Armónico cilíndrico
En matemáticas , los armónicos cilíndricos son un conjunto de soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial de Laplace.
∇2V=1ρ∂∂ρ(ρ∂V∂ρ)+1ρ2∂2V∂φ2+∂2V∂z2=0{\ estilo de visualización \ nabla ^ {2} V = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ rho}} \ izquierda (\ rho {\ frac {\ parcial V} { \ parcial \ rho}} \ derecha) + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} V} {\ parcial \ varphi ^ {2}}} + { \ frac {\ parcial ^ {2} V} {\ parcial z ^ {2}}} = 0}![{\ estilo de visualización \ nabla ^ {2} V = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ rho}} \ izquierda (\ rho {\ frac {\ parcial V} { \ parcial \ rho}} \ derecha) + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} V} {\ parcial \ varphi ^ {2}}} + { \ frac {\ parcial ^ {2} V} {\ parcial z ^ {2}}} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7e1f23c2c2526375f3bee5945fcfedad3dce096)
expresado en coordenadas cilíndricas ρ (radio), φ (acimut) yz (dimensión). Cada función V n ( k ) es el producto de tres términos, cada uno de los cuales depende solo de una coordenada. El término dependiente de ρ se expresa con funciones de Bessel (que a veces también se denominan armónicos cilíndricos).
Definición
Cada función V n ( k ) se expresa como el producto de tres funciones:
Vno(k;ρ,φ,z)=PAGno(k,ρ)Φno(φ)Z(k,z){\ Displaystyle V_ {n} (k; \ rho, \ varphi, z) = \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}![{\ Displaystyle V_ {n} (k; \ rho, \ varphi, z) = \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d2199bac0fe7a0179450b0ca2cc18b445feeab)
con ( ρ , φ , z ) las coordenadas cilíndricas, yn y k son constantes que distinguen a los miembros del conjunto. Como resultado del principio de superposición aplicado de la ecuación de Laplace, se pueden obtener soluciones generales a la ecuación de Laplace mediante combinaciones lineales de estas funciones.
Puesto que todas las superficies para ρ , φ o z son cónicas, la ecuación de Laplace es separable en coordenadas cilíndricas. Mediante la técnica de separación de variables , se puede escribir una solución separada de la ecuación de Laplace:
V=PAG(ρ)Φ(φ)Z(z){\ Displaystyle V = \ mathrm {P} (\ rho) \, \ Phi (\ varphi) \, Z (z)}![{\ Displaystyle V = \ mathrm {P} (\ rho) \, \ Phi (\ varphi) \, Z (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0634d66da3555f52bb4d6e2d88c15740ff4a1920)
y al dividir la ecuación de Laplace por V , se simplifica en:
PAG¨PAG+1ρPAG˙PAG+1ρ2Φ¨Φ+Z¨Z=0{\ Displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \, {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + {\ frac { \ ddot {Z}} {Z}} = 0}![{\ Displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \, {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + {\ frac { \ ddot {Z}} {Z}} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06bf8224090b271c838f593978d61afe446aac85)
El término en Z depende solo de z y, por lo tanto, debe ser igual a una constante:
Z¨Z=k2{\ Displaystyle {\ frac {\ ddot {Z}} {Z}} = k ^ {2}}![{\ Displaystyle {\ frac {\ ddot {Z}} {Z}} = k ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dcfdc5395309937b67813621de7d6407a14dd55)
donde k es, en general, un número complejo . Para un valor dado de k , Z tiene dos soluciones linealmente independientes.
- si k es real, podemos escribir:
Z(k,z)=aporrear(kz) otu pecado(kz){\ Displaystyle Z (k, z) = \ cosh (kz) \ \ mathrm {o} \ \ sinh (kz) \,}![{\ Displaystyle Z (k, z) = \ cosh (kz) \ \ mathrm {o} \ \ sinh (kz) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dee8bed9425f108c1c6b077793d8ba3eba24cd88)
o, dependiendo de su comportamiento ad infinitum:
Z(k,z)=mikz otu mi-kz{\ Displaystyle Z (k, z) = {\ rm {e}} ^ {kz} \ \ mathrm {o} \ {\ rm {e}} ^ {- kz} \,}
Z(k,z)=porque(|k|z) otu pecado(|k|z){\ Displaystyle Z (k, z) = \ cos (| k | z) \ \ mathrm {o} \ \ sin (| k | z) \,}![{\ Displaystyle Z (k, z) = \ cos (| k | z) \ \ mathrm {o} \ \ sin (| k | z) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4acd51543c110cb967fac9095e238569cafd0526)
o :
Z(k,z)=miI|k|z otu mi-I|k|z{\ Displaystyle Z (k, z) = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} | k | z} \ \ mathrm {o} \ {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} | k | z} \,}
Podemos notar que las funciones Z ( k , z ) son los núcleos de la transformación de Fourier o de la transformación de Laplace de la función Z ( z ) y, por lo tanto, k puede ser una variable discreta para condiciones de contorno periódicas, o una variable continua para condiciones de borde no periódicas.
