La geometría no conmutativa , desarrollada por Alain Connes , es una rama de las matemáticas , específicamente un tipo de geometría algebraica separada de la geometría algebraica como se entiende generalmente (la desarrollada por Alexander Grothendieck ) como interesada en objetos definidos a partir de estructuras algebraicas no conmutativas. .
La idea principal es que un espacio dentro del significado de la geometría habitual puede describirse mediante el conjunto de funciones digitales definidas en este espacio. Este conjunto de funciones forma un álgebra asociativa sobre un campo , que también es conmutativa: el producto de dos funciones no depende de la elección de un orden. Entonces podemos pensar en ver las álgebras asociativas no conmutativas como "álgebras de funciones" en "espacios no conmutativos", como el toro no conmutativo .
El enfoque moderno de muchas cuestiones geométricas es centrarse en funciones definidas en el espacio que queremos estudiar. Por ejemplo, el estudio de la geometría de las variedades de Riemann implica estudiar las funciones meromórficas definidas en la variedad, con el teorema de Riemann-Roch y sus generalizaciones como herramienta central ; la geometría algebraica en su versión refundida por Grothendieck , está enteramente dedicada al estudio de funciones generalizadas (los patrones ). Estos conjuntos de funciones forman, por suma y multiplicación, anillos conmutativos , que en muchos casos caracterizan el espacio correspondiente; podemos decir así que estos espacios tienen, en cierto sentido, una topología conmutativa.
El “sueño” de una geometría no conmutativa es asociar igualmente con anillos no conmutativos “espacios” que podrían interpretarse como el soporte de los elementos del anillo, considerados como “funciones”. Las generalizaciones correspondientes, que son muy no triviales, se denominan espacios no conmutativos , provistos de topologías no conmutativas .
Desde un punto de vista técnico, parte de la teoría desarrollada por Alain Connes tiene sus raíces en enfoques más antiguos, en particular de la teoría ergódica . Hacia 1970, George Mackey había creado así una teoría de subgrupos virtuales , que serían espacios homogéneos (en un sentido extendido) para acciones ergódicas de grupo ; esta teoría se interpreta ahora como un caso especial de geometría no conmutativa.
En 1997, Alain Connes descubrió aplicaciones de la geometría no conmutativa a la teoría M , lo que llevó a los físicos a interesarse por ella; resultaron varias e inesperadas aplicaciones, en particular en la teoría cuántica de campos .
La representación de Gelfand (in) se asocia con un conmutativa C * -algebra (por dualidad ) un localmente compacto espacio separado ; incluso en el caso no conmutativo, podemos asociar con un C * -álgebra S un espacio topológico Ŝ llamado espectro ; A menudo decimos entonces que Ŝ es un espacio no conmutativo .
También existe una dualidad entre los espacios σ-finitos medidos y las álgebras conmutativas de Von Neumann , igualmente asociamos con las álgebras de Von Neumann no conmutativas los objetos llamados por esta razón espacios medidos no conmutativos .
Una variedad Riemanniana M es un espacio topológico provisto de estructuras adicionales; el álgebra C ( M ) de funciones continuas sobre M solo permite reconstruir la topología. Alain Connes introdujo un invariante algebraico que permite reconstituir la estructura riemanniana bajo el nombre de triplete espectral (en) , inspirándose en el teorema del índice de Atiyah-Singer . Se construye a partir de un conjunto de vectores suaves E por encima de M , el conjunto del álgebra exterior . El espacio de Hilbert L 2 ( M , E ) de las secciones de E del cuadrado integrable representa C ( M) (por los operadores de multiplicación); podemos definir un operador ilimitado D en L 2 ( M , E ) de un conjunto de resolución compacto tal que los interruptores [ D , f ] estén acotados cuando f es diferenciable. En 2008, Alain Connes demostró que M , como variedad riemanniana, se caracteriza por este triplete.
Esto lleva a definir una variedad de Riemann no conmutativa como un triplete ( A , H , D ) formado por una representación de un C * -álgebra A (no conmutativa) en un espacio de Hilbert H , y de un operador ilimitado D en H , resolver juntos, como [ D , a ] está acotado para todos tiene alguna subálgebra densa de a . La investigación sobre este tema es muy activa y se han construido muchos ejemplos de variedades riemannianas no conmutativas.
La dualidad entre esquemas afines y anillos conmutativos lleva a definir por analogía una categoría de esquemas afines no conmutativos como el dual de la categoría de anillos unitarios . En este contexto, ciertas generalizaciones de la topología de Zariski permiten asociar estos diagramas afines con objetos más generales.
La construcción de Proj (en) sobre un anillo conmutativo graduado también puede extenderse al caso no conmutativo, siguiendo las líneas de un teorema de Serre sobre la categoría de poleas coherentes . Esta extensión es tomada como una definición de geometría proyectiva no conmutativa por Michael Artin y JJ Zhang.
Una de las cuestiones que motivan la teoría es la posibilidad de extender invariantes topológicos clásicos, como la homología , al caso no conmutativo, y más precisamente definirlos por dualidad a partir de álgebras de operadores no conmutativos.
Uno de los puntos de partida de Alain Connes en esta dirección es su descubrimiento de una nueva teoría cohomológica, la cohomología cíclica , así como su relación con la teoría K algebraica (a través de los personajes de Connes - Chern).
La teoría de clases características de variedades diferenciables puede extenderse a triples espectrales utilizando las herramientas de la cohomología cíclica; así, la clase característica fundamental en esta extensión, el ciclo JLO (en) , generaliza el carácter de Chern . Varias generalizaciones del teorema del índice permiten la extracción efectiva de invariantes numéricos de triples.