Coordenadas canónicas

En matemáticas y mecánica clásica , las coordenadas canónicas son conjuntos de coordenadas sobre el espacio de fase que se pueden utilizar para describir un sistema físico en un momento dado. Las coordenadas canónicas se utilizan en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica. Un concepto estrechamente relacionado también aparece en la mecánica cuántica ; consulte el teorema de Stone-von Neumann y las relaciones de conmutación canónicas para obtener más detalles.

Como mecánica hamiltoniana es generalizado por la geometría simpléctica y transformaciones canónicas son generalizadas por las transformaciones de contacto , la definición del XIX th coordenadas canónicas del siglo en la mecánica clásica se puede generalizar a una definición más abstracta de la XX th coordenadas siglo en la gavilla cotangente de un múltiple (la noción matemática de espacio de fase).

Definición en mecánica clásica

En la mecánica clásica , las coordenadas canónicas son coordenadas y en el espacio de fase que se utilizan en el formalismo hamiltoniano. Las coordenadas canónicas satisfacen las relaciones fundamentales entre paréntesis de Poisson : ${\ Displaystyle q ^ {i}}$ $Pi}$

{\ Displaystyle \ left \ {q ^ {i}, q ^ {j} \ right \} = 0 \ qquad \ left \ {p_ {i}, p_ {j} \ right \} = 0 \ qquad \ left \ {q ^ {i}, p_ {j} \ right \} = \ delta _ {ij}}

Un ejemplo típico de coordenadas canónicas son las coordenadas cartesianas habituales y las componentes del momento . Por tanto, en general, las coordenadas se denominan "momentos conjugados". ${\ Displaystyle q ^ {i}}$ $Pi}$ $Pi}$

Las coordenadas canónicas se pueden obtener de las coordenadas generalizadas del formalismo lagrangiano mediante una transformación de Legendre , o de otro conjunto de coordenadas canónicas mediante una transformación canónica.

Definición de paquetes cotangentes

Las coordenadas canónicas se definen como un conjunto especial de coordenadas en el paquete cotangente de una variedad. Por lo general, se escriben como un conjunto de o con las x o las q que denotan las coordenadas en la variedad subyacente y las p denotan el momento conjugado, que son formas 1 en la cotangente del haz en el punto q de la variedad. ${\ Displaystyle \ left (q ^ {i}, p_ {j} \ right)}$ ${\ Displaystyle \ left (x ^ {i}, p_ {j} \ right)}$

Una definición común de coordenadas canónicas es cualquier conjunto de coordenadas en la gavilla cotangente que permite que la forma canónica se escriba como

{\ Displaystyle \ sum _ {i} p_ {i} \, \ mathrm {d} q ^ {i}}

hasta un diferencial completo. Un cambio de coordenadas que conserva esta forma es una transformación canónica; estos son un caso especial de simplectomorfismo , que son esencialmente un cambio de coordenadas en una variedad simpléctica .

En la siguiente discusión, asumimos que las variedades son variedades reales, por lo que los vectores cotangentes que actúan sobre los vectores tangentes producen números reales .

Desarrollo formal

Dada una variedad $Q$ , un campo vectorial $X$ en $Q$ (una sección del haz tangente $TQ$ ) puede pensarse como una función que actúa sobre el haz cotangente , por la dualidad entre los espacios tangente y cotangente . En otras palabras, defina una función

{\ Displaystyle P_ {X}: T ^ {*} Q \ to \ mathbb {R}}

tal que

{\ Displaystyle P_ {X} (q, p) = p (X_ {q})}

es válido para todos los vectores cotangentes $p$ en . Aquí, hay un vector en el espacio tangente a la variedad $Q$ en el punto $q$ . La función se llama función de momento correspondiente a $X$ ${\ Displaystyle T_ {q} ^ {*} Q}$ ${\ Displaystyle X_ {q}}$ ${\ Displaystyle T_ {q} Q}$ ${\ Displaystyle P_ {X}}$

En coordenadas locales , el campo vectorial $X$ en el punto $q$ se puede escribir

{\ Displaystyle X_ {q} = \ sum _ {i} X ^ {i} (q) {\ frac {\ parcial} {\ parcial q ^ {i}}}}

donde son el marco de coordenadas en $TQ$ . El momento conjugado tiene entonces la expresión ${\ estilo de visualización \ parcial / \ parcial q ^ {i}}$

{\ Displaystyle P_ {X} (q, p) = \ sum _ {i} X ^ {i} (q) \; p_ {i}}

donde se definen como las funciones de momento correspondientes a los vectores : $Pi}$ ${\ estilo de visualización \ parcial / \ parcial q ^ {i}}$

{\ Displaystyle p_ {i} = P _ {\ parcial / \ parcial q ^ {i}}}

El junto con el forman un sistema de coordenadas en el haz cotangente ; estas coordenadas se denominan coordenadas canónicas . ${\ Displaystyle q ^ {i}}$ $p_ {j}$ ${\ Displaystyle T ^ {*} Q}$

Coordenadas generalizadas

En la mecánica de Lagrange, se usa un conjunto diferente de coordenadas, llamadas coordenadas generalizadas. Estos se conocen comúnmente como con la llamada posición generalizada y la velocidad generalizada. Cuando se define un hamiltoniano en el paquete cotangente, las coordenadas generalizadas se relacionan con las coordenadas canónicas mediante las ecuaciones de Hamilton-Jacobi . ${\ Displaystyle \ left (q ^ {i}, {\ dot {q}} ^ {i} \ right)}$ ${\ Displaystyle q ^ {i}}$ ${\ Displaystyle {\ dot {q}} ^ {i}}$

Ver también

Referencias

Herbert Goldstein , Charles P., Jr. Poole y John L. Safko , Mecánica clásica , San Francisco, Addison Wesley,2002, 347–349 pág. ( ISBN 0-201-65702-3 , leer en línea )
Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden , Fundamentos de la mecánica , (1978) Benjamin-Cummings, Londres ( ISBN 0-8053-0102-X ) . Consulte la sección 3.2 .