Las ecuaciones de Maxwell , también llamadas ecuaciones de Maxwell-Lorentz, son leyes fundamentales de la física . Constituyen los postulados básicos del electromagnetismo , con la expresión de la fuerza electromagnética de Lorentz .
Estas ecuaciones traducen en forma local varios teoremas ( Gauss , Ampère , Faraday ) que regían el electromagnetismo antes de que Maxwell los uniera en forma de ecuaciones integrales . Por lo tanto, dan un marco matemático preciso al concepto fundamental de campo introducido en la física por Faraday en la década de 1830 .
Estas ecuaciones muestran en particular que en un estado estacionario, los campos eléctricos y magnéticos son independientes entre sí, mientras que no están en un régimen variable. En el caso más general, debemos por tanto hablar del campo electromagnético, siendo la dicotomía eléctrico-magnética una visión de la mente. Este aspecto encuentra su formulación definitiva en el formalismo covariante presentado en la segunda parte de este artículo: el campo electromagnético está representado allí por un único objeto matemático, el tensor electromagnético , algunos componentes del cual se identifican con los del campo eléctrico y otros. a los del campo magnético .
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales parciales de primer orden acopladas:
Esta "corrección" de Maxwell del teorema de Ampère es particularmente importante: significa que la variación de un campo magnético crea un campo eléctrico y que la variación de un campo eléctrico crea un campo magnético. Por tanto, estas ecuaciones permiten la circulación de ondas electromagnéticas autosostenidas o " radiación electromagnética ".
La velocidad de propagación calculada para las ondas electromagnéticas, que podría predecirse mediante experimentos sobre cargas y corrientes, es exactamente la velocidad de la luz . Esto se debe a que la luz es una forma de radiación electromagnética (al igual que los rayos X , las ondas de radio , etc.). Maxwell comprendió la relación entre la radiación electromagnética y la luz en 1864, unificando dos campos hasta entonces inconexos: el del electromagnetismo y el de la óptica .
Alrededor de 1865, Maxwell produjo una síntesis armoniosa de las diversas leyes experimentales descubiertas por sus predecesores (leyes de la electrostática , magnetismo , inducción, etc.). Pero esta síntesis sólo fue posible porque Maxwell supo ir más allá del trabajo de sus predecesores, al introducir en una ecuación un "eslabón perdido", llamado corriente de desplazamiento , cuya presencia asegura la coherencia del edificio unificado.
Maxwell publicó por primera vez su teoría en 1865 en forma de veinte ecuaciones con veinte incógnitas, escritas utilizando cuaterniones . En 1873, en la obra de dos volúmenes Tratado sobre electricidad y magnetismo , Maxwell ya había reescrito su teoría en forma de ocho ecuaciones. Sólo más tarde, en 1884, Oliver Heaviside reescribió estas ecuaciones en forma de cuatro ecuaciones vectoriales con derivadas parciales que ahora se conocen.
Hoy en día, las cuatro ecuaciones (vectoriales) de Maxwell se reducen a solo dos ecuaciones tensoriales, o incluso a una sola ecuación multivectorial en álgebra geométrica .
La síntesis de Maxwell permitió más tarde los dos mayores avances de la física moderna:
Presentamos a continuación la teoría microscópica fundamental que da las ecuaciones de Maxwell-Lorentz en el vacío en presencia de fuentes , que pueden ser cargas puntuales y / o sus corrientes eléctricas microscópicas asociadas si estas cargas están en movimiento en el marco de referencia de estudio.
La teoría macroscópica que requiere la introducción de los campos D y H (y las ecuaciones de Maxwell asociadas) se analiza en detalle en Electrodinámica de medios continuos .