Reemplazamos k 2 por , ahora tenemos:
Z¨/Z{\ Displaystyle {\ ddot {Z}} / Z}![{\ Displaystyle {\ ddot {Z}} / Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1862dcecd5909da6283488ae99db938b6aee1e8b)
PAG¨PAG+1ρPAG˙PAG+1ρ2Φ¨Φ+k2=0{\ Displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + k ^ {2} = 0}![{\ Displaystyle {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho}} \, {\ frac {\ dot {\ mathrm {P }}} {\ mathrm {P}}} + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} + k ^ {2} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e28e778708ed346da35e0307c577b7787ba4ab02)
Multiplicando por ρ 2 , podemos separar las funciones P y Φ e introducir una nueva constante n por razones similares a k para el término que depende de φ :
Φ¨Φ=-no2{\ Displaystyle {\ frac {\ ddot {\ Phi}} {\ Phi}} = - n ^ {2}}
ρ2PAG¨PAG+ρPAG˙PAG+k2ρ2=no2{\ Displaystyle \ rho ^ {2} {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + \ rho {\ frac {\ dot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + k ^ {2} \ rho ^ {2} = n ^ {2}}![{\ Displaystyle \ rho ^ {2} {\ frac {\ ddot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + \ rho {\ frac {\ dot {\ mathrm {P}}} {\ mathrm {P}}} + k ^ {2} \ rho ^ {2} = n ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bf7b107f4f3524387ef47d1e2064a57289281fb)
Como φ es periódico, podemos tomar n positivo y, por lo tanto, denotaremos las soluciones Φ ( φ ) con índices. Las soluciones reales para Φ ( φ ) son
Φno=porque(noφ) otu pecado(noφ){\ Displaystyle \ Phi _ {n} = \ cos (n \ varphi) \ \ mathrm {o} \ \ sin (n \ varphi)}![{\ Displaystyle \ Phi _ {n} = \ cos (n \ varphi) \ \ mathrm {o} \ \ sin (n \ varphi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbb39a5b8cd39792195649271a0f7570c8cb2a53)
o equivalente:
Φno=miInoφ otu mi-Inoφ{\ Displaystyle \ Phi _ {n} = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} n \ varphi} \ \ mathrm {o} \ {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} n \ varphi}}![{\ Displaystyle \ Phi _ {n} = {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} n \ varphi} \ \ mathrm {o} \ {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} n \ varphi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89030b8bd4638d9dbb697326f191b8399ec9db9b)
Queda el término P ( ρ ) , que sigue la ecuación de Bessel .
- si k es cero pero no n , las soluciones son:
PAGno(0,ρ)=ρno otu ρ-no{\ Displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (0, \ rho) = \ rho ^ {n} \ \ mathrm {o} \ \ rho ^ {- n} \,}
![{\ Displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (0, \ rho) = \ rho ^ {n} \ \ mathrm {o} \ \ rho ^ {- n} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6442cee54ba667ebbd6734a55a4b70d70a7f56ef)
- si k y n son ambos no es cero, las soluciones son:
PAG0(0,ρ)=enρ otu 1{\ Displaystyle \ mathrm {P} _ {0} (0, \ rho) = \ ln \ rho \ \ mathrm {o} \ 1 \,}
![{\ Displaystyle \ mathrm {P} _ {0} (0, \ rho) = \ ln \ rho \ \ mathrm {o} \ 1 \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5676a01dbb4576caa394d3944727b8a28450bd)
- si k es un número real, podemos escribir una solución real en la forma:
PAGno(k,ρ)=Jno(kρ) otu Yno(kρ){\ Displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = J_ {n} (k \ rho) \ \ mathrm {o} \ Y_ {n} (k \ rho) \,}
![{\ Displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = J_ {n} (k \ rho) \ \ mathrm {o} \ Y_ {n} (k \ rho) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54db49118bb7e697728970c40d44b0eb51cea2a6)
con J n ( z ) e Y n ( z ) , funciones de Bessel ordinarias.
