Método de Laplace

En matemáticas , el método de Laplace , de Pierre-Simon de Laplace , es un método para la evaluación numérica de integrales de la forma:

\ int _ {a} ^ {b} \! e ^ {{Mf (x)}} \, dx \,

donde está un dos veces diferenciable función , M es un número real grande y de los límites de una y b posiblemente puede ser infinita. $F$

Principio del método

Para M > 0, si suponemos que la función admite un máximo único en el punto, entonces para M grande, solo los puntos cercanos a contribuyen significativamente a la integral: $F$ $x_ {0}$ $x_ {0}$

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \! e ^ {Mf (x)} dx. \,}

Si M es negativo, al considerar -M y -f podemos reducirnos a considerar los máximos de -f por lo tanto los mínimos de f

Método de Laplace, caso general

Para aplicar el método de Laplace, se requieren una serie de condiciones. no debe ser uno de los límites de la integral y solo puede acercarse al valor en las proximidades de . $x_ {0}$ $f (x)$ $f (x_ {0})$ $x_ {0}$

Por aplicación del teorema de Taylor , en la vecindad de , se escribe: $x_ {0}$ $f (x)$

{\ Displaystyle f (x) = f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) (x-x_ {0}) + {\ frac {1} {2}} f' '(x_ {0 }) (x-x_ {0}) ^ {2} + O \ left ((x-x_ {0}) ^ {3} \ right)}

Dado que admite un máximo en , que no es uno de los límites de la integral, y entonces tenemos en un vecindario de : $F$ $x_ {0}$ ${\ Displaystyle f \, '(x_ {0}) = 0}$ ${\ Displaystyle f \, '' (x_ {0}) <0}$ $x_ {0}$

{\ Displaystyle f (x) \ approx f (x_ {0}) - {\ frac {1} {2}} | f '' (x_ {0}) | (x-x_ {0}) ^ {2} }

Y para la integral:

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \! e ^ {Mf (x)} \, dx \ approx e ^ {Mf (x_ {0})} \ int _ {a} ^ {b} \ ! e ^ {- M | f '' (x_ {0}) | (x-x_ {0}) ^ {2} / 2} dx}

La segunda integral se puede estimar usando una integral gaussiana mediante la sustitución de los límites una y b por -∞ y + ∞ y entonces tenemos:

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \! e ^ {Mf (x)} \, dx \ approx {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {M | f '' (x_ {0} ) |}}} e ^ {Mf (x_ {0})} {\ mbox {when}} M \ to \ infty}

La sustitución de los límites por −∞ y + ∞ es numéricamente válida porque, sea lo que sea un ${\ Displaystyle k \ in \ mathbb {N}, \, e ^ {- M | f '' (x_ {0}) | (x-x_ {0}) ^ {2} / 2}}$ ${\ Displaystyle o \ left ((x-x_ {0}) ^ {- k} \ right)}$

Las dos condiciones requeridas para realizar este método no son necesariamente requeridas y hay generalizaciones para el caso donde es uno de los límites usando una expansión de primer orden alrededor, así como por división integral para el caso donde dos, o un número finito, máximos locales de f tendría valores cercanos. El método col point también permite una generalización para $x_ {0}$ $x_ {0}$

I (\ lambda) = \ int_ \ mathcal {C} f (z) e ^ {\ lambda g (z)} \, dz \,

Ejemplo: fórmula de Stirling

El método de Laplace se puede utilizar para probar la fórmula de Stirling :

Para N grande: ${\ Displaystyle N! \ approx {\ sqrt {2 \ pi N}} N ^ {N} e ^ {- N} \,}$

Por definición de la función gamma , tenemos

{\ Displaystyle N! = \ Gamma (N + 1) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x} x ^ {N} dx. \,}

Con el cambio de variable obtenemos: ${\ Displaystyle x = Nz \,}$

${\ Displaystyle N! \,}$	${\ displaystyle = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- Nz} \ left (Nz \ right) ^ {N} Ndz \,}$
	${\ Displaystyle = N ^ {N + 1} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- Nz} z ^ {N} dz \,}$
	${\ Displaystyle = N ^ {N + 1} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- Nz} e ^ {N \ ln z} dz \,}$
	${\ Displaystyle = N ^ {N + 1} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {N (\ ln zz)} dz. \,}$

Considerando la función:

{\ Displaystyle f \ left (z \ right) = \ ln {z} -z}

f es dos veces diferenciable:

{\ Displaystyle f '(z) = {\ frac {1} {z}} - 1 \ ,,}

{\ Displaystyle f '' (z) = - {\ frac {1} {z ^ {2}}}. \,}

f es máxima en z = 1 y su segunda derivada es igual a -1 en 1; tenemos entonces con el método de Laplace:

{\ Displaystyle N! \ approx N ^ {N + 1} {\ sqrt {\ frac {2 \ pi} {N}}} e ^ {- N} = {\ sqrt {2 \ pi N}} N ^ { N} e ^ {- N}. \,}

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Método de Laplace " ( ver la lista de autores ) .

Ver también

Bibliografía

J. Dieudonné , Calculus infinitesimal [ detalle de las ediciones ] , cap. IV, §2
P. Deift, X. Zhou, Un método de descenso más empinado para problemas oscilatorios de Riemann-Hilbert. Asintóticas para la ecuación MKdV, Ann. de Matemáticas. (2), v . 137 (1993), núm. 2, 295–368
A. Erdelyi, Expansiones asintóticas, Dover, 1956