En el álgebra general , una rama de las matemáticas , y más precisamente en la teoría de anillos , la noción de norma de Dedekind-Hasse generaliza la de pretma euclidiana . Fue formulado de forma independiente por Richard Dedekind y luego Helmut Hasse ; Ellos han demostrado que integral dominio R es director si y sólo si no es tal un "estándar" en R .
Una norma de Dedekind-Hasse en un anillo integral R es un mapa g de R en el conjunto ℕ de números naturales tal que (para todos a y b en R ):
Cuando p siempre puede elegirse igual a 1, encontramos la definición de un prestatma euclidiano.
Por restricción , y por definición del ideal generado ( un , b ) , lo que es lo mismo de darse un mapa v de R \ {0} en ℕ * o (por la traducción) en ℕ tal que (para todos una y b en R con b distinto de cero): b divide a , o existe un elemento r distinto de cero de ( a , b ) tal que v ( r ) < v ( b ). También llamamos a la norma Dedekind-Hasse a tal mapa v , y se dice que el anillo R es casi euclidiano si lo hay. Algunos autores agregan en la definición la condición de que v es creciente para el preorden de divisibilidad, es decir que v ( a ) ≤ v ( ab ), pero veremos que si existe en R una norma de Dedekind-Hasse entonces existe uno creciente, e incluso uno multiplicativo (mientras que en el caso euclidiano sólo sabemos , por un preestatma, cómo construir un estatma, es decir un preestatma creciente).
Un anillo integral es principal si y solo si es casi euclidiano.
DemostraciónSegún lo anterior, el anillo O K de enteros de un campo de números K es principal en cuanto el valor absoluto de su norma algebraica N K / ℚ sea una norma Dedekind-Hasse. Esta condición suficiente también es necesaria (esto contrasta con la euclidianidad: el anillo de números enteros de ciertos campos cuadráticos es euclidiano sin serlo para la norma algebraica). De hecho, en O K (que se supone principal), dejar que un y b sea dos elementos distintos de cero, r su GCD y c = b / r . Como en la demostración anterior, si b no divide a, entonces c no es invertible, por lo que | N K / ℚ ( b ) | = | N K / ℚ ( c ) || N K / ℚ ( r ) | > | N K / ℚ ( r ) |.
El anillo de números enteros del campo cuadrático imaginario ℚ [ i √ n ] es euclidiano solo para los primeros cinco de los nueve números de Heegner n = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 y 163. Para el último cuatro, sin embargo, es casi euclidiano. Para estos cuatro valores de n , dado que - n es congruente con 1 módulo 4 , este anillo es ℤ [(1 + i √ n ) / 2]. La norma, como en cualquier campo cuadrático imaginario, es simplemente el cuadrado del módulo .
Detallemos el primero de estos cuatro casos: n = 19. Sea ω = (1 + i √ 19 ) / 2.
ℤ [ω] es casi euclidianaSea en este anillo dos elementos α y β distintos de cero de modo que β no divida α. Se trata de encontrar dos elementos γ y δ del anillo tales que 0 <| γα / β - δ | <1. Para eso, escriba α / β en la forma ( a + b ω) / c con c > 1 y a , b , c primos enteros y establezca γ = d - e - d ω y δ = q + f ω , donde los números enteros d , e , f , q , r se eligen de modo que ad + be + cf = 1, a ( d - e ) + 5 bd = cq + r y 0 ≤ r < c . Entonces, γα / β - δ = ( r - ω) / c no es cero y | γα / β - δ | 2 = ( r 2 - r + 5) / c 2 <1 tan pronto como c ≥ 3. En el caso restante c = 2 (y r = 0 o 1), los números γ '= ( r - ω ) γ y δ '= ( r - ω ) δ + 2 son adecuados porque γ'α / β - δ' = 1/2.
ℤ [ω] no es euclidianaSupongamos que existe en este anillo un estatma euclidiano N y sea, entre los elementos de ℤ [ω] diferentes de 0 y sólo dos unidades 1 y –1 , un elemento z para el cual N alcanza su valor mínimo. Por división euclidiana de 2 y ω por z con relación a N (con resto igual a 0, 1 o –1), el elemento z debe ser tanto un divisor en ℤ [ω] de 2 o 3 como de ω, ω - 1 o ω + 1, lo cual es absurdo porque el entero | z | 2 > 1 no puede dividir en ℤ, al mismo tiempo, 4 o 9, y | ω | 2 = | ω - 1 | 2 = 5 o | ω + 1 | 2 = 7.