Apuntamos :
En esta ecuación usaremos el operador nabla , anotado :, cuya expresión podemos escribir en coordenadas cartesianas con
∇→=∂∂Xmi→X+∂∂ymi→y+∂∂zmi→z.{\ estilo de visualización {\ vec {\ nabla}} = {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} {\ vec {e}} _ {x} + {\ frac {\ parcial} {\ parcial y}} {\ vec {e}} _ {y} + {\ frac {\ parcial} {\ parcial z}} {\ vec {e}} _ {z}.} Esta ecuación local da la divergencia del campo eléctrico en función de la densidad de la carga eléctrica: ∇→⋅mi→=ρε0atussInootmi´midivmi→=ρε0.{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {E}} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \ quad \ mathrm {también \; no {\ aguda { e}} e} \ quad \ operatorname {div} {\ vec {E}} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}.} Esta ecuación corresponde a un "término fuente": la densidad de carga eléctrica es una fuente del campo eléctrico. Por ejemplo, para una carga puntual fijada en el origen , la ley de Coulomb da el campo electrostático en un punto en el espacio, punto identificado por el vector de posición donde está el vector unitario radial, y que se escribe: mi→(METRO)=q4πε0r2tu→r.{\ Displaystyle {\ vec {E}} (M) = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r ^ {2}}} {\ vec {u}} _ {r}.} Este campo electrostático verifica la ecuación de Maxwell-Gauss para la fuente estática, es decir, ρ(X→,t)=qδ3(X→),{\ Displaystyle \ rho ({\ vec {x}}, t) = q \ delta ^ {3} ({\ vec {x}}),} donde es la distribución de Dirac en el espacio tridimensional. Teorema de gaussEl teorema de Gauss es la forma integral de la ecuación de Maxwell-Gauss. Afirma que el flujo del campo eléctrico permanente a través de una superficie gaussiana cerrada , orientada según la normal saliente, es igual a la relación entre la carga contenida en el volumen delimitado por la superficie y la permitividad del vacío:
∮Σmi→⋅DS→=1ε0∫VρDτ=QInotε0.{\ Displaystyle \ oint _ {\ Sigma} {\ vec {E}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}} = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ int _ {V} \ rho \ mathrm {d} \ tau = {\ frac {Q _ {\ mathrm {int}}} {\ varepsilon _ {0}}}.} Tenga en cuenta que la ecuación de Maxwell-Gauss se encuentra fácilmente aplicando el teorema de Ostrogradski al teorema de Gauss y tomando un volumen infinitesimal.Esta ecuación también se denomina ecuación de flujo de Maxwell ; expresa que el flujo del campo magnético a través de una superficie
cerrada es siempre cero: ∮ΣB→⋅DS→=0.{\ Displaystyle \ anint _ {\ Sigma} {\ vec {B}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}} = 0.} Esta ecuación es la forma integral de la ecuación local de Maxwell, y pasamos de una a otra aplicando el teorema de Ostrogradski . Ecuación local de MaxwellEsta ecuación local es para el campo magnético lo que la ecuación de Maxwell-Gauss es para el campo eléctrico, es decir, una ecuación con "término fuente", aquí idénticamente cero:
∇→⋅B→=0atussInootmi´midivB→=0.{\ Displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {B}} = 0 \ quad \ mathrm {también \; no {\ sharp {e}} e} \ quad \ operatorname {div} {\ vec {B}} = 0.} Refleja el siguiente hecho experimental: no existe un monopolo magnético. Un monopolo magnético sería una fuente puntual de un campo magnético, análoga a la carga eléctrica puntual del campo eléctrico. Sin embargo, la fuente del objeto básico de un campo magnético es el imán , que se comporta como un dipolo magnético : de hecho, un imán tiene un polo norte y un polo sur. El experimento básico de intentar cortar un imán por la mitad da lugar a dos imanes, no un polo norte y un polo sur por separado. Introducción del potencial vectorialEl análisis vectorial muestra que la divergencia de un rotacional es siempre idénticamente cero para cualquier campo no especificado , es decir . A la inversa, cualquier campo vectorial cuya divergencia sea idénticamente cero puede expresarse localmente como rotacional. Por tanto, la ecuación de conservación del flujo magnético local permite definir al menos localmente un vector de potencial como:
B→=∇→×A→.{\ Displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {A}}.} El importante problema de la unicidad del vector-potencial se discute en el artículo Invarianza de calibre de la teoría .Esta ecuación local refleja el fenómeno fundamental de inducción electromagnética descubierto por Faraday .
