de un anillo unificado A (no necesariamente conmutativo ) es el grupo multiplicativo de matrices triangulares superiores de tamaño 3 con coeficientes en A y cuyos elementos diagonales son iguales al neutro multiplicativo del anillo:
H3(A)={(1avs01B001) | a,B,vs∈A}.{\ displaystyle H_ {3} (A) = \ left \ {\ left. {\ begin {pmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix} } ~ \ right | ~ a, b, c \ in A \ right \}.}
Originalmente, el anillo A elegido por Werner Heisenberg era el cuerpo ℝ de los reales . El “grupo continuo de Heisenberg” le permitió explicar, en mecánica cuántica , la equivalencia entre la representación de Heisenberg y la de Schrödinger . Podemos generalizar su definición en geometría simpléctica .
H3(R){\ Displaystyle H_ {3} (\ mathbb {R})}
El "grupo discreto de Heisenberg " corresponde al anillo ℤ de números enteros .
H3(Z){\ Displaystyle H_ {3} (\ mathbb {Z})}
El grupo de Heisenberg , donde p es un número primo , corresponde al campo primo finito F p = ℤ / p ℤ . Es un finito p -group , de orden p 3 .
H3(Fpag){\ Displaystyle H_ {3} ({\ rm {F}} _ {p})}
Estructura de grupo
H3(A){\ Displaystyle H_ {3} (A)}es un subgrupo del grupo lineal GL (3, A ).
La ley de A 3 inducida por la biyección.
A3→H3(A),(a,B,vs)↦(1avs01B001),{\ Displaystyle A ^ {3} \ to H_ {3} (A), \ quad (a, b, c) \ mapsto {\ begin {pmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}},}
es :
(a,B,vs)(a′,B′,vs′)=(a+a′,B+B′,vs+vs′+aB′).{\ Displaystyle (a, b, c) (a ', b', c ') = (a + a', b + b ', c + c' + ab ').}
Por tanto, es el producto semidirecto A ⋉ ( A × A ), el grupo de aditivos A que actúa sobre el producto directo A × A por: a ⋅ ( b , c ) = ( b , c + ab ).
Por construcción, A 3 provisto de esta ley es un grupo isomorfo a , en el que:
H3(A){\ Displaystyle H_ {3} (A)}
- los n -ésimos poderes están dados por ,(a,B,vs)no=(noa,noB,novs+no(no-1)2aB){\ Displaystyle (a, b, c) ^ {n} = \ left (na, nb, nc + {\ frac {n (n-1)} {2}} ab \ right)}
- la simétrica de es , por lo tanto(a,B,vs){\ Displaystyle (a, b, c)}(-a,-B,-vs+aB){\ Displaystyle (-a, -b, -c + ab)}
- el interruptor de y es , por lo tanto[X,y]: =XyX-1y-1{\ Displaystyle \ left [x, y \ right]: = xyx ^ {- 1} y ^ {- 1}}X: =(a,B,vs){\ Displaystyle x: = (a, b, c)}y: =(a′,B′,vs′){\ Displaystyle y: = (a ', b', c ')}(0,0,aB′-Ba′){\ displaystyle (0,0, ab'-ba ')}
- el grupo derivado y el centro son iguales a 0 × 0 × A .
Por lo tanto, el grupo es nilpotente de clase 2, por lo tanto, no abeliano (a menos que A sea el anillo nulo , en cuyo caso el grupo es trivial ).
H3(A){\ Displaystyle H_ {3} (A)}
Grupo continuo de Heisenberg
H3(R){\ Displaystyle H_ {3} (\ mathbb {R})}es un grupo de Lie real de dimensión 3. El grupo discreto de Heisenberg es una celosía .
H3(Z){\ Displaystyle H_ {3} (\ mathbb {Z})}
Geometría simpléctica lineal
Más en general, podemos asociar un grupo de Heisenberg con cualquier espacio vectorial simpléctico ( es una forma bilineal no degenerada alternó en ). El grupo de Heisenberg es el espacio topológico de producto , dotado de la ley de grupo:
(V,ω){\ Displaystyle (V, \ omega)}ω{\ Displaystyle \ omega} V{\ Displaystyle V}H(V){\ Displaystyle H (V)} V×R{\ Displaystyle V \ times \ mathbb {R}}
(v1,t1)∗(v2,t2)=(v1+v2,t1+t2+12ω(v1,v2)).{\ Displaystyle (v_ {1}, t_ {1}) * (v_ {2}, t_ {2}) = \ left (v_ {1} + v_ {2}, t_ {1} + t_ {2} + {\ tfrac {1} {2}} \ omega (v_ {1}, v_ {2}) \ right).}El grupo es una extensión del grupo aditivo de . El álgebra de Lie de es el espacio vectorial , provisto con el corchete de LieH(V){\ Displaystyle H (V)}V{\ Displaystyle V}H(V){\ Displaystyle H (V)} h(V)=V⊕R{\ Displaystyle h (V) = V \ oplus \ mathbb {R}}
[(v1,t1),(v2,t2)]=(0,ω(v1,v2)).{\ Displaystyle [(v_ {1}, t_ {1}), (v_ {2}, t_ {2})] = (0, \ omega (v_ {1}, v_ {2})).}Grupo discreto de Heisenberg
El grupo , identificado con la ley anterior , es generado por y . Al involucrarlos cambiar , muestra que una presentación del grupo está dada por tres generadores y tres relaciones , y .
