En matemáticas , el símbolo de Pochhammer es una función especial utilizada en combinatoria y en teoría de funciones hipergeométricas . Esta notación fue introducida por Leo Pochhammer . Se utiliza para denotar el factorial creciente o el factorial decreciente.
El símbolo que representa esta función se utiliza en varias variaciones:
(entre otros en combinatoria) o (en análisis) (otros usos)En teoría de funciones especiales , denotamos por el factorial creciente
,mientras que el mismo símbolo se usa en combinatoria para representar el factorial decreciente
.Para evitar confusiones, usamos con frecuencia, y se hará aquí, el símbolo del factorial creciente y del factorial decreciente.
Finalmente, hay otras dos notaciones introducidas por Ronald L. Graham , Donald Knuth y Oren Patashnik en su libro Concrete Mathematics , notaciones que se remontan respectivamente a A. Capelli (1893) y L. Toscano (1939). Escriben
,para el factorial creciente, y
para el factorial decreciente.
Ejemplos (con las notaciones utilizadas en combinatoria):
Apuntamos
el factorial creciente y
el factorial decreciente.
Si y son enteros, tenemos:
para el factorial creciente, y para el factorial decreciente.El producto vacío o se define como igual a 1 en ambos casos. Podemos extender la definición a valores no enteros de n por
para el factorial creciente, para el factorial decreciente.De acuerdo con las propiedades de la función Gamma , esta definición es consistente con la de valores enteros de n .
Los factoriales crecientes y decrecientes están relacionados con los coeficientes binomiales por las siguientes relaciones:
Por lo tanto, muchas identidades en coeficientes binomiales llevan a factoriales crecientes o decrecientes.
Un factorial creciente se expresa como un factorial decreciente del otro extremo:
Este es un caso especial de la relación:
entre factoriales crecientes y decrecientes.
Observe que los factoriales crecientes y decrecientes están definidos en cualquier anillo , por lo que el elemento puede ser por ejemplo un número complejo, un polinomio o cualquier función con valor complejo.
El factorial decreciente aparece en una fórmula que permite representar un polinomio usando el operador de diferencia , que es similar a la fórmula de Taylor en el análisis . En esta fórmula, el factorial decreciente juega el papel, en el cálculo de diferencias finitas , del monomio en el cálculo diferencial. Nótese, por ejemplo, la similitud entre
y
donde denota el operador derivado de polinomios . El estudio de analogías de este tipo se conoce como cálculo ombral . La teoría de la secuencia de Sheffer ofrece una teoría general que cubre tales relaciones . Los factoriales crecientes y decrecientes son tales secuencias, y verifique:
Dado que los factoriales decrecientes forman una base del anillo de polinomios, podemos expresar el producto de dos factoriales como una combinación lineal de factoriales. La formula es:
Los coeficientes de se denominan coeficientes de conexión . Tienen una interpretación combinatoria: es el número de formas de fusionar elementos tomados en un conjunto de elementos y elementos tomados en un conjunto de elementos.
Hay un equivalente del símbolo en los Pochhammer q -series : la q -Símbolo Pochhammer , que se define como sigue.
con
.
(en) Eric W. Weisstein , " Pochhammer Symbol " , en MathWorld
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