La ecuación localDa la rotación del campo eléctrico en función de la derivada del tiempo del campo magnético:
∇→∧mi→=-∂B→∂tatussInootmi´mirot→mi→=-∂B→∂t.{\ Displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ wedge {\ vec {E}} = - {\ frac {\ parcial {\ vec {B}}} {\ parcial t}} \ quad \ mathrm {también \; not {\ sharp {e}} e} \ quad \ operatorname {\ overrightarrow {rot}} {\ vec {E}} = - {\ frac {\ partial {\ vec {B}}} {\ partial t}} .} Esta ecuación indica que la variación del campo magnético crea un campo eléctrico. Forma integral: ley de FaradayLa forma integral de la ecuación local viene dada, según el teorema de Stokes , por:
∮VSmi→⋅Dℓ→=-DDt(∫SB→⋅DS→).{\ Displaystyle \ anint _ {C} {\ vec {E}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ ell}} = - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t }} \ left (\ int _ {S} {\ vec {B}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}} \ right).} Esta es la ley de Faraday , que también está escrita: mi=-DΦDt{\ Displaystyle e = - {\ frac {\ mathrm {d} \ Phi} {\ mathrm {d} t}}} o:El análisis vectorial muestra que la curvatura de un gradiente siempre es idénticamente cero. Para cualquier campo escalar :
∇→×(∇→F)=0→.{\ Displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times ({\ vec {\ nabla}} F) = {\ vec {0}}.} La ecuación de Maxwell-Faraday junto con la existencia local de un vector de potencial permite definir (al menos localmente) el potencial eléctrico (escalar) como: mi→=-∇→V-∂A→∂t.{\ Displaystyle {\ vec {E}} = - {\ vec {\ nabla}} V - {\ frac {\ parcial {\ vec {A}}} {\ parcial t}}.} El importante problema de la unicidad del potencial eléctrico se analiza en la Teoría de la invarianza de calibre .Esta ecuación se hereda del teorema de
Ampère . En forma local, está escrito en términos del vector de densidad de corriente : ∇→×B→=μ0ȷ→+μ0ε0∂mi→∂tatussInootmi´mirot→B→=μ0ȷ→+μ0ε0∂mi→∂t{\ Displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {B}} = \ mu _ {0} {\ vec {\ jmath}} + \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ parcial {\ vec {E}}} {\ parcial t}} \ quad \ mathrm {también \; no {\ aguda {e}} e} \ quad \ operatorname {\ overrightarrow {rot}} {\ vec {B}} = \ mu _ {0} {\ vec {\ jmath}} + \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ parcial {\ vec {E}}} {\ parcial t }}} Introducción de la corriente de desplazamientoLa ecuación anterior se puede reescribir
∇→×B→=μ0(ȷ→+ȷ→D),{\ Displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {B}} = \ mu _ {0} \ left ({\ vec {\ jmath}} + {\ vec {\ jmath}} _ {D } \ derecho),} introduciendo la corriente de desplazamiento de Maxwell ȷ→D=ε0∂mi→∂t.{\ displaystyle {\ vec {\ jmath}} _ {D} = \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial {\ vec {E}}} {\ partial t}}.} La forma integral vincula la circulación del campo magnético en un contorno cerrado y las corrientes que atraviesan una superficie que descansa sobre este contorno. Esta es una consecuencia directa del teorema de Green : ∮VSB→⋅Dℓ→=μ0∫Sȷ→⋅DS→+ε0μ0∫S∂mi→∂t⋅DS→.{\ Displaystyle \ anint _ {C} {\ overrightarrow {B}} \ cdot {\ mathrm {d} {\ vec {\ ell}}} = \ mu _ {0} \ int _ {S} {\ vec { \ jmath}} \ cdot {\ mathrm {d} {\ vec {S}}} + \ varepsilon _ {0} \ mu _ {0} \ int _ {S} {\ frac {\ partial {\ vec {E }}} {\ parcial t}} \ cdot {\ mathrm {d} {\ vec {S}}}.}Considere la divergencia de la ecuación de Maxwell-Ampere:
∇→⋅∇→×B→=0=μ0∇→⋅ȷ→+ε0μ0∇→⋅(∂mi→∂t).{\ Displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {\ nabla}} \ times {\ vec {B}} = 0 = \ mu _ {0} {\ vec {\ nabla}} \ cdot { \ vec {\ jmath}} + \ varepsilon _ {0} \ mu _ {0} {\ vec {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ frac {\ parcial {\ vec {E}}} {\ parcial t}} \ derecha).} Siendo independientes las derivadas espacial y temporal, el teorema de Schwarz asegura que se puede permutar el operador nabla y la derivada parcial temporal. Luego, usando la ecuación de Maxwell-Gauss, se obtiene: ∇→⋅(∂mi→∂t)=∂ ∂t(∇→⋅mi→)=1ε0∂ρ∂t.{\ Displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot \ left ({\ frac {\ parcial {\ vec {E}}} {\ parcial t}} \ right) = {\ frac {\ parcial ~} {\ parcial t}} \ izquierda ({\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {E}} \ derecha) = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} {\ frac {\ parcial \ rho} {\ t parcial}}.} Finalmente obtenemos la ecuación local de conservación de la carga eléctrica: ∇→⋅j→+∂ρ∂t=0atussInootmi´midivj→+∂ρ∂t=0.{\ Displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {j}} + {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = 0 \ quad \ mathrm {también \; no {\ aguda {e}} e} \ quad \ operatorname {div} {\ vec {j}} + {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = 0.} La presencia del término de corriente de desplazamiento , introducido por Maxwell, es fundamental para obtener esta ecuación.Considere la rotación de la ecuación de Maxwell-Faraday, dadas Maxwell-Gauss y Maxwell-Ampere:
,
bien, utilizando el hecho de que las derivadas espaciales y temporales son independientes
,
o, reorganizando:
.
