Variedad simpléctica
En matemáticas , una variedad simpléctica es una variedad diferencial equipada con una forma diferencial de grado 2 cerrada y no degenerada , llamada forma simpléctica . El estudio de las variedades simplécticas se inscribe en la geometría simpléctica . Las variedades simplécticas aparecen en las reformulaciones analíticas abstractas de la mecánica clásica utilizando la noción de haz cotangente de una variedad, especialmente en la reformulación hamiltoniana , donde las configuraciones de un sistema forman una variedad cuyo paquete cotangente describe el espacio de fase del sistema.
Cualquier función de valor real en una variedad simpléctica define un campo de vectores hamiltonianos , cuyas curvas integrales son soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi . El campo vectorial hamiltoniano describe un difeomorfismo hamiltoniano en la variedad simpléctica. Según el teorema de Liouville , este flujo hamiltoniano conserva la forma de volumen .
Histórico
La noción de variedad simpléctica , y por tanto de geometría simpléctica , volvería a Jean-Marie Souriau en 1953. Según Souriau, la forma simpléctica se llamaría históricamente la forma de Lagrange , o incluso los ganchos de Lagrange . Más precisamente, el corchete de Poisson de dos funciones definidas en el espacio de fase se puede escribir como dónde está el tensor de Poisson contravariante . Su tensor inverso es el tensor covariante de Lagrange , que corresponde a los componentes del gancho de Lagrange (es decir, a los componentes de la forma simpléctica).
{F1,F2}=∑I,jσIj(∂IF1)(∂jF2){\ Displaystyle \ {f_ {1}, f_ {2} \} = \ sum _ {i, j} \ sigma ^ {ij} (\ parcial _ {i} f_ {1}) (\ parcial _ {j} f_ {2})}
σIj{\ Displaystyle \ sigma ^ {ij}}![{\ Displaystyle \ sigma ^ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18cf4efdcc4d1cfd4c8d62914ece1a1bbc765605)
Definición
Sea , una variedad diferencial de dimensión finita. Una forma simpléctica en es una forma diferencial de 2 que es cerrada (es decir ) y no degenerada (es decir, si no es cero, entonces no es cero). Una variedad simpléctica es una variedad diferencial dotada de una forma simpléctica .
METRO{\ Displaystyle M}
METRO{\ Displaystyle M}
ω∈Ω2(METRO){\ Displaystyle \ omega \ in \ Omega ^ {2} (M)}
Dω=0{\ Displaystyle \ mathrm {d} \ omega = 0}
v∈TMETRO{\ Displaystyle v \ in TM}
ω(v,⋅){\ Displaystyle \ omega (v, \ cdot)}
(METRO,ω){\ Displaystyle (M, \ omega)}
METRO{\ Displaystyle M}
ω{\ Displaystyle \ omega}![\omega](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8)
Proposición: Cualquier variedad simpléctica tiene una dimensión uniforme real.
Demostración
Cada fibra tangente es un espacio vectorial simpléctico . Pero cualquier espacio vectorial simpléctico tiene una dimensión uniforme .TXMETRO{\ Displaystyle T_ {x} M}
(TXMETRO,ωX){\ Displaystyle (T_ {x} M, \ omega _ {x})}
◻{\ Displaystyle \ cuadrado}
Fibra a fibra, la forma simpléctica de una variedad simpléctica induce una aplicación lineal plana :
ω{\ Displaystyle \ omega}
(METRO,ω){\ Displaystyle (M, \ omega)}![(M, \ omega)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d343da33a65bc6b0682b8da9ba31e5af966ce9eb)
♭:TXMETRO→TX∗METRO;v↦v♭: =ωX(v,⋅){\ Displaystyle \ flat: T_ {x} M \ to T_ {x} ^ {*} M; v \ mapsto v ^ {\ flat}: = \ omega _ {x} (v, \ cdot)}![{\ Displaystyle \ flat: T_ {x} M \ to T_ {x} ^ {*} M; v \ mapsto v ^ {\ flat}: = \ omega _ {x} (v, \ cdot)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1836d7b6c31de32ee4e60bfb2db62a2b434b4e7c)
La propiedad de no degeneración de formas simplécticas equivale a que este último mapa lineal sea inyectivo. En dimensión finita, dado que las fibras de la tangente tienen la misma dimensión que las de la cotangente , el mapa plano no solo es inyectivo sino sobreyectivo, lo que lo convierte en un isomorfismo musical (in) simpléctico cuyo reverso es el isomorfismo musical agudo simpléctico.
