Una clase característica es un objeto matemático definido y estudiado en particular en topología algebraica y en teoría K , con el fin de diferenciar paquetes de vectores . Estas clases se entienden hoy como invariantes cohomológicas .
La noción de clase característica responde a un intento de clasificación. Más precisamente, si es un paquete de vectores , una clase característica de es una clase en la cohomología de la base que satisface la siguiente condición, llamada compatibilidad: para cualquier mapa continuo , tenemos
donde es el paquete del vector inducido en por .
La teoría de clases característica tiene sus raíces en la " teoría de la obstrucción ". En 1935 Eduard Stiefel defendió su tesis doctoral, realizada bajo la dirección de Heinz Hopf , donde estudió las clases de homología “característica” determinadas por el haz tangente de una variedad suave . Independientemente, Hassler Whitney estudia los haces de esferas y desarrolla el lenguaje de la cohomología , en el que expresa la noción de clase de cohomología característica, que luego se llamará la clase Stiefel-Whitney .
En 1942, Lev Pontryagin estudió la homología de las variedades Grassmannianas mediante descomposiciones celulares, lo que le llevó a proponer una nueva noción de clase característica, hoy denominada clase Pontryagin .
En 1946, Shiing-Shen Chern dio una definición de clases para paquetes de vectores complejos, mostrando en particular que las variedades de Grassmann complejas tienen una estructura cohomológica más simple que las de las variedades reales, y dio lugar a la teoría de clases de Chern .
En 1952, René Thom introdujo la noción de clase de Euler para un paquete vectorial orientado real, que generaliza la característica de Euler , en el sentido de que la clase de Euler del paquete tangente de una variedad es su característica de Euler.
(en) John Willard Milnor y James Stasheff , clases de características , Princeton University Press , coll. "Annals of Mathematics Studies" ( n o 76)1974
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