Máximo ideal

Un ideal máximo es un concepto asociado con la teoría de anillos en matemáticas y más específicamente en álgebra .

Se dice que un ideal de un anillo conmutativo es máximo cuando está contenido exactamente en dos ideales, él mismo y el anillo completo. La existencia de ideales máximos está asegurada por el teorema de Krull .

Esta definición permite generalizar la noción de elemento irreductible a anillos diferentes al de enteros relativos . Algunos de estos anillos tienen un papel importante en la teoría de números algebraica y la geometría algebraica .

Motivaciones

La aritmética a veces requiere trabajar en complicados anillos conmutativos como algunos de los enteros algebraicos . Los teoremas que se suelen utilizar para construir la teoría, como el de la descomposición en factores primos , ya no están completamente verificados. En este caso, la unicidad de la descomposición (excepto por el orden y los elementos invertibles ) no es exacta.

Sin embargo, para poder construir la teoría, queda operativo otro concepto: el de ideales. Las definiciones válidas para los elementos, como irreductible , primo , primo entre sí como un todo , mcd o incluso ppcm , a menudo tienen definiciones equivalentes para anillos.

En un anillo principal, la noción de ideal máximo corresponde a la de elementos irreductibles. Se utiliza en particular en la teoría de polinomios .

Definiciones

Un ideal máximo de un anillo conmutativo es un ideal tal que hay exactamente dos ideales que lo contienen, él mismo y el anillo completo.
Un elemento irreductible es un elemento distinto de cero cuyo ideal generado es un elemento máximo del conjunto de ideales principales y propios (es decir, diferente de todo el anillo).

La última definición es equivalente a la siguiente:

Un elemento irreducible es un elemento tal que cualquier descomposición de dos factores contiene uno y solo un elemento invertible.

Ejemplos de

Los ideales máximos del anillo ( euclidiano , por lo tanto principal ) ℤ de enteros relativos son los ideales de la forma p ℤ, para p un número primo . La ubicación de este anillo permite definir los anillos de enteros p -ádicos .
Si K es un campo conmutativo , los ideales máximos del anillo (euclidiano, por lo tanto principal) K [ X ] son los ideales generados por los polinomios irreducibles . En el caso de que el campo sea algebraicamente cerrado (por ejemplo, para el campo de números complejos ), estos son los polinomios de grado 1. La ubicación de estos anillos conduce a los anillos de series formales .
En el caso del anillo de polinomio con coeficientes en el anillo de los enteros, un polinomio irreducible no necesariamente produce una máxima ideal: el ideal generado por X está estrictamente incluido en la generada por 2 y X .
Si K es un campo conmutativo, el único ideal máximo es {0}.
Los anillos con un solo ideal máximo son de particular importancia: estos son los anillos locales . Generalmente se obtienen después de un proceso de localización que consiste en hacer invertibles suficientes elementos para que solo quede un ideal máximo.

Propiedades

Anillo de cociente

Un I ideal de un anillo conmutativo A es máximo si, y solo si, el anillo cociente A / I es un campo.

En consecuencia, cualquier ideal máximo es primo .

Esta propiedad permite, por ejemplo, construir el cuerpo de fractura de un polinomio irreducible.

Demostración

Suponga que I es máximo y demuestre que cualquier elemento x distinto de cero de A / I es invertible. Tal elemento x cociente es la clase de un elemento de una de A no pertenece a I . Dado que A es conmutativa, I + aA es un ideal. Como este ideal estrictamente contiene I , es igual a A . Esto significa que existe un elemento i de I y un elemento b de A tal que i + ab = 1. Esta igualdad muestra que la clase x de a es invertible, inversamente la clase de b . En consecuencia, A / I es de hecho un cuerpo.
A la inversa, supongamos que A / I es un cuerpo y muestran que todo ideal J de A que contiene estrictamente I es igual a A . Tal J contiene ha no perteneciente a I . La clase ha es un elemento de inversión de modo que hay un elemento b de A y un elemento i de I tal que i + ab = 1. Esto demuestra que la igualdad es un elemento J y por lo tanto J es igual a A . En consecuencia, yo es de hecho máximo.

Anillo principal

En el caso de un anillo principal , las nociones de irreductibilidad y primalidad se confunden:

Para cualquier I ideal de un anillo principal, las siguientes propiedades son equivalentes:

Yo es primo y no cero;
I es generado por un elemento distinto de cero y no invertible que, si divide un producto ab , divide a o b ;
I es generado por un elemento irreductible;
Yo es máximo.

Se da una demostración en el § “Anillo principal” del artículo sobre ideales primarios .

Teorema de Krull y elementos invertibles

El teorema de Krull (equivalente al axioma de elección ) establece que en cualquier anillo conmutativo, siempre se incluye un ideal propio en al menos un ideal máximo.

En consecuencia, un elemento del anillo es invertible si y solo si no pertenece a ningún ideal máximo. De hecho, un elemento no es invertible si y solo si el ideal que genera es el adecuado.