TMETRO{\ displaystyle TM}
T∗METRO{\ Displaystyle T ^ {*} M}
♯:TX∗METRO→TXMETRO;α↦α♯{\ Displaystyle \ sharp: T_ {x} ^ {*} M \ to T_ {x} M; \ alpha \ mapsto \ alpha ^ {\ sharp}}![{\ Displaystyle \ sharp: T_ {x} ^ {*} M \ to T_ {x} M; \ alpha \ mapsto \ alpha ^ {\ sharp}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/849727af207abaa39d5119fa5dfff04e0c195b18)
Nota: también es posible definir la noción de variedad simpléctica de dimensión infinita (por ejemplo, los espacios de conexión en una superficie lisa cerrada orientada). Sin embargo, debemos distinguir las formas simplécticas débiles (es decir, aquellas donde es inyectivo) de las fuertes (es decir, aquellas donde hay un isomorfismo).
♭{\ Displaystyle \ flat}
♭{\ Displaystyle \ flat}![\ Departamento](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a36cd97c6cdf0ae5b1810aa7a8769a71701c900)
Teorema de darboux
Así como hay un espacio vectorial simpléctico estándar , existe una variedad simpléctica estándar , también denotada . Dejemos la base canónica de . Corresponde a una base dual canónica definida por las relaciones
(R2no,ω){\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {2n}, \ omega)}
(R2no,ω){\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {2n}, \ omega)}
{miI,FI}I=1,...,no{\ Displaystyle \ {e_ {i}, f_ {i} \} _ {i = 1, ..., n}}
R2no{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}
{miI∗,FI∗}I=1,...,no{\ Displaystyle \ {e_ {i} ^ {*}, f_ {i} ^ {*} \} _ {i = 1, ..., n}}![{\ Displaystyle \ {e_ {i} ^ {*}, f_ {i} ^ {*} \} _ {i = 1, ..., n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1157ed2e8bd85e01f9fac922df8f0894c4468f1f)
miI∗(mij)=δI,jmiI∗(Fj)=0FI∗(mij)=0FI∗(Fj)=δI,j{\ Displaystyle e_ {i} ^ {*} (e_ {j}) = \ delta _ {i, j} \ quad e_ {i} ^ {*} (f_ {j}) = 0 \ quad f_ {i} ^ {*} (e_ {j}) = 0 \ quad f_ {i} ^ {*} (f_ {j}) = \ delta _ {i, j}}![{\ Displaystyle e_ {i} ^ {*} (e_ {j}) = \ delta _ {i, j} \ quad e_ {i} ^ {*} (f_ {j}) = 0 \ quad f_ {i} ^ {*} (e_ {j}) = 0 \ quad f_ {i} ^ {*} (f_ {j}) = \ delta _ {i, j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a3179be3a7aaf93c6a594141222f7430d13f5b)
Esta base dual canónica induce un sistema de coordenadas igualmente canónico (global) definido en cada uno por:
{XI,yI}I=1,...,no{\ Displaystyle \ {x_ {i}, y_ {i} \} _ {i = 1, ..., n}}
X∈R2no{\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {2n}}![{\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {2n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4678a235b0cbe60a2a73784da11077724f34924e)
XI(X): =miI∗(X){\ Displaystyle x_ {i} (x): = e_ {i} ^ {*} (x)}
yI(X): =FI∗(X){\ Displaystyle y_ {i} (x): = f_ {i} ^ {*} (x)}
La forma simpléctica canónica en se escribe explícita y globalmente como:
ω{\ Displaystyle \ omega}
R2no{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2n}}![\ mathbb {R} ^ {{2n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47460f1a92774729807be11cf62b9178b5771b4a)
ω=∑I=1noDXI∧DyI{\ Displaystyle \ omega = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {d} x_ {i} \ wedge \ mathrm {d} y_ {i}}![{\ Displaystyle \ omega = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {d} x_ {i} \ wedge \ mathrm {d} y_ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44fda78492d859a8d9417f18d159bbd615894cf5)
El teorema de Darboux muestra que cada punto de una variedad simpléctica admite una vecindad abierta con un sistema de coordenadas local como
X∈METRO{\ Displaystyle x \ in M}
(METRO,ω){\ Displaystyle (M, \ omega)}
U{\ Displaystyle U}
{XI,yI}I=1,...,no{\ Displaystyle \ {x_ {i}, y_ {i} \} _ {i = 1, ..., n}}![{\ Displaystyle \ {x_ {i}, y_ {i} \} _ {i = 1, ..., n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8408f18e057bca30eca8f2d3767ef9861e3ec3eb)
ω|U=∑I=1noDXI∧DyI{\ Displaystyle \ omega | _ {U} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {d} x_ {i} \ wedge \ mathrm {d} y_ {i}}![{\ Displaystyle \ omega | _ {U} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {d} x_ {i} \ wedge \ mathrm {d} y_ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/128828f192c6eabd4df5173e798a5fde4ab95f6d)
Se pueden encontrar dos demostraciones diferentes del teorema de Darboux en y en.