Esto muestra que el campo eléctrico sigue la ecuación de onda .
Teniendo en cuenta la rotación de la ecuación de Maxwell-Ampere, teniendo en cuenta a Maxwell-Thomson y Maxwell-Faraday, encontramos el resultado equivalente:
.
Esto muestra que el campo magnético también sigue la ecuación de onda.
La velocidad de propagación de la onda electromagnética viene dada por:
.
El análisis vectorial muestra que la divergencia de un rizo siempre es idénticamente cero:
.Por tanto, la ecuación de conservación del flujo magnético local permite definir al menos localmente un vector de potencial como:
. |
El análisis vectorial también nos dice que
.Entonces, el vector de potencial no se define de forma única desde la siguiente transformación, con cualquier función
no modifica el valor del campo . Este es un ejemplo de una transformación de calibre . Por tanto, es necesario imponer condiciones adicionales para definir de forma inequívoca. Esto se denomina condiciones de calibre, por ejemplo, la condición de calibre de Coulomb o, más generalmente, la condición de calibre de Lorenz (ver más abajo).
Podemos notar que en la física clásica , el vector de potencial parece ser solo una herramienta matemática conveniente para analizar las soluciones de las ecuaciones de Maxwell, pero no parece ser una cantidad física directamente mensurable . En 1959, en el marco de la física cuántica , Aharonov y Bohm demostraron que el potencial vectorial tenía un efecto observable en la mecánica cuántica : se trata del efecto Aharonov-Bohm .
La ecuación de Maxwell-Faraday junto con la existencia local de un vector de potencial permite definir (al menos localmente) el potencial eléctrico (escalar) como:
. |
El potencial en sí tampoco está definido de una manera única, pero la transformación de gauge asociada y vinculada a la de es la siguiente (recordamos la de en aras de la claridad) y tenemos
.Estas dos ecuaciones dan la invariancia de calibre completa de las ecuaciones de Maxwell.
Establecemos la condición de calibre de Lorenz (que acopla los dos potenciales):
.Tomemos la ecuación de Maxwell-Ampere, teniendo en cuenta la condición de calibre de Lorenz y la expresión de en función de los potenciales y :
,.
Obtenemos la ecuación de propagación del potencial vectorial:
usando . Lo mismo ocurre con el potencial escalar:
,es
Observamos que el medidor de Lorenz permite desacoplar las ecuaciones de propagación de los campos y : dependen respectivamente solo de las fuentes y . Esta es la razón por la que el medidor de Lorenz se utiliza a menudo para el estudio de los fenómenos ondulatorios.
Las expresiones de los campos eléctrico y magnético se pueden obtener integrando las ecuaciones de Liénard-Wichert o las de Heaviside-Feynman en todo el espacio .
Resolvamos las ecuaciones de Maxwell en el espacio posiblemente limitado por condiciones que mantienen la linealidad .
Representemos soluciones por letras (conjuntos de 6 vectores formados por los seis componentes del campo en cualquier punto de coordenadas ). Como en el vacío las ecuaciones son lineales ,, donde son constantes reales, también es una solución. En consecuencia, el conjunto de soluciones de las ecuaciones de Maxwell es un espacio vectorial real.
Según la definición introducida en acústica , un modo es una dirección de este espacio. Un sistema completo de soluciones constituye una base en este espacio llamado a veces espacio de soluciones, a veces espacio de modos. Una solución particular en un modo se obtiene multiplicando un campo de este modo planteado como un campo de amplitud unitaria, por una constante real, la amplitud.