H3(Z){\ Displaystyle H_ {3} (\ mathbb {Z})}Z3{\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {3}} X: =(1,0,0){\ Displaystyle x: = (1,0,0)}y: =(0,1,0){\ Displaystyle y: = (0,1,0)}z: =[X,y]=(0,0,1){\ Displaystyle z: = \ left [x, y \ right] = (0,0,1)}X,y,z{\ Displaystyle x, y, z}z=XyX-1y-1{\ Displaystyle z = xyx ^ {- 1} y ^ {- 1}}Xz=zX{\ Displaystyle xz = zx}yz=zy{\ Displaystyle yz = zy}
Según el teorema de Bass , tiene un polinomio de crecimiento (in) de orden 4.
H3(Z){\ Displaystyle H_ {3} (\ mathbb {Z})}
Grupo de Heisenberg en F p
Según su estructura ( ver arriba ):
-
H3(Fpag){\ Displaystyle H_ {3} ({\ rm {F}} _ {p})}tiene un centro de orden py su cociente por este centro es un p - grupo abeliano elemental (en) (isomorfo a (ℤ / p ℤ) × (ℤ / p ℤ)): decimos que es un p - grupo extra - Especial (en) ;H3(Fpag){\ Displaystyle H_ {3} ({\ rm {F}} _ {p})}
- este cociente también es el abelianizado de .H3(Fpag){\ Displaystyle H_ {3} ({\ rm {F}} _ {p})}
Caso p primo impar
El grupo es el cociente de por el subgrupo normal . Como p es impar, este subgrupo consta de las p -ésimas potencias de los elementos del grupo. Una presentación (deducida de la de arriba) viene dada por tres generadores y relaciones: , , y .
H3(Fpag){\ Displaystyle H_ {3} ({\ rm {F}} _ {p})}H3(Z)=Z⋉(Z×Z){\ Displaystyle H_ {3} (\ mathbb {Z}) = \ mathbb {Z} \ ltimes (\ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z})} pagZ⋉(pagZ×pagZ){\ Displaystyle p \ mathbb {Z} \ ltimes (p \ mathbb {Z} \ times p \ mathbb {Z})}H3(Fpag){\ Displaystyle H_ {3} ({\ rm {F}} _ {p})}H3(Z){\ Displaystyle H_ {3} (\ mathbb {Z})}X,y,z{\ Displaystyle x, y, z}z=XyX-1y-1{\ Displaystyle z = xyx ^ {- 1} y ^ {- 1}}Xz=zX{\ Displaystyle xz = zx}yz=zy{\ Displaystyle yz = zy}Xpag=ypag=zpag=1{\ Displaystyle x ^ {p} = y ^ {p} = z ^ {p} = 1}
El exponente de es p .
H3(Fpag){\ Displaystyle H_ {3} ({\ rm {F}} _ {p})}
Caso p = 2
El grupo es isomorfo al grupo diedro D 8 . En efecto, es de orden 8 y generado por las imágenes de los generadores de , o por , de orden 2 y , de orden 4, que verificanH3(F2){\ Displaystyle H_ {3} ({\ rm {F}} _ {2})}X¯,y¯{\ Displaystyle {\ overline {x}}, {\ overline {y}}}X,y{\ Displaystyle x, y}H3(Z){\ Displaystyle H_ {3} (\ mathbb {Z})}σ: =X¯{\ Displaystyle \ sigma: = {\ overline {x}}}τ: =X¯y¯{\ Displaystyle \ tau: = {\ overline {x}} {\ overline {y}}}στσ-1=τ-1.{\ Displaystyle \ sigma \ tau \ sigma ^ {- 1} = \ tau ^ {- 1}.}
Ver también
Enlace externo
(en) Keith Conrad , " Grupos de orden p 3 "
Bibliografía
(en) Daniel K. Biss y Samit Dasgupta, “ Una presentación para el grupo unipotente sobre anillos con identidad ” , Journal of Algebra , vol. 237, n o 22001, p. 691-707 ( DOI 10.1006 / jabr.2000.8604 )
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