El teorema de Darboux implica que, a diferencia de la geometría de Riemann, donde la curvatura de una métrica de Riemann es una invariante local, no hay invariante local en la geometría simpléctica .
gramo{\ Displaystyle g}![gramo](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
Fibras cotangentes
Otro ejemplo típico de variedad simpléctica es el paquete cotangente de una variedad diferenciable. Sea una variedad diferenciable. Deje que su paquete cotangente. Existe una forma 1 diferencial , llamada forma 1 canónica de Liouville , definida en cualquier punto y en cualquier vector por:
Q{\ displaystyle Q}
π:T∗Q→Q{\ Displaystyle \ pi: T ^ {*} Q \ to Q}
λ{\ Displaystyle \ lambda}
T∗Q{\ Displaystyle T ^ {*} Q}
pag∈T∗Q{\ Displaystyle p \ in T ^ {*} Q}
v∈Tpag(T∗Q){\ Displaystyle v \ in T_ {p} (T ^ {*} Q)}![{\ Displaystyle v \ in T_ {p} (T ^ {*} Q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a0f779e42769592c97a3cd97315ace32f6eee3)
λ|pag(v): =pag(π∗v){\ Displaystyle \ lambda | _ {p} (v): = p (\ pi _ {*} v)}![{\ Displaystyle \ lambda | _ {p} (v): = p (\ pi _ {*} v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0643e882e34f93b4e70939a801e1c4464d55007)
El diferencial externo es una forma simpléctica, llamada forma simpléctica canónica , en . En particular, un sistema de coordenadas local en un abierto de induce un sistema de coordenadas local en definido en cualquier punto por:
ω: =Dλ{\ Displaystyle \ omega: = \ mathrm {d} \ lambda}
METRO: =T∗Q{\ Displaystyle M: = T ^ {*} Q}
{XI}I=1,...,no{\ Displaystyle \ {x ^ {i} \} _ {i = 1, ..., n}}
U{\ Displaystyle U}
Q{\ displaystyle Q}
{pagI,qI}I=1,...,no{\ Displaystyle \ {p_ {i}, q ^ {i} \} _ {i = 1, ..., n}}
π-1(U){\ Displaystyle \ pi ^ {- 1} (U)}
pag∈π-1(U){\ Displaystyle p \ in \ pi ^ {- 1} (U)}![{\ Displaystyle p \ in \ pi ^ {- 1} (U)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77d53a266dcff74a0d9496756e58a0c752dda9aa)
pagI(pag): =pag(∂∂XI){\ Displaystyle p_ {i} (p): = p \ izquierda ({\ frac {\ parcial} {\ parcial x ^ {i}}} \ derecha)}
qI(pag): =XI(π(pag)){\ Displaystyle q ^ {i} (p): = x ^ {i} (\ pi (p))}
Entonces es posible demostrar que
ω|π-1(U)=∑I=1noDpagI∧DqI{\ Displaystyle \ omega | _ {\ pi ^ {- 1} (U)} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {d} p_ {i} \ wedge \ mathrm {d} q ^ {I}}![{\ Displaystyle \ omega | _ {\ pi ^ {- 1} (U)} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {d} p_ {i} \ wedge \ mathrm {d} q ^ {I}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/109b9eb7da0d8862849c4b185691b26cfd7d1e62)
Así, localmente, la forma simpléctica canónica en un paquete cotangente se escribe de forma natural en coordenadas Darboux.
Notas: En física, la variedad juega el papel de espacio de configuración y su cotangente el de espacio de fase .
