Ecuación de Laplace
En el análisis vectorial , la ecuación de Laplace es una ecuación diferencial parcial elíptica de segundo orden, cuyo nombre es un tributo al físico matemático Pierre-Simon de Laplace .
Introducida a los efectos de la mecánica newtoniana , la ecuación de Laplace aparece en muchas otras ramas de la física teórica: astronomía , electrostática , mecánica de fluidos , propagación de calor , difusión , movimiento browniano , mecánica cuántica .
Las funciones de solución de la ecuación de Laplace se denominan funciones armónicas .
Ecuación de Laplace tridimensional
En coordenadas cartesianas en un espacio euclidiano de dimensión 3, el problema consiste en encontrar todas las funciones con tres variables reales que satisfagan la ecuación diferencial parcial de segundo orden:
ψ(X,y,z){\ Displaystyle \ psi (x, y, z)}
∂2ψ∂X2+∂2ψ∂y2+∂2ψ∂z2=0{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial ^ {2} \ psi} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ psi} {\ parcial y ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ psi} {\ parcial z ^ {2}}} = 0}.
Para simplificar la escritura, introducimos un operador diferencial anotado y llamado operador de Laplace , o simplemente laplaciano , de modo que la ecuación diferencial parcial anterior se escribe de forma compacta:
Δ{\ Displaystyle \ Delta}
Δψ=0{\ Displaystyle \ Delta \ psi = 0}.
En coordenadas esféricas en la convención de radio-colatitud-longitud, la solución general a la ecuación de Laplace es
ψ(r,θ,ϕ)=∑l=0∞∑metro=-ll[Almetrorl+Blmetrorl+1][VSlmetroPAGlmetro(porqueθ)+DlmetroQlmetro(porqueθ)]miImetroϕ{\ Displaystyle \ psi (r, \ theta, \ phi) = \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = -l} ^ {l} \ left [A_ {lm} r ^ {l} + {\ frac {B_ {lm}} {r ^ {l + 1}}} \ right] \ left [C_ {lm} P_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta) + D_ { lm} Q_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta) \ right] e ^ {im \ phi}}
donde y son los polinomios de Legendre asociados del primer y segundo tipo, respectivamente. Dado que los del segundo tipo tienen discrepancias, generalmente no se consideran en problemas físicos. Además, es más común combinar los polinomios de Legendre asociados y las fases en forma de armónicos esféricos .
PAGlmetro(porqueθ){\ Displaystyle P_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta)}Qlmetro(porqueθ){\ Displaystyle Q_ {l} ^ {m} (\ cos \ theta)}miImetroϕ{\ Displaystyle e ^ {im \ phi}} Ylmetro(θ,ϕ){\ Displaystyle Y_ {l} ^ {m} (\ theta, \ phi)}
En coordenadas cilíndricas , hay dos posibilidades dependiendo de las condiciones de contorno de la solución deseada. Si la solución debe oscilar entre dos valores de , en particular un cilindro de radio y altura cuyos extremos se ponen a cero, entonces la solución general tendrá la forma
z{\ Displaystyle z}a{\ Displaystyle a}h{\ Displaystyle h}
ψ(r,θ,z)=∑metro=-∞∞∑no=0∞[AmetronoImetro(noπrh)+BmetronoKmetro(noπrh)][VSmetronopecado(noπzh)+Dmetronoporque(noπzh)]miImetroθ{\ Displaystyle \ psi (r, \ theta, z) = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left [A_ {mn} I_ {m} \ left ({\ frac {n \ pi r} {h}} \ right) + B_ {mn} K_ {m} \ left ({\ frac {n \ pi r} {h}} \ right) \ right] \ left [C_ {mn} \ sin \ left ({\ frac {n \ pi z} {h}} \ right) + D_ {mn} \ cos \ left ({\ frac {n \ pi z} {h}} \ right) \ right] e ^ {im \ theta}}
donde y son las funciones de Bessel modificadas del primer y segundo tipo, respectivamente.
Imetro{\ Displaystyle I_ {m}}Kmetro{\ Displaystyle K_ {m}}
Si la solución deseada debe ser cero en la superficie lateral del cilindro, entonces la solución general tendrá la forma
ψ(r,θ,z)=∑no=0∞∑metro=-∞∞[AmetronoJmetro(αmetronora)+BmetronoNOmetro(αmetronora)][VSmetronopecado(αmetronoza)+Dmetronoaporrear(αmetronoza)]miImetroθ{\ Displaystyle \ psi (r, \ theta, z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} \ left [A_ {mn} J_ {m} \ left (\ alpha _ {mn} {\ frac {r} {a}} \ right) + B_ {mn} N_ {m} \ left (\ alpha _ {mn} {\ frac {r} { a}} \ derecha) \ derecha] \ izquierda [C_ {mn} \ sinh \ izquierda (\ alpha _ {mn} {\ frac {z} {a}} \ derecha) + D_ {mn} \ cosh \ izquierda ( \ alpha _ {mn} {\ frac {z} {a}} \ right) \ right] e ^ {im \ theta}}
donde y son las funciones de Bessel y Neumann , respectivamente, y donde es el n- ésimo cero de la m- ésima función de Bessel.
Jmetro{\ Displaystyle J_ {m}}NOmetro{\ Displaystyle N_ {m}}αmetrono{\ Displaystyle \ alpha _ {mn}}
Ecuación de Laplace bidimensional
En coordenadas cartesianas en un espacio euclidiano de dimensión 2, el problema consiste en encontrar todas las funciones con dos variables reales que satisfagan:
V(X,y){\ Displaystyle V (x, y)}
∂2V∂X2+∂2V∂y2=0{\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial ^ {2} V} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} V} {\ parcial y ^ {2}}} = 0 }.
