Límite ordinal
En matemáticas y más precisamente en teoría de conjuntos , un ordinal límite es un número ordinal distinto de cero que no es un ordinal sucesor .
Definición
De acuerdo con la definición anterior, un ordinal α es límite si y solo si satisface una de las siguientes proposiciones equivalentes:
- α ≠ 0 y ∀ β β + 1 ≠ α;
- 0 <α y ∀ β <α β + 1 <α;
- α ≠ 0 y ∀ β <α ∃ γ β <γ <α;
- α es distinto de cero e igual al límite superior de todos los ordinales que son estrictamente inferiores a él (el conjunto de ordinales estrictamente inferior a un ordinal sucesor β +1 tiene un elemento mayor , el ordinal β);
- como conjunto de ordinales, α no está vacío y no tiene un elemento más grande;
- α se puede escribir en la forma ω · γ con γ> 0;
- α es un punto de acumulación de la clase de números ordinales, provisto de la topología del orden .
Algunos libros de texto también incluyen 0 entre los ordinales límite.
Ejemplos de
Al estar bien ordenada la clase de números ordinales , existe un ordinal límite más pequeño que todos los demás, señaló ω. Este ordinal ω también es el ordinal infinito más pequeño y es el límite superior de los números naturales . El siguiente ordinal límite es ω + ω = ω · 2, seguido de ω · n , para todos los números naturales n . De la unión de todos los ω · n , obtenemos ω · ω = ω². Este proceso se puede iterar para producir:
Todos estos ordinales siguen siendo contables . Sin embargo, no existe un método enumerable de forma recursiva para nombrar de forma coherente todos los ordinales más pequeños que el ordinal de Church - Kleene , que en sí mismo es contable.
El primer ordinal incontable generalmente se anota ω 1 . También es un ordinal límite.
Continuando, podemos definir los siguientes ordinales límite, correspondientes a los cardinales :
En general, obtenemos un ordinal límite considerando la unión de un conjunto de ordinales que no admite un elemento mayor.
Los ordinales de la forma ω²α, para α> 0, son límites de límites, etc.
Notas y referencias
- (en) Kenneth Kunen , Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia , Amsterdam / Nueva York, Holanda Septentrional,1980, 313 p. ( ISBN 978-0-444-85401-8 ).
- (en) Thomas Jech , Set Theory , Springer ( leer en línea ).
- Formalmente, el cardinal ℵ α es por definición ω α . Como cualquier cardenal, es un ordinal que no es equipotente a ningún ordinal estrictamente inferior.