Núcleo de Dirichlet

En matemáticas , y más precisamente en análisis , el $n-$ ésimo núcleo de Dirichlet , nombrado en honor al matemático alemán Johann Dirichlet , es el polinomio trigonométrico definido por:

{\ Displaystyle D_ {n} (x) = \ sum _ {k = -n} ^ {n} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} kx} = 1 + 2 \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ cos (kx)}

Por tanto, es una función $2 π$ - periódica de clase . También comprueba: $\ mathcal {C} ^ \ infty$

si $x$ no es un múltiplo entero de $2π$ , entonces ; ${\ Displaystyle D_ {n} (x) = {\ frac {\ sin \ left (\ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) x \ right)} {\ sin \ left ({ \ frac {x} {2}} \ right)}}}$
si $x$ es un múltiplo entero de $2π$ , entonces . ${\ Displaystyle D_ {n} (x) = 2n + 1}$

El kernel de Dirichlet permite, en particular, mejorar la convergencia de la serie de Fourier . También está involucrado en la óptica , para tener en cuenta las franjas y las composiciones de ondas coherentes.

Consideraciones basicas

Equivalencia de los dos escritos del kernel de Dirichlet

Cuando , es decir, cuando $x$ pertenece a $2πℤ$ , el núcleo de Dirichlet es la suma de $2$ $n$ $+ 1$ términos cada uno igual a $1$ , y por lo tanto vale $2$ $n$ $+ 1$ . ${\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} = 1}$

Donde , la identidad trigonométrica que aparece al principio del artículo se puede establecer calculando una suma de una secuencia geométrica de razón y usando la fórmula de Euler . ${\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ neq 1}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x}}$

Propiedades del kernel de Dirichlet

Es un polinomio trigonométrico, por lo tanto una función , $2π$ -periódica; ${\ mathcal C} ^ {\ infty}$
él es parejo ;
su valor medio es $1$ ;
el comportamiento asintótico de su norma de convergencia en promedio es:

{\ Displaystyle \ | D_ {n} \ | _ {1} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ left | D_ {n} (t ) \ right | \, \ mathrm {d} t = {\ frac {4} {\ pi ^ {2}}} \ ln n + O (1)}

. Demostración

La idea general es reducirse a una función sinusoidal cardinal . De hecho, para , ${\ Displaystyle | x | \ leq \ pi}$

{\ Displaystyle D_ {n} (x) = {\ frac {2 \ sin (nx)} {x}} + \ left (\ sin (nx) \ left (\ operatorname {cotan} {\ frac {x} { 2}} - {\ frac {2} {x}} \ derecha) + \ cos (nx) \ derecha).}

Reconocemos en el segundo término de esta suma una función ampliable por continuidad en 0, por lo tanto continua, y acotada independientemente de n . Por tanto, basta con mostrar la propiedad del primer término de la suma que es un seno cardinal.

Para este último, este es un resultado clásico. Introducimos el valor medio del numerador:

{\ Displaystyle S = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | \ sin t | \, \ mathrm {d} t = {\ frac {2} {\ Pi}}}

y entonces :

{\ Displaystyle \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} {\ frac {| \ sin (nx) |} {x}} \, \ mathrm {d} x = 2 \ int _ {0} ^ { n \ pi} {\ frac {| \ sin u |} {u}} \, \ mathrm {d} u = 2S \ ln (n \ pi) + O (1)}

La demostración, realizada por comparación de integrales en serie , se sugiere en el artículo “ Integral de Dirichlet ”.

Operador asociado

El $enésimo$ término de la serie de Fourier de una función periódica e integrable $2π$ se escribe: $F$

{\ Displaystyle S_ {n} (f) (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) D_ {n} (xt) \, \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} D_ {n} (t) f (xt) \, \ mathrm { d} t = (D_ {n} * f) (x)}

La identidad anterior es un producto de la convolución o la aplicación de un operador de kernel .

Es a partir de esta expresión y de las propiedades del núcleo de Dirichlet que probamos el teorema de Dirichlet sobre la convergencia de las series de Fourier .

Este operador es un operador acotado en el espacio de funciones continuas, cuya norma de operador está acotada por . ${\ Displaystyle \ | D_ {n} \ | _ {1}}$

Al especializar el estudio en un determinado punto $x$ , la aplicación tiene para el propio operador norma , que tiende a infinito con $n$ . Usando el teorema de Banach-Steinhaus , podemos deducir que hay funciones continuas cuya serie de Fourier diverge en el punto $x$ . ${\ Displaystyle x \ mapsto S_ {n} (f) (x)}$ ${\ Displaystyle \ | D_ {n} \ | _ {1}}$

Introducción al formalismo de distribuciones

El núcleo de Dirichlet es $2π$ veces la suma de orden $n$ del desarrollo en la serie de Fourier del peine de Dirac δ p , que es el período de distribución $2π$ dado por

{\ Displaystyle \ delta _ {p} (x) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (x-2 \ pi k)}

donde δ es la “función” delta de Dirac , que en realidad no es una función sino una distribución . En otras palabras, la expansión de la serie de Fourier de la distribución δ p se escribe

{\ Displaystyle \ delta _ {p} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm { i} kx} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ left (1 + 2 \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ cos (kx) \ right).}

La distribución periódica δ p es el elemento neutral para el producto de convolución definido sobre el conjunto de funciones del período $2π$ por

{\ Displaystyle (f * g) (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (y) g (xy) \, \ mathrm { d} y.}

Dicho de otro modo,

para cualquier función del período

2π

F

{\ Displaystyle f * \ delta _ {p} = \ delta _ {p} * f = f}

El producto de convolución de $D n$ con cualquier función del período $2π$ es igual a la suma de orden $n$ de la expansión de la serie de Fourier de , es decir , eso tenemos $F$ $F$

{\ Displaystyle (D_ {n} * f) (x) = (f * D_ {n}) (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (y) D_ {n} (xy) \, \ mathrm {d} y = \ sum _ {k = -n} ^ {n} {\ hat {f}} (k) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} kx},}

{\ Displaystyle {\ hat {f}} (k) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \ mathrm {e} ^ { - \ mathrm {i} kx} \, \ mathrm {d} x}

es el $k-$ ésimo coeficiente de Fourier de . $F$

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Kernel de Dirichlet " ( ver la lista de autores ) .

El cálculo detallado aparece en la tarea corregida “Dirichlet Integral” en Wikiversity .