- si k es un número imaginario, podemos escribir una solución real en la forma:
PAGno(k,ρ)=Ino(|k|ρ) otu Kno(|k|ρ){\ Displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = I_ {n} (| k | \ rho) \ \ mathrm {o} \ K_ {n} (| k | \ rho) \, }
![{\ Displaystyle \ mathrm {P} _ {n} (k, \ rho) = I_ {n} (| k | \ rho) \ \ mathrm {o} \ K_ {n} (| k | \ rho) \, }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0279c579130224e91ab2ecbb5fd54926d24b104)
con
I n ( z ) y
K n ( z ) , funciones de Bessel modificadas.
Los armónicos cilíndricos para ( k , n ) son, por lo tanto, el producto de estas soluciones y la solución general de la ecuación de Laplace es una combinación lineal de ellas:
V(ρ,φ,z)=∑no∫DkAno(k)PAGno(k,ρ)Φno(φ)Z(k,z){\ Displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n} \ int \ mathrm {d} k \, \, A_ {n} (k) \ mathrm {P} _ {n} (k , \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}![{\ Displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n} \ int \ mathrm {d} k \, \, A_ {n} (k) \ mathrm {P} _ {n} (k , \ rho) \ Phi _ {n} (\ varphi) Z (k, z) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac45c1538a9077bb53d3c02a1ae1832a9004072)
donde las A n ( k ) son constantes que dependen de la forma cilíndrica y de los límites de la suma y la integral, dados por las condiciones de contorno del problema. Ciertos casos de condiciones de contorno permiten reemplazar la integral por una suma discreta. La ortogonalidad de J n ( x ) suele ser útil para encontrar la solución en un caso específico. Las funciones Φ n ( φ ) Z ( k , z ) son esencialmente expansiones de Fourier o Laplace y forman un conjunto de funciones ortogonales. Para el caso P n ( kρ ) = J n ( kρ ) , la ortogonalidad de J n , con las relaciones de ortogonalidad de Φ n ( φ ) y Z ( k , z ) permiten determinar las constantes.
Al observar { x k } los ceros positivos de J n , tenemos:
∫01Jno(Xkρ)Jno(Xk′ρ)ρDρ=12Jno+1(Xk)2δkk′{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} J_ {n} (x_ {k} \ rho) J_ {n} (x_ {k} '\ rho) \ rho \, \ mathrm {d} \ rho = {\ frac {1} {2}} J_ {n + 1} (x_ {k}) ^ {2} \ delta _ {kk '}}![{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} J_ {n} (x_ {k} \ rho) J_ {n} (x_ {k} '\ rho) \ rho \, \ mathrm {d} \ rho = {\ frac {1} {2}} J_ {n + 1} (x_ {k}) ^ {2} \ delta _ {kk '}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa2eb9c188f5489ff969271d27555fa7435ffbc2)
En la resolución de problemas, el espacio se puede dividir en un número finito de subespacios, siempre que los valores del potencial y su derivada coincidan a lo largo de un límite sin una fuente.
Ejemplo: punto de origen en un tubo cilíndrico conductor
Buscamos determinar el potencial de una fuente puntual ubicada en ( ρ 0 , φ 0 , z 0 ) en un tubo cilíndrico conductor (como una lata vacía) delimitado por los dos planos z = ± L y en los bordes por el cilindro ρ = a . (En unidades MKS, asumiremos q / 4π ε 0 = 1 ). Como el potencial está limitado por los planos del eje z , se puede suponer que la función Z ( k , z ) es periódica. El potencial debe ser cero en el origen, tomamos P n ( kρ ) = J n ( kρ ) , de manera que uno de sus ceros está en el cilindro límite. Para un punto de medición debajo del punto de origen en el eje z , el potencial será:
V(ρ,φ,z)=∑no=0∞∑r=0∞AnorJno(knorρ)porque(no(φ-φ0))pecado(knor(L+z))z≤z0{\ Displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) \ sinh (k_ {nr} (L + z)) \, \, \, \, \, z \ leq z_ {0}}![{\ Displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) \ sinh (k_ {nr} (L + z)) \, \, \, \, \, z \ leq z_ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bcac615b58005b89df1936d9b680bf0a269ac4b)
con k nr a , el r e cero de J n ( z ) y, por las relaciones de ortogonalidad para cada función:
Anor=4(2-δno0)a2pecadoknor(L-z0)pecado2knorLJno(knorρ0)knor[Jno+1(knora)]2{\ Displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L-z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}} \,}![{\ Displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L-z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b4eb5e3569947e4b1f824713a44baee89017cf6)
Sobre el punto de origen, tendremos:
V(ρ,φ,z)=∑no=0∞∑r=0∞AnorJno(knorρ)porque(no(φ-φ0))pecado(knor(L-z))z≥z0{\ Displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) \ sinh (k_ {nr} (Lz)) \, \, \, \, \, z \ geq z_ {0}}
Anor=4(2-δno0)a2pecadoknor(L+z0)pecado2knorLJno(knorρ0)knor[Jno+1(knora)]2.{\ Displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L + z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}}. \,}![{\ Displaystyle A_ {nr} = {\ frac {4 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {\ sinh k_ {nr} (L + z_ {0})} {\ sinh 2k_ {nr} L}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}}. \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ba17c88a547a517467acec9b9a0ea8eb6078143)
Encontramos que para ρ = a o | z | = L , la función se cancela. También podemos comprobar que los valores de las dos soluciones y sus derivadas coinciden para z = z 0 .
