Tangente (trigonometría)
La tangente es una función trigonométrica fundamental. Se observa bronceado y anteriormente se señaló tg .
Definiciones
Comparado con el triángulo rectángulo :
En un triángulo rectángulo ABC en C , la tangente del ángulo  es la razón entre el lado opuesto a A y el lado adyacente a A :
broncearseA^=BVSAVS{\ Displaystyle \ tan {\ hat {A}} = {\ frac {BC} {AC}}}![{\ Displaystyle \ tan {\ hat {A}} = {\ frac {BC} {AC}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cea81657c78460a1270816cf79095d487c0ef029)
.
Como recordatorio, a menudo usamos el acrónimo mnemónico "TOA":
tanogramominotmi=opagpagosmi´aDjavsminot{\ Displaystyle \ mathrm {tangente} = {\ frac {\ mathrm {oppos {\ aguda {e}}}} {\ mathrm {adyacente}}}}
Con respecto al círculo trigonométrico :
La tangente de un ángulo θ es la longitud del segmento de la tangente al círculo trigonométrico que intercepta el eje x.
En comparación con otras funciones trigonométricas: la función tangente es la relación entre la función seno y la función coseno :
broncearseθ=pecadoθporqueθ.{\ Displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}}.}![{\ Displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ sin \ theta} {\ cos \ theta}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b938ed2a3bf3608187cb43fdce9a26f7186b66d)
Tenga en cuenta que esta función no está definida para valores en los que el coseno del ángulo desaparece, correspondientes a los casos límite donde la tangente es paralela a la línea de intersección.
Aplicaciones
En un triángulo rectángulo, la función tangente permite determinar la longitud de un lado del ángulo recto conociendo un ángulo y la longitud de uno de los otros lados. Se utiliza para medir la longitud óptica. Por ejemplo, con un telémetro de paralaje, la distancia D de un objeto observado se determina a partir de la distancia L que separa dos lentes de observación y del ángulo de observación θ, que se determina haciendo coincidir las imágenes de los dos vidrios girando un espejo:
D=L⋅broncearseθ{\ Displaystyle D = L \ cdot \ tan \ theta}
La tangente también es una forma de expresar la medida de un ángulo: cuando expresamos una pendiente en porcentaje (%), corresponde a la tangente del ángulo de mayor pendiente respecto a la horizontal, multiplicada por cien.
Función tangente
Propiedades
La función tangente es una función real que es:
-
periódica , con período π: tan (θ + k ⋅ π) = tan θ para cualquier k entero ;
-
impar : tan (–θ) = - tan θ ;
- desaparece en 0 y por lo tanto para todos los múltiplos enteros de π: tan ( k π) = 0 para cualquier entero k ;
- presenta asíntotas verticales con los valores θ = k π + π / 2 para cualquier k entero:
limθ→(π/2)-broncearseθ=+∞{\ Displaystyle \ lim _ {\ theta \ to (\ pi / 2) ^ {-}} \ tan \ theta = + \ infty}
limθ→(π/2)+broncearseθ=-∞{\ Displaystyle \ lim _ {\ theta \ to (\ pi / 2) ^ {+}} \ tan \ theta = - \ infty}
- su derivada es: broncearse′θ=1porque2θ=1+broncearse2θ{\ Displaystyle \ tan '\ theta = {\ frac {1} {\ cos ^ {2} \ theta}} = 1+ \ tan ^ {2} \ theta}
- si un ángulo θ se expresa en radianes , entonces para valores bajos de θ, tenemos:
tan θ ≃ θ (consulte la sección Expansión limitada a continuación).
Al aplicar la fórmula de Euler , tenemos:
broncearseθ=miIθ-mi-IθI(miIθ+mi-Iθ){\ Displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {i \ theta} - \ mathrm {e} ^ {- i \ theta}} {i (\ mathrm {e} ^ {i \ theta } + \ mathrm {e} ^ {- i \ theta})}}}![{\ Displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {i \ theta} - \ mathrm {e} ^ {- i \ theta}} {i (\ mathrm {e} ^ {i \ theta } + \ mathrm {e} ^ {- i \ theta})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27f806cc3b591828bba0a33a7934ce7a091d3616)
La función recíproca es la función arco tangente , denominada arctan ; algunas calculadoras lo notan "atan".
La inversa de la función tangente es la función cotangente , denominada cot (a veces cotan o cotg):
costoθ=1broncearseθ=porqueθpecadoθ{\ Displaystyle \ operatorname {cot} \ theta = {\ frac {1} {\ tan \ theta}} = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}}}![{\ Displaystyle \ operatorname {cot} \ theta = {\ frac {1} {\ tan \ theta}} = {\ frac {\ cos \ theta} {\ sin \ theta}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/479e3443883a2efb3ba8c2dadf7f4e48c429d0b2)
Desarrollo limitado
El desarrollo limitado de la función tangente en cero es:
broncearseX=X+X33+2X515+17X7315+...+(-1)no⋅22no⋅(1-22no)⋅B2no(2no)!⋅X2no-1+o(X2no){\ Displaystyle \ tan x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} + {\ frac {17x ^ {7}} { 315}} + \ ldots + {\ frac {(-1) ^ {n} \ cdot 2 ^ {2n} \ cdot (1-2 ^ {2n}) \ cdot B_ {2n}} {(2n)!} } \ cdot x ^ {2n-1} + o (x ^ {2n})}![{\ Displaystyle \ tan x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} + {\ frac {17x ^ {7}} { 315}} + \ ldots + {\ frac {(-1) ^ {n} \ cdot 2 ^ {2n} \ cdot (1-2 ^ {2n}) \ cdot B_ {2n}} {(2n)!} } \ cdot x ^ {2n-1} + o (x ^ {2n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d24cd4d85c3729f86b61283798e6a0c797e1a476)
donde B 2 n son los números de Bernoulli .
Cálculo numérico
El cálculo de la tangente se realiza por series , pero en lugar de utilizar la expansión limitada por la serie de Taylor , que utiliza muchas multiplicaciones, preferimos el algoritmo CORDIC .
Ver también
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