En matemáticas , un orden dentro del significado de la teoría de anillos es un subanillo O de un anillo A tal que
La última dos condiciones qu'additivement media, O es un grupo abeliano libre generado por una base de de ℚ- espacio vectorial A .
De manera más general, si A es un álgebra sobre un campo K y R es un anillo incluido en K , un R -orden de A es un subanillo de A que es una red R completa (es decir, que satisface las condiciones 2 y 3 con ℤ y ℚ reemplazado respectivamente por R y K ).
Aquí hay algunos ejemplos de órdenes R de un álgebra A :
Cuando el álgebra A no es conmutativa , la noción de orden sigue siendo importante, pero los fenómenos son diferentes. Por ejemplo, el orden del cuaternión (in) de Hurwitz , que es un máximo en el orden de álgebra ℚ [ℍ] de cuaterniones a coordenadas racionales, contiene estrictamente cuaterniones ℤ [ℍ] de anillo con coordenadas enteras. Suele haber pedidos máximos , pero no un pedido máximo .
Una propiedad fundamental es que todos los elementos de R -order es integral sobre R . Cuando el cierre integral S de R en A es un R -order, se sigue que S es la R -order máximo A . Pero este no es siempre el caso: S puede no ser un anillo, e incluso si lo es (que es el caso si A es conmutativo) puede no ser un R -net.
El ejemplo del prototipo, de la teoría algebraica de números con Dedekind , es donde A es un campo de números K y O es el anillo O K de sus números enteros . Este orden es máximo pero contiene subórdenes si K contiene estrictamente ℚ. Por ejemplo, si K es el campo ℚ ( i ) de los racionales de Gauss , O K es el anillo ℤ [ i ] de los enteros de Gauss y contiene, entre otros, el suborden ℤ + 2i ℤ.
A cualquier red (completa) M en K asociamos el orden { k ∈ K | kM ⊂ M }. Se dice que dos redes en K son equivalentes si se transforman entre sí por una homotecia de razón que pertenece a K (o a ℚ para equivalencia estricta). Cualquier orden es el orden de una celosía (en sí misma) y dos celosías equivalentes tienen el mismo orden.
La cuestión de los pedidos máximos se puede examinar a nivel de los organismos locales . Esta técnica se aplica en la teoría algebraica de números y en la teoría de la representación modular (en) .