Teorema de Stark-Heegner

El teorema de Stark-Heegner es un teorema de la teoría de números que indica con precisión, entre campos cuadráticos imaginarios , que tienen un anillo de enteros factoriales . Resuelve el caso n = 1 del problema del número de clases gaussianas, que consiste en determinar cuántos campos cuadráticos imaginarios tienen su número de clases igual an .

Estados

Sea ℚ el campo de números racionales y sea d ≠ 1 un número entero sin un factor cuadrado (es decir, el producto, o el opuesto de un producto, de números primos distintos). Entonces, el campo numérico ℚ ( $\sqrt d$ ) es una extensión del grado 2 de ℚ, llamada extensión cuadrática . El número de clases de ℚ ( $\sqrt d$ ) es el número de clases de equivalencia del ideal distinto de cero del anillo del conjunto de este cuerpo , donde dos ideales $I$ y $J$ son equivalentes si y solo si no hay elementos Dibuja un y b del anillo tal como un $I$ = b $J$ . Así, el anillo de enteros de ℚ ( $\sqrt d$ ) es principal (o nuevamente: factorial, que es equivalente aquí porque este anillo es de Dedekind ) si y solo si su número de clases es igual a 1. Teorema de Stark -Heegner puede entonces expresarse de la siguiente manera:

Teorema - Si $d <0$ , entonces el número de clases del anillo de enteros de ℚ ( $\sqrt d$ ) es igual a 1 si y solo si

{\ Displaystyle d \ in \ {- 1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163 \}.}

Historia

Este resultado fue conjeturado por primera vez por el matemático alemán Gauss y demostrado por Kurt Heegner en 1952, aunque la prueba de Heegner no fue aceptada hasta que Harold Stark dio una prueba en 1967 y mostró que de hecho era equivalente a la de Heegner.

Si, por el contrario, d > 0, todavía no se resuelve la conjetura de Gauss según la cual existiría una infinidad de campos cuadráticos reales cuyo número de clases es igual a 1. Los resultados calculados indican que hay una gran cantidad de esos órganos.

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado “ Teorema de Stark-Heegner ” ( ver lista de autores ) .

(en) Dorian Goldfeld , " Problema de números de clase de Gauss para campos cuadráticos imaginarios " , Bull. Amargo. Matemáticas. Soc. , vol. 13, n o 1,1985, p. 23-37 ( leer en línea ) ; “ El problema del número de clase de Gauss para campos cuadráticos imaginarios (preimpresión) ” , de la Universidad de Columbia .
(en) HM Stark , " Completa una determinación de los campos cuadráticos complejos de la clase número uno " , Michigan Math. J. , vol. 14,1967, p. 1-27 ( leer en línea ).
(en) HM Stark , " Los problemas numéricos de la clase Gauss " , Actas de matemáticas de Clay , vol. 7,2007( leer en línea ).
Suite A003172 de OEIS .

Ver también

Enlace externo

(en) Noam D. Elkies , "El Klein Quartic en la teoría de números" , en The Eightfold Way: The Beauty of Klein Quartic Curve , coll. " Publicaciones MSRI " ( n o 35)1998( leer en línea ) , pág. 51-101, que explica la nueva prueba de Monsur A. Kenku (1985)