Hiperoperación

En matemáticas , las hiperoperaciones (o hiperoperadores ) constituyen una serie infinita de operaciones que lógicamente amplía la serie de las siguientes operaciones aritméticas elementales:

suma (n = 1): ${\ Displaystyle {{H_ {1} (a, b) = a + b} \ sobre \,} {= \ sobre \,} {a \, + \ sobre \,} {{\ underbrace {1 + 1 + \ cdots +1}} \ encima de b {\ text {terms}}}}$
multiplicación (n = 2): ${\ Displaystyle {{H_ {2} (a, b) = a \ times b = \} \ sobre {\}} {{\ underbrace {a + a + \ cdots + a}} \ sobre b {\ text { términos}}}}$
exponenciación (n = 3): ${\ Displaystyle {{H_ {3} (a, b) = a ^ {b} = \} \ encima de {\}} {{\ underbrace {a \ times a \ times \ cdots \ times a}} \ encima de b {\ text {factores}}}}$

Reuben Goodstein propuso operaciones de bautismo más allá de la exponenciación usando prefijos griegos: tetración ( n = 4), pentación ( n = 5), hexadecimación ( n = 6), etc. La hiperoperación en el orden n se puede notar usando una flecha de Knuth en el rango n - 2 . ${\ Displaystyle H_ {n} (a, b) = a \ uparrow ^ {n-2} b}$

La flecha de Knuth en el rango m se define recursivamente por: y ${\ Displaystyle a \ uparrow ^ {- 1} b = a + b \,}$ ${\ Displaystyle a \ uparrow ^ {m} b = \ underbrace {a \ uparrow ^ {m-1} \ left (a \ uparrow ^ {m-1} \ left [a \ uparrow ^ {m-1} \ left " (\ ldots \ left [a \ uparrow ^ {m-1} \ left (a \ uparrow ^ {m-1} a \ right) \ right] \ ldots \ right) \ right] \ right)} _ {\ displaystyle b {\ mbox {copias de}} a}, \ quad m \ geq 0}$

También se puede definir mediante la regla . Cada uno crece más rápido que el anterior. ${\ Displaystyle a \ uparrow ^ {m} b = a \ uparrow ^ {m-1} \ left (a \ uparrow ^ {m} (b-1) \ right)}$

Suites similares han tenido históricamente varios nombres, como la función de Ackermann (3 puntos), la jerarquía de Ackermann , la jerarquía de Grzegorczyk (más en general), la versión de Goodstein de la función de Ackermann , hipern .

Definición

La secuencia de hiperoperador es la secuencia de operaciones binarias indexadas por , definidas recursivamente de la siguiente manera: ${\ Displaystyle H_ {n}: \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}}$ $n \ in \ N$

{\ Displaystyle H_ {n} (a, b) = {\ begin {cases} b + 1 & {\ text {si}} n = 0 \\ a & {\ text {si}} n = 1, b = 0 \ \ 0 & {\ text {si}} n = 2, b = 0 \\ 1 & {\ text {si}} n \ geq 3, b = 0 \\ H_ {n-1} (a, H_ {n} (a, b-1)) & {\ text {de lo contrario}} \ end {cases}}}

(Nota: para n = 0, podemos ignorar el primer argumento, porque entonces el hiperoperador simplemente consiste en incrementar el segundo argumento en una unidad: sucesión).

Para n = 0, 1, 2, 3, esta definición reproduce las operaciones aritméticas elementales, en el orden: sucesión, suma, multiplicación, exponenciación. Por lo tanto, por convención, las operaciones aritméticas elementales también deben considerarse como hiperoperadores.

Para n ≥ 4, esta secuencia continúa con nuevas operaciones.

Aquí está la lista de las primeras 7 hiperoperaciones:

no	$H_n$	Cirugía	Definición	Nombres	Áreas de validez
0	$H_ {0} (a, b)$	$b + 1$	${1 + {\ underbrace {1 + 1 + 1 + \ cdots +1} _ {{b}}}}$	sucesor , "zeration"	b real
1	$H_ {1} (a, b)$	$a + b$	${a + {\ underbrace {1 + 1 + 1 + \ cdots +1} _ {{b}}}}$	adición	una y b reales
2	$H_ {2} (a, b)$	$a \ cdot b$	${{\ underbrace {a + a + a + \ cdots + a}} \ encima de {b}}$	multiplicación	una y b reales
3	$H_ {3} (a, b)$	$a \ uparrow b = a ^ {b}$	${{\ underbrace {a \ cdot a \ cdot a \ cdot a \ cdot \ ldots \ cdot a}} \ encima de {b}}$	exponenciación	a > 0, b real, o a distinto de cero, b un entero. Extensiones en el conjunto de números complejos .
4	$H_ {4} (a, b)$	${\ Displaystyle a \ uparrow \ uparrow b = \ ^ {b} a}$	${{\ underbrace {a \ uparrow a \ uparrow a \ uparrow \ cdots \ uparrow a}} \ encima de {b}}$	tetración	a > 0, b entero ≥ −1 (extensiones propuestas)
5	$H_ {5} (a, b)$	$a \ uparrow \ uparrow \ uparrow b$ o $a \ uparrow ^ {3} b$	${{\ underbrace {a \ uparrow \ uparrow a \ uparrow \ uparrow \ cdots \ uparrow \ uparrow a}} \ encima de {b}}$	pentacion	una y b números enteros, un > 0, b ≥ 0
6	$H_ {6} (a, b)$	$a \ uparrow ^ {4} b$	${{\ underbrace {a \ uparrow ^ {3} a \ uparrow ^ {3} \ cdots \ uparrow ^ {3} a}} \ encima de {b}}$	maleficio	una y b números enteros, un > 0, b ≥ 0

Casos especiales

H n (0, b ) =

0, donde n = 2, o n = 3, b ≥ 1, o n ≥ 4, b impar (≥ −1) 1, donde n = 3, b = 0, on ≥ 4, b par (≥ 0) b , donde n = 1 b + 1, donde n = 0

H n ( a , 0) =

0, donde n = 2 1, donde n = 0, on ≥ 3 a , donde n = 1

H n ( a , −1) =

0, donde n = 0, on ≥ 4 a - 1, donde n = 1 - a , donde n = 2

1 / a

, donde n = 3

H n ( 2, 2 ) =

3, donde n = 0 4, donde n ≥ 1, fácilmente demostrable por inducción.

Historia

Una de las primeras discusiones sobre los hiperoperadores fue la de Albert Bennet en 1914, quien desarrolló la teoría de las hiperoperaciones conmutativas .

12 años después, Wilhelm Ackermann define la función que se acerca a la secuencia de hiperoperadores. ${\ Displaystyle \ phi (a, b, n)}$

En su artículo de 1947, Reuben Goodstein introdujo la secuencia de operaciones ahora llamadas hiperoperaciones y sugirió los nombres de tetración , pentación , etc. para operaciones más allá de la exponenciación (porque corresponden a los índices 4, 5, etc. a continuación). Es una función con tres argumentos :, la secuencia de hiperoperaciones se puede comparar con la función de Ackermann . La función de Ackermann original usa la misma regla recursiva que Goodstein pero se diferencia de ella de dos maneras: Primero, define una serie de operaciones que comienzan desde la suma ( n = 0) en lugar de la sucesión. Entonces, las condiciones iniciales para son diferentes en esto de las hiperoperaciones más allá de la exponenciación. El significado de b + 1 en la expresión anterior es que = , donde b cuenta el número de operadores en lugar del número de operandos a , al igual que b in , etc. para operaciones de nivel superior (consulte la función Ackermann para obtener más detalles). ${\ Displaystyle G (n, a, b) = H_ {n} (a, b)}$ ${\ Displaystyle \ phi (a, b, n)}$ $\ phi$ ${\ Displaystyle \ phi (a, b, n)}$ $\ phi$ ${\ Displaystyle \ phi (a, b, 3) = a \ uparrow \ uparrow (b + 1)}$ ${\ Displaystyle \ phi (a, b, 3)}$ ${\ Displaystyle a ^ {a ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {a}}}}}}$ ${\ Displaystyle a \ uparrow \ uparrow b}$

Notaciones

Se han desarrollado muchas notaciones y son aplicables a los hiperoperadores.

