Homotecia

Una homotecia es una transformación geométrica por ampliación o reducción ; es decir, una reproducción con cambio de escala . Se caracteriza por su centro , un punto invariante y una razón que es un número real . Por la homotecia del centro O y de la razón k , el punto M se transforma en un punto N tal que

{\ displaystyle {\ overrightarrow {ON}} = k \, {\ overrightarrow {OM}}.}

En otras palabras, la homotecia deja O fijo y envía el punto M a un punto N ubicado en la línea ( OM ) mediante una ampliación o una reducción de la relación k . Por ejemplo, dos muñecas rusas que miran en la misma dirección pueden considerarse homotéticas .

Las escalas de relación distinta de cero son casos especiales de similitudes : multiplican las distancias por el valor absoluto de su relación y conservan los ángulos.

Introducida en la geometría clásica , la noción de homotecia se generaliza a los marcos de espacios vectoriales o espacios afines . El conjunto de homotecias vectoriales de relación distinta de cero, dotadas de la composición , forma un grupo denominado grupo de dilataciones , y el conjunto de dilataciones afines de relación distinta de cero y traslaciones dotadas de la composición también forma un grupo, denominado grupo de homotetidos-traducciones .

El término homotecia , debido al matemático francés Michel Chasles , se compone de dos elementos de origen griego: el prefijo homo- ( ὁμός ), "similar", y tesis ( θέσις ), "posición". Traduce la correspondencia entre dos figuras de la misma forma y la misma orientación.

Definición en geometría afín

En un espacio afín P (por ejemplo en el plano o en el espacio habitual), para un punto dado O de P y un escalar k distinto de cero , la homotecia con centro O y razón k es una transformación f de P que sale del punto O invariante y tal que, para cualquier punto M distinto de O:

Puntos O , M y f ( M ) están alineados;
La razón algebraica es k :

{\ frac {\ overline {Of (M)}} {\ overline {OM}}} = k

En el caso más común donde el campo de escalares en el espacio afín P es el de números reales o números complejos , decimos que una dilatación de la razón k con:

| k |> 1, es una ampliación de la relación | k | ;
| k | <1, es una reducción de la relación | k |.

Cabe mencionar dos casos especiales:

Si k = 1, siendo cada punto invariante , la homotecia es la transformación de identidad : cada punto se envía a sí mismo;
Si k = -1, -1 la relación de dilatación es la simetría central centro O .

Tenga en cuenta que si el campo de escalares en el espacio afín P tiene una característica igual a 2, estos dos puntos se fusionan.

Una escala afín de proporción distinta de cero es un mapa afín que es biyectivo , y su mapa lineal asociado es la escala vectorial de la misma proporción (ver más abajo).

Construcción de la homotética de un punto

En la práctica (en el caso del plano o del espacio habitual), para construir la imagen N = f ( M ) de un punto M por una homotecia f con centro O y razón k ( N se llama l ' homotética de M ), debemos trazar la línea ( OM ), entonces:

si k es positivo, coloque en ( OM ) el punto N tal que la dirección de O a M sea la misma que la de O a N y tal que la longitud del segmento [ ON ] sea igual a k veces la longitud del segmento [ OM ];
si k es negativo, coloque en ( OM ) el punto N tal que la dirección de O a M sea opuesta a la de O a N y tal que la longitud del segmento [ ON ] sea igual a -k veces la longitud de el segmento [ OM ];

Entonces N es geométricamente similar a M .

Propiedades afines

Cualquier homotecia transforma una recta en una recta paralela a ella.

Sin usar el teorema de Thales , si h es una homotecia con el centro O enviando los puntos M y N en f ( M ) yf ( N ), entonces la relación de Chasles da:

{\ Displaystyle f (M) f (N) = De (N) -Of (M) = k \ cdot (ON-OM) = k \ cdot MN}

En particular, las líneas ( f ( M ) f ( N )) y ( MN ) tienen la misma línea vectorial directriz; por tanto, son paralelos. Las diluciones afines de una relación distinta de cero son, con las traducciones, las únicas aplicaciones del espacio afín en sí mismo que tiene esta propiedad. Esto permite una caracterización puramente geométrica de la homotecia en dimensión al menos 2: son los mapas afines los que transforman una línea en una línea paralela y que tienen al menos un punto fijo.

Cualquier homotecia conserva el paralelismo: dos líneas paralelas se envían en dos líneas paralelas.

En efecto, si dos líneas d y d ' son paralelos, y h es una homotecia, a continuación, por la propiedad anterior, h ( d ) y d son paralelas, y h ( d' ) y d ' también son paralelos. Por transitividad, las líneas h ( d ) y h ( d ' ) son, por tanto, paralelas.

Cualquier homotecia conserva las relaciones algebraicas.

Si M , N , P y Q son cuatro puntos alineados, y h es una escala de la relación k , se ha obtenido:

{\ Displaystyle h (M) h (N) = k \ cdot MN \ {\ textrm {et}} \ h (P) h (Q) = k \ cdot PQ}

Si PQ = u MN , entonces, dado que k no es cero, h ( P ) h ( Q ) = u h ( M ) h ( N ). Entonces, h conserva las relaciones algebraicas.