Con un sistema de unidades adecuado, la energía (en un momento dado) de una solución es la integral extendida a todo el espacio, el cuadrado de la norma del vector con respecto al producto escalar habitual. Es necesario prestar atención al hecho de que la energía no depende linealmente de . La energía de la suma de varias soluciones no es, por tanto, a priori , la suma de las energías de las diferentes soluciones tomadas por separado. Sin embargo, el método de Gram-Schmidt permite obtener, a partir de un sistema completo de soluciones, un sistema completo de soluciones ortogonales, o incluso un sistema completo de modos ortogonales. En tales sistemas, las energías son independientes, es decir, la energía de una solución es igual a la suma de las energías de sus diferentes componentes en el sistema.
Planck postuló que la energía en un modo monocromático de frecuencia que se propaga en un cuerpo negro a la temperatura es . El valor de los datos erróneos de Planck fue corregido por Nernst en 1916; el valor se encuentra fácilmente porque la termodinámica dicta que tiende hacia cuando tiende hacia el infinito. Esta fórmula define la temperatura de un modo. Sin embargo, la interpretación de esta fórmula es físicamente delicada porque la definición de una frecuencia pura supone una experiencia de duración infinita.
Sabemos cómo calcular los campos emitidos por cargas, por ejemplo el campo emitido por un dipolo electrostático oscilante. Volviendo al problema anterior, utilizamos el “truco de Schwarzschild y Fokker”. El campo emitido por una fuente se denomina "campo retardado" . Despojado de la fuente, este campo no es una solución de las ecuaciones de Maxwell. Para obtener una solución idéntica en el futuro, es necesario agregarle un "campo avanzado" . Según esta definición, es la solución de las ecuaciones de Maxwell. Así, al sustituir la fuente por el campo avanzado, volvemos al problema lineal de un campo en el vacío y podemos definir modos.
Las soluciones generales y causales de las ecuaciones de Maxwell vienen dadas por las ecuaciones de Jefimenko .
Las ecuaciones de Jefimenko dan el campo eléctrico y el campo magnético debido a una distribución de cargas eléctricas y corriente eléctrica en el espacio. Tienen en cuenta el retraso debido a la propagación (tiempo de retraso) de los campos debido al límite finito de la velocidad de la luz y los efectos relativistas. Por tanto, pueden utilizarse para mover cargas y corrientes. Son las soluciones generales de las ecuaciones de Maxwell para cualquier distribución arbitraria de cargas y corrientes.
Estas ecuaciones son la generalización dependiente del tiempo ( electrodinámica ) de la ley de Coulomb y la ley de Biot-Savart, que originalmente eran verdaderas solo para campos electrostáticos y magnetostáticos, así como para corrientes directas.
Una de las características esenciales de las ecuaciones de Jefimenko se ve en la parte derecha donde aparece el tiempo retrasado que refleja la causalidad de estas ecuaciones. En otras palabras, el lado izquierdo de las ecuaciones en realidad está causado por el lado derecho, a diferencia de las ecuaciones diferenciales de Maxwell, donde ambos lados tienen lugar al mismo tiempo.
Un sistema físico tiene, en general, mínimos relativos de energía. En régimen no evolutivo (estacionario), el sistema, excitado por un campo electromagnético del orden de en cada modo que es capaz de emitir (y por tanto de absorber), permanece en las proximidades de un mínimo de energía; para cada modo monocromático, su excitación hace que irradie un campo en cuadratura con el campo incidente, que no produce ningún intercambio de energía permanente, pero introduce un retardo, refracción. Para un campo más intenso, en particular debido a una fluctuación favorable del campo, el sistema puede cruzar un cuello de su diagrama de energía y absorber una energía que esta absorción puede llevar a un nivel inestable desde el cual el sistema puede evolucionar rápidamente a otros niveles. en una cascada más o menos radiativa que lo lleva a un estado estacionario y estable.
En una teoría clásica, no se puede admitir ninguna paradoja, en particular la paradoja de Einstein, Podolsky y Rosen no existe: supongamos que un átomo pierde una energía resonante , por ejemplo, por la radiación de un dipolo. El modo de emisión de este dipolo no es ortogonal a los modos de emisión (por tanto de absorción) de otros átomos cuya amplitud se puede incrementar; Entonces , 0, 1, 2,… átomos pueden absorber , incluso si, en promedio, solo se excita un átomo; los campos residuales juegan el papel de un baño termodinámico.
Se ha escrito que el electrón de un átomo de hidrógeno que sigue una órbita de Bohr emite un campo, por lo tanto irradia energía y debería caer sobre el núcleo. El electrón emite un campo, pero de muy baja energía debido a la interferencia del campo emitido con el campo residual; esta energía cae a cero si la órbita se corrige ligeramente, de modo que la energía del estado estacionario sufre el desplazamiento de Lamb .
