En álgebra lineal , el teorema de la base incompleta establece que, en un espacio vectorial E ,
En particular, este teorema afirma que todo espacio vectorial E admite una base. De hecho, el vacío familiar es gratuito y se puede completar en una E básica . Este resultado de existencia, junto con el teorema según el cual todas las bases de E tienen la misma cardinalidad , conduce a la definición de la dimensión de un espacio vectorial .
Un enunciado más general del teorema es el siguiente:
Teorema de base incompleta. Sea E un espacio vectorial, G una parte generadora de E y L una parte libre. Entonces existe F ⊂ G \ L ya que L ∪ F es una E básica .
El teorema de base incompleta, o incluso solo de existencia de una base para cualquier espacio vectorial, es equivalente al axioma de elección . Sin embargo, para los espacios generados de forma finita, hay pruebas de la existencia de una base que no requiere este axioma.
La demostración del teorema de la base incompleta en el caso de que G sea finito se basa en el siguiente algoritmo :
El bucle finaliza en un número finito de pasos (ya que a cada paso le sumamos un elemento de G diferente a los anteriores y se termina G ). L es entonces una parte del generador, por lo que una E básica .
En el caso general, la primera prueba se debe al matemático Georg Hamel . Una prueba común usa el lema de Zorn .
Cualquier subespacio vectorial F de un espacio vectorial E tiene un subespacio adicional en E : consideramos una base B de F que se completa con una base B ' de E : el espacio generado por los vectores de B' que no están en B es un adicional F .
Este teorema, válido para cualquier espacio vectorial, no se generaliza a ningún módulo en un anillo . Por ejemplo, el ℤ-módulo ℤ / 2ℤ no es libre , es decir, no tiene base. El punto crucial en las demostraciones anteriores (tanto en el caso finito como en el caso general) es que en un espacio vectorial sobre un campo conmutativo (pero no en un módulo sobre cualquier anillo , incluso tan simple como ℤ / 2ℤ), cuando agregue a una familia libre un nuevo vector que no genera, entonces la nueva familia sigue siendo libre.