En matemáticas , el grupo unitario especial de E, donde E es un espacio hermitiano , es el grupo de automorfismos unitarios de E con determinante 1, considerándose la ley de composición interna la composición de automorfismos. Se denota SU (E). Es un subgrupo de U (E), el grupo unitario de automorfismos de E.
En general, podemos definir el grupo especial unitario de una forma sesquilineal hermitiana compleja no degenerada, o de una forma sesquilineal hermitiana o anti-ermitaña no degenerada en un espacio vectorial de dimensión finita en ciertos campos (conmutativos o no) relativamente a una involución .
Un caso especial es el grupo unitario especial de grado n que es el grupo de matrices unitarias con coeficientes complejos de dimensiones n × ny determinante 1, y que denotamos por SU (n).
SU ( n ) es un grupo de Lie real simplemente conectado de dimensión n 2 - 1. Para n ≥ 2, es un grupo de Lie simple (en) .
Su álgebra de Lie , denotada su ( n ), es el álgebra de Lie real de matrices complejas antihermitianas (en) n × n con traza cero, el conmutador estándar que sirve como soporte de Lie.
El grupo SU (2) es explícitamente:
.Es difeomorfo a las 3 esferas por la siguiente aplicación:
El difeomorfismo φ transmite la multiplicación de SU (2) a S 3 : esto da la multiplicación de cuaterniones . SU (2) es, por tanto, isomorfo al grupo de cuaterniones unitarios . Dado que los cuaterniones representan rotaciones en un espacio tridimensional, existe un homomorfismo sobreyectivo de los grupos de Lie SU (2) → SO (3) con kernel {+ I, –I}.
Las siguientes matrices forman la base de :
(donde i es "la unidad imaginaria ")
Las matrices (llamadas " matrices de Pauli ") se utilizan a menudo en mecánica cuántica para representar el giro de las partículas .
El grupo especial unitario tiene una importancia particular en la física de partículas . Si el grupo unitario U (1) es el indicador de grupo del electromagnetismo , SU (2) es el grupo asociado con la interacción baja y el espín y el isospín y SU (3) el de ' interacción fuerte ( cuántica QCD ). Es por ejemplo gracias a la estructura de las representaciones de SU (3) que Gell-Mann conjeturó la existencia de quarks .
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