Barrio tubular

En geometría diferencial , una vecindad tubular de una subvariedad S de una variedad diferencial M es un abierto de M , que contiene S y "parece" su paquete normal .

Definición

Sean S ⊂ M dos variedades diferenciales. Una vecindad tubular de S en M consiste en un paquete de vectores E → S y un difeomorfismo de E en una U abierta de M , por lo que cualquier punto s de S es la imagen del vector cero de E s .

Por abuso de lenguaje, al aire libre T , ipso facto barrio de S y haz de S , también se llama un entorno tubular de S .

Existencia

Teorema de la vecindad tubular - Para todas las variedades diferenciales sin bordes S ⊂ M ( paracompactos , de clase C k con k ≥ 1), S admite una vecindad tubular en M (de la misma clase).

En el caso donde la variedad ambiental M es un espacio euclidiano R n , encontramos dicha vecindad eligiendo, en el paquete normal a S , una V abierta alrededor de la sección cero, lo suficientemente pequeña como para que la restricción a V de l 'aplicación ( s , v ) ↦ s + v es una incrustación .

Prueba de una subvariedad de R n

Suponga S ⊂ M = R n y denote por f el mapa NS → R n , ( s , v ) ↦ s + v . En cualquier punto ( s , 0) de la sección nula de NS , el diferencial de f es la identidad de T s S ⊕ N s S = R n , entonces f es un difeomorfismo en la vecindad de este punto , es decir - es decir existe un real> 0 tal que f es un difeomorfismo de

{\ Displaystyle V _ {\ delta} (s): = \ {(t, v) \ in NS \ mid \ | ts \ | <\ delta \ quad {\ rm {y}} \ quad \ | v \ | <\ delta \}}

en su imagen. Denotemos por ε s el límite superior de estos “buenos radios δ para s ”, y supongamos que todos ε s son finitos (de lo contrario, V = NS es correcto y la demostración está completa).

Para todos los puntos s y s' de S , ya que (para todos δ> 0)

{\ Displaystyle V _ {\ delta} (s) \ subconjunto V _ {\ delta + \ | s'-s \ |} (s '),}

se tiene

{\ Displaystyle \ forall \ delta> 0 \ quad \ left (\ delta + \ | s'-s \ | <\ varepsilon _ {s '} \ Rightarrow \ delta \ leq \ varepsilon _ {s} \ right),}

es decir

{\ Displaystyle \ varepsilon _ {s '} \ leq \ varepsilon _ {s} + \ | s'-s \ |.}

Por tanto, la función s ↦ ε s es continua (e incluso 1-Lipschitiana ), de modo que el conjunto

{\ Displaystyle V: = \ {(s, v) \ en NS \ mid \ | v \ | <\ varepsilon _ {s} / 2 \}}

es un abierto de NS (que contiene la sección nula).

La restricción de f a V es un difeomorfismo local , y falta verificar que sea inyectiva. Si ( s , v ) y ( s ' , v' ) pertenecen a V y tienen la misma imagen por f , entonces, asumiendo, por ejemplo, ε s ' ≤ ε s, entonces elegir δ estrictamente entre ║ v ║ + ║ v' ║ y ε s , deducimos de

{\ Displaystyle \ | s'-s \ | = \ | v-v '\ | \ quad {\ rm {y}} \ quad \ max (\ | v \ |, \ | v' \ |, \ | v -v '\ |) \ leq \ | v \ | + \ | v' \ | <\ delta}

que ( s , v ) y ( s ' , v' ) pertenecen a V δ ( s ), sobre los cuales f es inyectiva. Por tanto, son iguales, lo cual concluye.

El caso de cualquier variedad M se puede deducir del caso anterior, suponiendo sin pérdida de generalidad que M está conectado , luego sumergiéndolo en un espacio euclidiano y, para una vecindad tubular r : U → M de M en este espacio, tomando como barrio s todo r ( s + v ) para cada ( s , v ) de NS , tal como s + v pertenece a U .

Unicidad

La vecindad tubular S en M es simple a la isotopía cercana , es decir, si U 0 y U 1 son dos de esas vecindades, entonces existe una incrustación de U 0 × [0, 1] en M × [0, 1] de la forma ( x , t ) ↦ ( F t ( x ), t ) tal que F 0 = id U 0 , cada F t fija S , y F 1 es un isomorfismo de haces de U 0 → S en U 1 → S .

Referencias

(en) Morris W. Hirsch , Topología diferencial [ ediciones minoristas ], p. 109-111 , Th. 5.1 y 5.2, vista previa en Google Books .
Marco Gualtieri, " Geometría y topología I " , en la Universidad de Toronto ,2012, p. 38. - Hirsch , pág. 110, se basa en el desempeño de su 2,1 7 (p. 41), pero éste sólo se aplica si S está cerrado en M .
Hirsch , pág. 110-111.
El " teorema de Whitney fácil " es suficiente: cualquier variedad sin bordes con una base contable de dimensión n admite una incrustación en R 2 n +1 - e incluso una incrustación de una imagen cerrada ( (en) Glen E. Bredon (en) , Topología y geometría [ detalle de la edición ], p. 92 , Teorema 10.8), por lo que la brecha señalada en la nota anterior no es prohibitiva.
Hirsch , pág. 111-113.

Ver también

Bibliografía

(en) Ana Cannas da Silva , Conferencias sobre geometría simpléctica , Springer , coll. "Lecture Notes in Mathematics" ( n o 1764)2001( leer en línea ) , pág. 43-45, o p. 37-39 de este 2006 .pdf
(en) Serge Lang , Colectores diferenciales y Riemannianos , Springer, coll. " GTM " ( n o 160)1995( DOI 10.1007 / 978-3-540-45330-7 , leer en línea ) , p. 108
(en) Waldyr Muniz Oliva, Mecánica geométrica , Berlín / Heidelberg / Nueva York, Springer,2002, 270 p. ( ISBN 3-540-44242-1 , leer en línea ) , pág. 35-36
(en) Michael Spivak , (Una introducción completa a) Geometría diferencial [ detalle de las ediciones ], Vuelo. 1, 2 nd ed., P. 465-469 o 3 ª ed. pag. 344-347