Mostramos que cualquier función holomórfica da soluciones de la ecuación bidimensional de Laplace por su parte real y su parte imaginaria; además, estas soluciones son ortogonales en todos los puntos.
Recordatorios sobre funciones holomórficas
Cualquier función polinómica con coeficientes complejos es holomorphic en ; también lo son las funciones trigonométricas y la función exponencial (las funciones trigonométricas son de hecho relativamente cercanas a la función exponencial ya que se pueden definir a partir de ella usando las fórmulas de Euler ).
VS{\ Displaystyle \ mathbb {C}}
- La función de logaritmo es holomórfica en el conjunto de números complejos privados de la media línea de reales negativos (hablamos de "corte").
- La función raíz cuadrada se puede definir por y, por lo tanto, es holomórfica dondequiera que esté la función logaritmo.z=mi12enz{\ Displaystyle {\ sqrt {z}} = e ^ {{\ frac {1} {2}} \ ln z}}
- Las funciones trigonométricas recíprocas también tienen cortes y son holomórficas en todas partes excepto en los cortes.
- La función inversa es holomórfica .z↦1/z{\ Displaystyle z \ mapsto 1 / z}VS∗{\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}
Resultados de la ecuación de Laplace y funciones holomorfas
Primer teorema
Teorema - Cada función holomorfa es armónica .
Demostración
Para cualquier función en de clase C 2 era, según Schwarz teorema :
F{\ Displaystyle F}VS{\ Displaystyle \ mathbb {C}}
∂2F∂X∂y=∂2F∂y∂X{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial x \ parcial y}} = {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial y \ parcial x}}},
de lo que deducimos:
ΔF=4∂(∂¯F){\ Displaystyle \ Delta F = 4 \ partial ({\ overline {\ partial}} F)},
donde los dos operadores diferenciales y están definidos por:
∂{\ estilo de visualización \ parcial}∂¯{\ Displaystyle {\ overline {\ partial}}}
∂=12(∂∂X-I∂∂y),∂¯=12(∂∂X+I∂∂y){\ estilo de visualización \ parcial = {\ frac {1} {2}} \ izquierda ({\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} - i {\ frac {\ parcial} {\ parcial y}} \ derecha) , \ qquad {\ overline {\ partial}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ parcial x}} + i {\ frac {\ parcial} {\ parcial y}} \ right)}.
Si es holomórfico, satisface aún más la ecuación de Cauchy-Riemann :
F{\ Displaystyle F}
∂¯F=0{\ Displaystyle {\ overline {\ partial}} F = 0},
así que eso:
ΔF=4∂(∂¯F)=4∂0=0{\ Displaystyle \ Delta F = 4 \ Particular ({\ overline {\ Particular}} F) = 4 \ Particular 0 = 0}.
Nota : (caso especial de la descomposición de un vector laplaciano ). Si se escribe la descomposición de una función compleja en parte real y parte imaginaria
F{\ Displaystyle F}
F=V+IΦ{\ Displaystyle F = V + i \ Phi}
luego el de su laplaciano está escrito:
ΔF=ΔV+IΔΦ{\ Displaystyle \ Delta F = \ Delta V + i \ Delta \ Phi},
por tanto, F es armónica si y sólo si V y son. Por tanto, la parte real y la parte imaginaria de una función holomórfica son armónicas.
Φ{\ Displaystyle \ Phi}
Segundo teorema
Teorema - La parte real y la parte imaginaria de nivel de líneas de una función holomorfa son ortogonales.
Demostración
Con las mismas notaciones que antes, también se escriben las ecuaciones de Cauchy-Riemann :
∂V∂X=∂Φ∂yy∂V∂y=-∂Φ∂X{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial V} {\ parcial x}} = {\ frac {\ parcial \ Phi} {\ parcial y}} \ quad {\ text {y}} \ quad {\ frac {\ parcial V} {\ y parcial}} = - {\ frac {\ parcial \ Phi} {\ parcial x}}}
(que se interpreta en términos de transformación conforme ). Inmediatamente deducimos:
∂V∂X⋅∂Φ∂X+∂V∂y⋅∂Φ∂y=0{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial V} {\ parcial x}} \ cdot {\ frac {\ parcial \ Phi} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial V} {\ parcial y}} \ cdot {\ frac {\ parcial \ Phi} {\ parcial y}} = 0}.
Reconocemos allí el producto escalar de los dos vectores:
graduado→(V)⋅graduado→(Φ)=0{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} (V) \ cdot {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} (\ Phi) = 0}.
Deducimos que las curvas con " constante" y " constante" son perpendiculares. En otras palabras, las líneas de campo de son las líneas equipotenciales de (y viceversa).
V(X,y)={\ Displaystyle V (x, y) =}Φ(X,y)={\ Displaystyle \ Phi (x, y) =}V{\ Displaystyle V}Φ{\ Displaystyle \ Phi}
Ecuación de poisson
Mediante la sustitución de la derecha que ningún miembro de una función dada f , obtenemos la ecuación de Poisson : .
Δφ=F{\ Displaystyle \ Delta \ varphi = f}
Notas y referencias
-
Al igual que para cualquier ecuación diferencial parcial, generalmente es necesario especificar las condiciones de contorno para que el problema esté matemáticamente “bien planteado”. Sin embargo, puede ser que el problema esté mal planteado, aunque se hayan solucionado las condiciones (por ejemplo, las condiciones de frontera de Neumann en todo el borde del dominio). Sin embargo, no es necesaria ninguna condición inicial.
-
Walter Rudin , real y análisis complejo [ detalle de las ediciones ].
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