Q{\ displaystyle Q}
METRO=T∗Q{\ Displaystyle M = T ^ {*} Q}![{\ Displaystyle M = T ^ {*} Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0729f32e066ee87595cd943e53d5ea35ca490cd)
Forma de volumen
Arriba se mostró que cualquier variedad simpléctica es de dimensión uniforme . Considerando veces el producto externo de la forma simpléctica 2 , el colector se proporciona entonces con una forma diferencial . A continuación, es posible demostrar, ya sea mediante el uso de la definición de o usando el teorema de Darboux, que esta última forma -differential es un volumen- sur- forma . Al hacerlo, cualquier variedad simpléctica se orienta canónicamente y recibe una medida canónica llamada medida de Liouville .
(METRO,ω){\ Displaystyle (M, \ omega)}
2no{\ Displaystyle 2n}
no{\ Displaystyle n}
ω{\ Displaystyle \ omega}
METRO{\ Displaystyle M}
2no{\ Displaystyle 2n}
ω∧no{\ Displaystyle \ omega ^ {\ wedge n}}
ω{\ Displaystyle \ omega}
2no{\ Displaystyle 2n}
ω∧no{\ Displaystyle \ omega ^ {\ wedge n}}
METRO{\ Displaystyle M}
ω∧no/no!{\ Displaystyle \ omega ^ {\ wedge n} / n!}![{\ Displaystyle \ omega ^ {\ wedge n} / n!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0164aff1f8ad7021f5071287a65564956d7d823)
Nota: se utiliza la medida de Liouville:
Campo vectorial hamiltoniano y flujo hamiltoniano
Sea una variedad simpléctica. Sea una función suave (que llamaremos hamiltoniana ). Con se asocia un campo vectorial hamiltoniano definido implícitamente por:
(METRO,ω){\ Displaystyle (M, \ omega)}
H∈VS∞(METRO;R){\ Displaystyle H \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (M; \ mathbb {R})}
H{\ Displaystyle H}
XH∈X(METRO){\ Displaystyle X_ {H} \ in {\ mathfrak {X}} (M)}![{\ Displaystyle X_ {H} \ in {\ mathfrak {X}} (M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/475d13d221837270cd801a9c4824056d01356f17)
ω(XH,⋅)=-DH{\ Displaystyle \ omega (X_ {H}, \ cdot) = - \ mathrm {d} H}![{\ Displaystyle \ omega (X_ {H}, \ cdot) = - \ mathrm {d} H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2460f7a32c2017ed549d0e46647231bff56f98d6)
o de nuevo, en términos de musicalidad aguda simpléctica, por:
XH: =-(DH)♯{\ Displaystyle X_ {H}: = - \ left (\ mathrm {d} H \ right) ^ {\ sharp}}![{\ Displaystyle X_ {H}: = - \ left (\ mathrm {d} H \ right) ^ {\ sharp}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/109f3714a348daa8ad979f5f0373db37b4e6fd01)
Si es un campo vectorial completo, está asociado con un grupo de difeomorfismos de 1 parámetro , es decir, un homomorfismo de grupos , llamado flujo hamiltoniano de .
XH{\ Displaystyle X_ {H}}
ϕHt{\ Displaystyle \ phi _ {H} ^ {t}}
ϕH:(R,+)→DIFF(METRO){\ Displaystyle \ phi _ {H}: (\ mathbb {R}, +) \ to \ mathrm {Diff} (M)}
H{\ Displaystyle H}![H](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
Notas:
- también es posible definir el campo vectorial hamiltoniano y el flujo hamiltoniano de un hamiltoniano no autónomo (es decir, que depende del tiempo);H∈VS∞(METRO×R){\ Displaystyle H \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (M \ times \ mathbb {R})}
- según el teorema de Liouville , el flujo hamiltoniano conserva la forma de volumen. Pero eso no es todo ! El flujo hamiltoniano conserva no solo la forma volumétrica simpléctica, sino también la forma simpléctica . El flujo hamiltoniano, por tanto, actúa mediante simplectomorfismos .ω∧no{\ Displaystyle \ omega ^ {\ wedge n}}
ω{\ Displaystyle \ omega}
(METRO,ω){\ Displaystyle (M, \ omega)}![(M, \ omega)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d343da33a65bc6b0682b8da9ba31e5af966ce9eb)