Teorema de Tales

Las propiedades citadas anteriormente son una reformulación del teorema de Thales:

Teorema de Thales - Sea OMB un triángulo y dos puntos N y A respectivamente en las líneas ( OM ) y ( OB ). Entonces las líneas ( BM ) y ( AN ) son paralelas si y solo si las siguientes razones algebraicas son iguales:

{\ frac {\ overline {OA}} {\ overline {OB}}} = {\ frac {\ overline {ON}} {\ overline {OM}}}

Retomando las notaciones del citado teorema, si los puntos A y N son las respectivas imágenes de los puntos B y M por la misma homotecia con el centro O , se verifica la igualdad de las razones algebraicas. El significado recíproco implica que las líneas ( AN ) y ( BM ) son paralelas. El teorema de Tales muestra que cualquier homotecia transforma una línea en una línea paralela a ella.

Además, Thales teorema demuestra que hay exactamente un solo centro dilatación O enviar M en N . Este escalado envía cualquier punto B no alineada con O , M y N en el punto de la línea (intersección OB ) con el paralelo ( BM ) a través de N . La construcción de la imagen de un punto en la línea ( OM ) requiere para construir la imagen previa de un no alineado con el punto O , M y N .

Composición

El compuesto de dos homotetos con centro O y proporciones k y k ' es una homotecia con centro O y proporción kk' . Toda homotecia central O es de composición estable: forma un subgrupo conmutativo del grupo de transformaciones del espacio.

El compuesto de dos homotecias de diferentes centros O y O ' y de proporciones k y k' es:

una traslación vectorial si el producto kk ' es igual a 1; $(1-k ') \ overrightarrow {OO'}$
una homotecia con razón kk ' y centro O' ' baricentro de los puntos ( O , kk' - k ' ) y ( O' , k ' –1) si kk' es diferente de 1.

El compuesto t o h de una homotecia con centro O y razón k y una traslación con vector u es también una homotecia con razón k y centro O '' baricentro de los puntos ( O , k ) y ( O ' , -1) donde O 'es el punto tal que . Finalmente, el compuesto h o t es una homotecia con razón k y centro O '' baricentro de ( O ' , k ) y ( O , –1) donde O' es el punto tal que . $\ overrightarrow {OO '} = u$ $\ overrightarrow {O'O} = u$

Estas propiedades muestran que el conjunto de homotecias y traducciones es estable por composición; forma un subgrupo no conmutativo del grupo de transformaciones espaciales.

Propiedad en geometría euclidiana

En la geometría euclidiana, compuesto de un centro de rotación O y una dilatación de centro O que se llama un centro de similitud O . Como todas las similitudes, la homotecia satisface las siguientes propiedades:

Cualquier homotecia conserva los ángulos y, por tanto, en particular la ortogonalidad. Por tanto, una homotecia es una transformación conforme;
Una dilatación transforma un círculo en un círculo;
Una escala de razón k modifica las distancias por un factor y modifica los volúmenes por un factor donde n es la dimensión del espacio. $| k |$ $| k | ^ {n}$

En el plano complejo

Por la homotecia del centro A con afijo a y razón k , el punto M con afijo z tiene por imagen el punto M 'con afijo z' verificando:

z '= k (za) + a ~

Figura característica del trapezoide

Si ABCD es un trapezoide tal que con k diferente de 1, existen dos homotecias que transforman [ AB ] en [ CD ]: una con centro O ' intersección de las diagonales y de razón - k y la otra, con centro O intersección de la líneas ( AD ) y ( BC ) e informe k . $\ overrightarrow {DC} = k \ overrightarrow {AB}$

Geometría vectorial

En un espacio vectorial V en un campo conmutativo , llamamos relación escalar k al mapa k . id , que a cualquier vector v asocia el vector kv . Es un endomorfismo de V . Si V es de dimensión finita n , la matriz de k .id , en cualquier base de V , es la matriz escalar k .I n donde I n es la matriz identidad de tamaño n .

El valor propio único de k .id es k .

Para dos espacios vectoriales E y F y dos mapas lineales f y g de E a F , si f ( x ) es un múltiplo de g ( x ) para cualquier vector x de E , entonces f es el compuesto de g por una homotecia de F .

En particular, un endomorfismo h de V es una homotecia si (y solo si) todos los vectores de V distintos de cero son eigen para h .

Fácilmente deducimos que un endomorfismo h de V es una homotecia si (y solo si) h conmuta a cualquier endomorfismo de V , o incluso solo a cualquier proyección en una línea , o incluso a cualquier elemento del grupo especial lineal SL ( V ) .

Referencias

François y Dominique Liret Martinais, Matemáticas para DEUG : Álgebra 1 er año: Curso y ejercicios con soluciones , Dunod ,1997( ISBN 978-2-10-003149-8 ) , pág. 183.
Ver, por ejemplo, este ejercicio corregido sobre Wikiversity .
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Bibliografía

Jacqueline Lelong-Ferrand , Fundamentos de la geometría , París, PUF ,1985, 287 p. ( ISBN 2-13-038851-5 )