Punto de origen en un tubo cilíndrico conductor infinito
Eliminamos las condiciones de contorno en z ( L → ). La solución entonces se convierte en:
V(ρ,φ,z)=∑no=0∞∑r=0∞AnorJno(knorρ)porque(no(φ-φ0))mi-knor|z-z0|{\ Displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {r = 0} ^ {\ infty} \, A_ {nr} J_ {n} (k_ {nr} \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) {\ rm {e}} ^ {- k_ {nr} | z-z_ {0} |}}
Anor=2(2-δno0)a2Jno(knorρ0)knor[Jno+1(knora)]2.{\ Displaystyle A_ {nr} = {\ frac {2 (2- \ delta _ {n0})} {a ^ {2}}} \, \, {\ frac {J_ {n} (k_ {nr} \ rho _ {0})} {k_ {nr} [J_ {n + 1} (k_ {nr} a)] ^ {2}}}. \,}
Punto de origen en el espacio libre
También eliminamos las condiciones de contorno en ρ ( a → ∞ ). La suma sobre los ceros de J n ( z ) se convierte en una integral, y luego viene el campo de un punto fuente en un espacio libre infinito:
V(ρ,φ,z)=1R=∑no=0∞∫0∞Ano(k)Jno(kρ)porque(no(φ-φ0))mi-k|z-z0|Dk{\ Displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = {\ frac {1} {R}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {\ infty} A_ {n} (k) J_ {n} (k \ rho) \ cos (n (\ varphi - \ varphi _ {0})) {\ rm {e}} ^ {- k | z-z_ {0} | } \, \ mathrm {d} k}
Ano(k)=(2-δno0)Jno(kρ0){\ Displaystyle A_ {n} (k) = (2- \ delta _ {n0}) J_ {n} (k \ rho _ {0}) \,}![{\ Displaystyle A_ {n} (k) = (2- \ delta _ {n0}) J_ {n} (k \ rho _ {0}) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e8876e18f7f7ed8c16a994c81c4d15ddb383639)
y R es la distancia desde el punto de origen al punto de medición:
R=(z-z0)2+ρ2+ρ02-2ρρ0porque(φ-φ0).{\ Displaystyle R = {\ sqrt {(z-z_ {0}) ^ {2} + \ rho ^ {2} + \ rho _ {0} ^ {2} -2 \ rho \ rho _ {0} \ cos (\ varphi - \ varphi _ {0})}}. \,}
Punto de origen en el espacio libre en el origen
Finalmente, fijamos ρ 0 = z 0 = 0 . El viene entonces
V(ρ,φ,z)=1ρ2+z2=∫0∞J0(kρ)mi-k|z|Dk.{\ Displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty } J_ {0} (k \ rho) {\ rm {e}} ^ {- k | z |} \, \ mathrm {d} k.}![{\ Displaystyle V (\ rho, \ varphi, z) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ rho ^ {2} + z ^ {2}}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty } J_ {0} (k \ rho) {\ rm {e}} ^ {- k | z |} \, \ mathrm {d} k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0d66700d466001ac039e080196f789b40bcf07)
Ver también
Notas
-
Smythe 1968 , p. 185.
-
Guillopé 2010 .
-
Este caso se estudia en Smythe 1968
Referencias
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