Polígono de circunscripción

En la geometría euclidiana , un polígono circunscrito (o polígono tangente ) es un polígono convexo que contiene un círculo inscrito , es decir, un círculo tangente a cada lado del polígono. El polígono dual de un polígono circunscrito es un polígono cíclico , que tiene un círculo circunscrito que pasa por cada uno de sus vértices.

Los ejemplos más simples son los triángulos y todos los polígonos regulares. Un grupo especial de polígonos tangentes son los cuadriláteros tangentes , como diamantes y cometas .

Caracterizaciones

Un polígono convexo tiene un círculo inscrito si y solo si todas las bisectrices de sus ángulos son concurrentes. Este punto es entonces el centro del centro inscrito.

Existe un polígono circunscrito de n lados de longitudes respectivas a 1 , ..., a n si y solo si el sistema de ecuaciones lineales

X1+X2=a1,X2+X3=a2,...,Xno+X1=ano{\ Displaystyle x_ {1} + x_ {2} = a_ {1}, \ quad x_ {2} + x_ {3} = a_ {2}, \ quad \ ldots, \ quad x_ {n} + x_ {1 } = a_ {n}}

tiene una solución ( x 1 , ..., x n ) de números reales. Si existe tal solución, entonces x 1 , ..., x n son las longitudes tangentes del polígono (las longitudes entre los vértices del polígono y los puntos de tangencia al círculo).

Unicidad

Para polígonos con un número impar de lados n , para cada conjunto ( a 1 , ..., a n ) que satisfaga la condición de existencia, el polígono correspondiente es único. Para polígonos con un número par de lados, hay un número infinito. Se puede notar, por ejemplo, que en el caso de los cuadriláteros ( n = 4) de los cuales todos los lados son iguales, para un círculo dado, existe una infinidad de diamantes tangentes.

Radio del círculo

Si los n lados del polígono que lo circunscribe están dados por a 1 , ..., a n , el radio del círculo inscrito es igual

r=Ks=2K∑I=1noaI{\ Displaystyle r = {\ frac {K} {s}} = {\ frac {2K} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}}}}

siendo K el área del polígono ys su medio perímetro. Como cualquier triángulo es circunscribible, esta fórmula se aplica a cualquier triángulo.

Otras propiedades

• Para un polígono tangente con un número impar de lados, todos sus lados son iguales si y solo si todos sus ángulos son iguales y, por lo tanto, el polígono es regular. Un polygone tangent ayant un nombre de côtés pair aura tous ses côtés sont égaux si et seulement si les angles alternés sont égaux (soit les angles en A , C , E , ... sont égaux et les angles en B , D , F , ... también).
• En un polígono tangente con un número par de lados ( n = 2 p ), las longitudes de los lados tomados alternativamente son iguales, es decir

∑k=1paga2k=∑k=1paga2k-1{\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {p} a_ {2k} = \ sum _ {k = 1} ^ {p} a_ {2k-1}}

• Para un polígono que tiene longitudes de lado dadas en orden y ángulos de vértice dados en orden, el polígono de circunscripción tendrá el área más pequeña.
• El centro de gravedad de un polígono circunscrito, el isobaricentro de sus puntos fronterizos y el centro del círculo inscrito están alineados, con el centro de gravedad del polígono entre los otros dos, y el doble del centro del círculo inscrito que desde el centro isobarico de sus puntos fronterizos.

Casos particulares

Triángulo tangente

Dado que cada triángulo tiene un círculo inscrito, un triángulo se llama triángulo tangente de un triángulo de referencia si los puntos de tangencia de un triángulo circunscrito son también los vértices del triángulo de referencia. El círculo circunscrito del triángulo de referencia se convierte entonces en el círculo inscrito en el triángulo tangente.

Circunscribir cuadrilátero

Hexágono circunscrito

En un hexágono circunscrito ABCDEF , las tres diagonales AD , BE y CF son concurrentes; este es un caso particular del teorema de Brianchon .

Ver también

• Polígono cíclico

Referencias

• (fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado "  Polígono tangencial  " ( ver la lista de autores ) .

1. (en) Owen Byer, Felix Lazebnik y Deirdre Smeltzer, Métodos para la geometría euclidiana , Asociación de Matemáticas de América,2010, 77  p..
2. Dušan Djukic, Vladimir Jankovic, Ivan Matic, Nikola Petrovic, El Compendio de la OMI , Springer, 2006, p. 561.
3. Albrecht Hess , “  Sobre un círculo que contiene los incentros de cuadriláteros tangenciales  ”, Forum Geometricorum , vol.  14,2014, p.  389–396 ( leer en línea ).
4. Claudi Alsina y Roger Nelsen, Iconos de las matemáticas. Una exploración de veinte imágenes clave , Asociación Matemática de América,2011, 125  p..
5. Michael De Villiers, "  Polígonos circunscritos equiangulares cíclicos y equiláteros  ", Gaceta Matemática , n o  95,marzo 2011, p.  102-107.
6. Tom M. Apostol y Mamikon A. Mnatsakanian , "  Figuras Circunscribiendo Círculos  ", American Mathematical Monthly ,diciembre de 2004, p.  853–863 ( DOI  10.2307 / 4145094 , leído en línea , consultado el 6 de abril de 2016 )