Familia normal

En matemáticas , específicamente en análisis , una familia normal es una familia de funciones holomorfas ( analítica compleja ) en un dominio D abierto como cualquier secuencia de términos de la familia podemos extraer una subsecuencia uniformemente convergente en partes compactas por D.

El límite de la secuencia convergente puede no pertenecer a la familia. La función límite puede ser la constante infinita. Entonces, cualquier función límite es finita en todas partes, o es la constante infinita.

Nota: la familia está indexada, pero el conjunto de índices no es necesariamente contable .

Notaciones y vocabulario

Se dice que un punto está dentro de un dominio D si existe un disco centrado en este punto y de radio distinto de cero del cual todos los puntos son elementos de D.
Decimos de un conjunto E de puntos que es completamente interior a D si todos los puntos de adhesión de E son interiores a D.
A continuación, salvo que se indique lo contrario, el dominio considerado es abierto, es decir que todos sus puntos son interiores a él.

Prólogo

Antes de que apareciera la noción de familia normal bajo la pluma de Paul Montel en 1912, varios matemáticos habían descubierto resultados en esa dirección. Por ejemplo el teorema de Stieltjes (1894):

"Dada una secuencia de funciones holomórficas y limitadas como un todo en un dominio D, si esta secuencia converge uniformemente en un dominio interior, converge uniformemente en el interior de D."

y Vitali había dado el siguiente teorema (1903):

“Si una secuencia de funciones holomórficas y limitadas como un todo en el interior de un dominio D converge en una infinidad de puntos completamente interiores a D, la serie converge uniformemente en el interior de este dominio. "

También demostramos el siguiente resultado:

Sea una familia de funciones holomorfas f (z) en un dominio D que satisfaga, en este dominio, la desigualdad | f (z) -a |> m. Entonces existe una secuencia extraída de la familia que converge uniformemente dentro de D hacia una función límite que puede ser la constante infinita. "

Propiedades de familias normales

Transformación compatible

La normalidad de la familia se conserva mediante la transformación conforme.

Normalidad en un punto

Se dice que una familia es normal en un punto si existe un disco que tiene este punto como centro y que la familia es normal en este disco.

“Si una familia es normal en un dominio abierto D, es normal en cada punto del dominio. "

Lo contrario también es cierto:

“Si una familia es normal en todos los puntos de un dominio, es normal en este dominio. "

Funciones normales limitadas

"Si los valores de las funciones de una familia normal en un dominio D están acotados en un punto fijo de este dominio, las funciones están acotadas como un todo en cada dominio completamente dentro de D."

Por tanto, podemos aplicar el teorema de Stieltjes o el teorema de Vitali a familias normales.

Número de soluciones de f ( z ) = a

"Si una familia normal en un dominio acotado D es tal que existe para cada función de la familia una solución en D a la ecuación para una b fija y que la familia no admite ninguna función límite g igual a la constante a, la El número de soluciones de la ecuación contenida en D está acotado para todas las funciones de la familia. " $g_ {n}$ ${\ Displaystyle g_ {n} (z) = b}$ ${\ Displaystyle g_ {n} (z) = a}$

Debemos entender por solución contenida en D un punto interior a D.

Puntada irregular

Decimos de un punto P que es irregular para una familia si la familia no es normal en este punto. Estos puntos irregulares también se denominan "puntos de Julia ".

“Si una familia no es normal en un dominio D, hay un punto irregular dentro del dominio. "

“Para una familia de funciones holomórficas limitadas en cada punto, los puntos irregulares forman un conjunto continuo perfecto no denso en una sola pieza con el límite del dominio. "

Criterio de normalidad

“Cualquier familia de funciones holomórficas en un dominio del que no toman ni el valor a ni el valor b es normal en este dominio. "

Decimos que a es un valor excepcional para f en el dominio D si f no toma el valor a en este dominio.

