Teorema de Egoroff

El teorema Egoroff , nombrado en homenaje a Dmitri Egorov , físico y matemático ruso, establece una condición de convergencia uniforme en algunos espacios medibles . Este teorema se puede utilizar en particular para mostrar el teorema de Lusin para funciones integrables.

De hecho, este es un resultado básico de la teoría de la integración . También permite dar una prueba concisa del teorema de convergencia dominado .

Estados

Sea ( E , Σ, μ) un espacio medido que satisface μ ( E ) < $+ \infty$ (se dice que la medida μ es finita ). Sea ( f n ) ser una secuencia de funciones medibles en E para la convergencia de los valores reales μ-casi en todas partes a una función f medible en E .

Entonces, para todo ε> 0, existe A ∈ Σ tal que μ ( A ) <ε y tal que f n converge uniformemente a f en E \ A (el complemento de A en E ).

¿Por qué suponer que la medida es finita?

Consideremos las siguientes funciones f n , definidas sobre el conjunto de números reales dotados de la tribu de los borelianos y la medida de Lebesgue ( $χ$ denota la función indicadora de un conjunto): f n = $χ$ [ n , n + 1] . Entonces, la secuencia ( f n ) simplemente converge (por lo tanto μ-casi en todas partes), pero no hay Boreliano de medida finita en cuyo complemento la convergencia es uniforme.

Demostración

Consideramos para n , k ≥ 1 los conjuntos:

{\ Displaystyle E_ {k, n} = \ bigcap _ {i \ geq n} \ left \ {x \ in E \ mid | f_ {i} (x) -f (x) | \ leq 1 / k \ right \}.}

Para todo k ≥ 1, la secuencia ( E k, n ) está aumentando (para su inclusión), por lo tanto:

{\ Displaystyle \ mu \ left (\ cup _ {n \ geq 1} E_ {k, n} \ right) = \ lim _ {n \ to \ infty} \ mu (E_ {k, n})}

Además, dado que la secuencia de funciones $( f n )$ simplemente converge μ-pp hacia $f$ , tenemos, para todo k ≥ 1:

{\ Displaystyle \ mu \ left (\ cup _ {n \ geq 1} E_ {k, n} \ right) = \ mu (E).}

Luego fijamos ε> 0. Gracias a la condición μ ( E ) < $+ \infty$ , podemos encontrar para cada k ≥ 1 un entero positivo n k tal que

{\ Displaystyle \ mu (E_ {k, n_ {k}}) \ geq \ mu (E) -2 ^ {- k} \ varepsilon.}

Entonces el todo

{\ Displaystyle A = \ bigcup _ {k \ geq 1} (E \ setminus E_ {k, n_ {k}})}

encaja.

Otra formulación del teorema

Sea E un espacio métrico , separable y localmente compacto , sobre el que tenemos una medida μ σ-finita . Sea ( f n ) una secuencia de funciones medibles de E a ℝ μ-pp convergentes a una función medible f .

Entonces, para todo ε> 0 y para todo K compacto de E , existe un K ' compacto incluido en K tal que μ ( K \ K' ) <ε y tal que f n converge uniformemente af sobre K '.

Fuente

(en) Michael E. Taylor (de) , Measure Theory and Integration , AMS , p. 34-39