El estudio de la ignición de un láser parece indicar que el campo del punto cero induce una emisión dos veces más intensa que un campo de mayor intensidad. Para tener en cuenta este resultado, se puede introducir una "radiación de reacción" ad hoc . La explicación real es muy simple: un átomo es excitado por un campo en el modo que puede emitir, llamado esférico; cuando se pone en marcha el láser, hay en este modo una amplitud correspondiente a ; el láser opera en un modo de onda plana, cuya componente esférica debe tomarse para excitar el átomo, que divide la energía en dos.
No existe un sistema electromagnético aislado; olvidar que el campo mínimo es el campo de punto cero conduce a errores al detectar campos débiles.
NB Esta parte sigue las convenciones clásicas de señales MTW
Esta parte también adopta la convención de convocatorias de Einstein .
El espacio-tiempo de Minkowski (1908) es una variedad diferencial plana M dotada de una métrica de Lorentz.
Dejado ser un sistema de coordenadas arbitrario en torno a un evento (punto) del espacio-tiempo, y sea una base local de , tangente espacio al colector en el punto . Entonces, un vector tangente se escribe como la combinación lineal:
. |
Se denominan componentes contravariantes del vector . El tensor métrico es la forma bilineal simétrica:
En una base ortonormal de un marco de referencia inercial , sus componentes covariantes son:
Sus componentes contravariantes verifican:
. |
Obtenemos explícitamente:
. |
Las siguientes convenciones habituales se utilizarán a continuación:
Por ejemplo, los componentes contravariantes del vector de 4 posiciones se escriben en un sistema de coordenadas ortonormal:
. |
El tensor métrico define para cada punto del espacio-tiempo un producto pseudoescalar ( pseudo en el sentido de que se elimina la hipótesis de la positividad) en el espacio euclidiano tangente a M en el punto . Si y son dos vectores de , su producto escalar se escribe:
. |
En particular, tomando dos vectores básicos, obtenemos las componentes:
. |
denotando las componentes contravariantes del vector w , podemos definir de la misma manera sus componentes covariantes por:
. |
Por ejemplo, los componentes covariantes del vector de 4 posiciones se escriben en un sistema de coordenadas ortonormal:
. |
Introducimos el operador diferencial de gradiente cuádruple para generalizar el operador nabla .
Sus componentes covariantes están escritos:
. |
Sus componentes contravariantes están escritos:
. |
El operador invariante d'Alembertian se escribe, por ejemplo:
. |
Introducimos el cuadrivector de potencial electromagnético por sus componentes contravariantes:
donde está el potencial eléctrico escalar y el vector de potencial magnético. Sus componentes covariantes están escritos:
. |
Por lo tanto, las leyes de transformación de la galga escritas anteriormente se resumen en esta notación en la forma
.La condición de calibre de Lorenz se escribe, por ejemplo, de forma covariante:
. |
Introducimos la cuadri-corriente electromagnética por sus componentes contravariantes:
donde es el escalar de densidad de carga eléctrica y el vector de densidad de corriente. Sus componentes covariantes están escritos:
. |
El tensor electromagnético es el tensor antisimétrico de rango dos definido a partir del cuadripotencial por:
. |
Sus componentes covariantes están escritos explícitamente:
. |
Obtenemos sus componentes contravariantes escribiendo:
. |
Siendo la métrica diagonal en un marco de referencia inercial, obtenemos las siguientes fórmulas, sin sumar los índices repetidos :
ya sea explícitamente:
. |
Las ecuaciones de Maxwell adoptan la forma covariante relativista.
. |
. |
Dado que el tensor de Maxwell es antisimétrico, esta última relación implica en particular que la cuadri-corriente se conserva :
. |
Al escribir explícitamente el tensor de Maxwell en términos del potencial cuádruple en la ecuación covariante con el término fuente, obtenemos para el lado izquierdo:
. |
En el medidor de Lorenz , el segundo término desaparece y la ecuación de Maxwell con término fuente se reduce a una ecuación de propagación para los cuatro potenciales:
. |
La solución de esta ecuación se escribe de forma sencilla si conocemos una función de Green de la ecuación de propagación, es decir, una función G (x) solución de la ecuación diferencial parcial:
donde está la distribución de Dirac. Luego obtenemos el cuadripotencial en forma de un producto de convolución :
. |
En electrodinámica clásica, usamos con mayor frecuencia la función de Green retardada que satisface la hipótesis de causalidad :
. |
Accesible a nivel de pregrado.