apellido	Notación equivalente a ${\ Displaystyle H_ {n} (a, b)}$	Comentario
Notación de flechas de Knuth	${\ Displaystyle a \ uparrow ^ {n-2} b}$	Usado por Knuth (para n ≥ 2) y encontrado en varios trabajos.
Notación Goodstein	${\ Displaystyle G (n, a, b)}$	Utilizado por Reuben Goodstein .
Función original de Ackermann	${\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ phi (a, b, n-1) \ {\ text {para}} 1 \ leq n \ leq 3 \\\ phi (a, b-1, n-1) \ {\ text {para}} n> 3 \ end {matriz}}}$	Utilizado por Wilhelm Ackermann .
Función de Ackermann: pedos	${\ Displaystyle A (n, b-3) +3 \ {\ text {para}} a = 2}$	Esto corresponde a hiperoperaciones de base 2 ( ). ${\ Displaystyle H_ {n} (2, b)}$
Notación nambiar	${\ Displaystyle a \ otimes ^ {n} b}$	Utilizado por Nambiar
Notación de caja	${\ Displaystyle a {\, {\ begin {array} {\| c \|} \ hline {\! n \!} \\\ hline \ end {array}} \,} b}$	Utilizado por Rubtsov y Romerio.
Notación de exponente	${\ Displaystyle a {} ^ {(n)} b}$	Utilizado por Robert Munafo.
Clasificación de índice	${\ Displaystyle a {} _ {(n)} b}$	Utilizado por John Donner y Alfred Tarski (para n ≥ 1).
Corchetes de notación	${\ Displaystyle a [n] b}$	Usado en foros, por simplicidad.
Notación de flechas de cadena de Conway	${\ displaystyle a \ rightarrow b \ rightarrow (n-2)}$	Utilizado por John Horton Conway (para n ≥ 3).
Notación Bowers	${\ Displaystyle \ {a, b, n, 1 \}}$	Utilizado por Jonathan Bowers (para n ≥ 1).

Variante inicial de un

En 1928, Wilhelm Ackermann definió una función de 3 argumentos que gradualmente se convirtió en una función de 2 argumentos conocida como función de Ackermann . La función de Ackermann original era menos similar a las hiperoperaciones modernas, ya que sus condiciones iniciales comienzan con para todo n > 2. Además, la suma se asigna an = 0, la multiplicación an = 1 y la potenciación an = 2, de modo que la las condiciones iniciales producen operaciones muy diferentes de la tetración y las hiperoperaciones posteriores. ${\ Displaystyle \ phi (a, b, n)}$ $\ phi$ ${\ Displaystyle \ phi (a, 0, n) = a}$

no	Cirugía	Comentario
0	${\ Displaystyle F_ {0} (a, b) = a + b}$
1	${\ Displaystyle F_ {1} (a, b) = a \ cdot b}$
2	${\ Displaystyle F_ {2} (a, b) = a ^ {b}}$
3	${\ Displaystyle F_ {3} (a, b) = a \ uparrow \ uparrow (b + 1)}$	La iteración de esta operación es diferente de la iteración de la tetración.
4	${\ Displaystyle F_ {4} (a, b) = (x \ mapsto a \ uparrow \ uparrow (x + 1)) ^ {b} (a)}$	No confundir con pentation .

Otra condición inicial que se utilizó es (donde la base es constante ), debido a Rózsa Péter , que no forma una jerarquía de hiperoperaciones. ${\ Displaystyle A (0, b) = 2b + 1}$ ${\ Displaystyle a = 2}$

Variante inicial desde 0

En 1984, CW Clenshaw y FWJ Olver comenzaron a discutir el uso de hiperoperaciones para prevenir un error informático de coma flotante . Desde entonces, muchos otros autores se han interesado en la aplicación de hiperoperaciones a la representación de punto flotante (porque H n ( a , b ) están todos definidos para b = –1). Al discutir la tetración , Clenshaw et al. apoyó la condición inicial , y realizó otra jerarquía de hiperoperaciones. Como en la variante anterior, la cuarta operación es muy similar a la tetración, pero es diferente a ella. ${\ Displaystyle F_ {n} (a, 0) = 0}$

no	Cirugía	Comentario
0	${\ Displaystyle F_ {0} (a, b) = b + 1}$
1	${\ Displaystyle F_ {1} (a, b) = a + b}$
2	${\ Displaystyle F_ {2} (a, b) = a \ cdot b = e ^ {\ ln (a) + \ ln (b)}}$
3	${\ Displaystyle F_ {3} (a, b) = a ^ {b}}$
4	${\ Displaystyle F_ {4} (a, b) = a \ uparrow \ uparrow (b-1)}$	La iteración de esta operación es diferente de la iteración de la tetración.
5	${\ Displaystyle F_ {5} (a, b) = \ left (x \ mapsto a \ uparrow \ uparrow (x-1) \ right) ^ {b} (0) = 0 {\ text {si}} a> 0}$	No confundir con Pentation .

Ver también

Referencias

( fr ) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Hiperoperación " ( consulte la lista de autores ) .

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