Por tanto, el teorema anterior se escribe

“Cualquier familia de funciones holomórficas en un dominio del que admiten dos valores excepcionales comunes es normal en este dominio. "

Aplicaciones

A continuación, se dan ejemplos de familias normales, casos en los que la familia no es normal, así como las principales aplicaciones de la teoría.

Ejemplos de

Sea una familia de funciones f que no tome los valores ayb, variables con f pero tales que | a | <M, | b | <M y | ab | > d, siendo M y d números fijos. Entonces la familia es normal.
La familia formada por los primitivos de las funciones de una familia holomórfica delimitada dentro de D es una familia normal en D.
La familia {f (z) + n}, donde f (z) es una función analítica en cualquier dominio D, es normal en D. La función límite es + ∞.
Sea f (z) una función entera no constante. La familia de funciones enteras definidas por no es normal en el círculo | z | <2. ${\ Displaystyle f_ {n} (z) = f (2 ^ {n} z)}$

El teorema de Harnack

Sea una serie infinita de funciones armónicas en un dominio D y tal que en cada punto de D, tenemos , entonces la serie converge uniformemente hacia una función armónica o hacia el infinito. El resto forma una familia normal. Si la secuencia está limitada en un punto P dentro de D, por lo tanto converge uniformemente hacia una función armónica dentro de D. Este es el teorema de Harnack. ${\ Displaystyle u_ {1} \ leq u_ {2} \ leq \ ldots \ leq u_ {n} \ leq \ ldots}$

El teorema de F. y R. Nevanlinna

"Una condición necesaria es suficiente para que una función holomórfica en el dominio D sea el cociente de dos funciones acotadas es que la secuencia de funciones armónicas , que toman los valores en una serie de contornos que limitan los dominios anidados del límite D, está acotada en uno punto en esta área. " $a}$ ${\ Displaystyle \ log ^ {+} | f (z) |}$ $C_ {n}$

Los dos teoremas de Picard

“Una función entera que no se reduce a una constante toma todos los valores excepto uno como máximo. "

“Una función holomórfica que tiene una singularidad esencial toma, en cualquier vecindad de esta singularidad, cualquier número complejo un número infinito de veces como su valor, excepto quizás uno. "

El teorema del mapeo conforme

El concepto de familia normal se utiliza en la demostración del teorema de implementación consistente de Riemann .

El teorema de Paul Montel

“Si F es una familia de funciones holomórficas en un dominio D limitado uniformemente en cualquier compacto de D, entonces es normal. "

Teorema de Gu

“Sea D un dominio, ayb dos números complejos (b distintos de cero) yk un entero positivo distinto de cero. Sea F una familia de funciones meromórficas en D tal que cada una de las ecuaciones no tenga solución en D. Entonces la familia es normal en D. " ${\ Displaystyle f_ {n} (z) = a, f_ {n} ^ {(k)} (z) = b}$

Teorema de Miranda (it)

"Cualquier familia de funciones holomórficas f (z) en un dominio del que no toman el valor a y donde sus derivadas de órdenes $ν$ no toman el valor b distinto de cero, es normal en D."

Bibliografía

Hasta hace poco, solo había dos libros sobre familias normales, el escrito por Paul Montel en 1927 y el de Valiron publicado en 1929.

(en) Chi-Tai Chuang, Familias normales de funciones meromórficas , World Scientific , Singapur, 1993 ( ISBN 978-981-02-1257-5 ) .
Paul Montel , Lecciones sobre familias normales de funciones analíticas y sus aplicaciones , París, Gauthier-Villars , 1927.
(en) Joel L. Schiff, Familias normales , Springer Universitext, Nueva York, 1993 ( ISBN 978-0-387-97967-0 ) .
Georges Valiron , Familias normales y cuasi-normales de funciones meromórficas , Memorial of Mathematical Sciences 38, París, Gauthiers-Villars, 1929.
Georges Valiron , Sobre los valores excepcionales de las funciones meromorfas y sus derivadas , Paris, Hermann , coll. 'Noticias científicas e industriales' ( n o 570)1937.