- La definición anterior del campo vectorial hamiltoniano nos permite definir el soporte de Poisson de dos observables clásicos como:F,gramo∈VS∞(METRO;R){\ Displaystyle f, g \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (M; \ mathbb {R})}
![{\ Displaystyle f, g \ in {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (M; \ mathbb {R})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa3e5537110a108569d53150af5ed0b80de055cc)
{F,gramo}: =XF(gramo){\ Displaystyle \ {f, g \}: = X_ {f} (g)}![{\ Displaystyle \ {f, g \}: = X_ {f} (g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7127907498c73236c12a8acd0c5edab2316d3c97)
Luego obtenemos una relación entre el corchete de Poisson de dos observables clásicos y la forma simpléctica:
{F,gramo}=ω(XF,Xgramo){\ Displaystyle \ {f, g \} = \ omega (X_ {f}, X_ {g})}![{\ Displaystyle \ {f, g \} = \ omega (X_ {f}, X_ {g})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/646d329108793259f528295be9d4a94e1a8d1fe1)
Esta ecuación es equivalente, hasta el signo, al hecho de que el gancho de Lagrange es el tensor inverso del gancho de Poisson. Usando el cierre de la forma simpléctica, un cálculo directo muestra que el corchete de Poisson satisface la identidad de Jacobi:
0={F,{gramo,h}}+{h,{F,gramo}}+{gramo,{h,F}}{\ Displaystyle 0 = \ {f, \ {g, h \} \} + \ {h, \ {f, g \} \} + \ {g, \ {h, f \} \}}![{\ Displaystyle 0 = \ {f, \ {g, h \} \} + \ {h, \ {f, g \} \} + \ {g, \ {h, f \} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f737c2d60363a519472feaf051512894e665a3b7)
Usando la identidad de Jacobi del corchete de Poisson, obtenemos una relación entre el corchete de Lie de los campos vectoriales hamiltonianos y la forma simpléctica:
X{F,gramo}=[XF,Xgramo]{\ Displaystyle X _ {\ {f, g \}} = [X_ {f}, X_ {g}]}![{\ Displaystyle X _ {\ {f, g \}} = [X_ {f}, X_ {g}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f8dd674abd7328e6089155a12187c65f3d79881)
En otras palabras, el corchete de Poisson del álgebra de Poisson de funciones suaves sobre una variedad simpléctica concuerda con el corchete de Lie de campos vectoriales.
- En las coordenadas locales de Darboux , uno tiene explícitamente:(pagI,qI)I=1,...,no{\ Displaystyle (p_ {i}, q ^ {i}) _ {i = 1, ..., n}}
![{\ Displaystyle (p_ {i}, q ^ {i}) _ {i = 1, ..., n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59701499f4ddda2577a15f251a320da726efafa0)
ω=∑IDpagI∧DqI{\ Displaystyle \ omega = \ sum _ {i} dp_ {i} \ wedge dq ^ {i}}
XF=∑I∂F∂pagI∂∂qI-∂F∂qI∂∂pagI{\ Displaystyle X_ {f} = \ sum _ {i} {\ frac {\ parcial f} {\ parcial p_ {i}}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial q ^ {i}}} - { \ frac {\ parcial f} {\ parcial q_ {i}}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial p ^ {i}}}}
{F,gramo}=∑I∂F∂pagI∂gramo∂qI-∂F∂qI∂gramo∂pagI{\ Displaystyle \ {f, g \} = \ sum _ {i} {\ frac {\ parcial f} {\ parcial p_ {i}}} {\ frac {\ parcial g} {\ parcial q ^ {i} }} - {\ frac {\ parcial f} {\ parcial q_ {i}}} {\ frac {\ parcial g} {\ parcial p ^ {i}}}}
XpagI=∂∂qI{\ Displaystyle X_ {p_ {i}} = {\ frac {\ parcial} {\ parcial q ^ {i}}}}
XqI=-∂∂pagI{\ Displaystyle X_ {q ^ {i}} = - {\ frac {\ parcial} {\ parcial p_ {i}}}}
{pagI,qj}=δIj{\ Displaystyle \ {p_ {i}, q ^ {j} \} = \ delta _ {i} ^ {j}}
Lagrangiano y otras subvariedades
Se dice que una subvariedad diferencial de una variedad simpléctica es:
NO{\ Displaystyle N}
(METRO,ω){\ Displaystyle (M, \ omega)}![(M, \ omega)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d343da33a65bc6b0682b8da9ba31e5af966ce9eb)
Una subvariedad lagrangiana de una variedad simpléctica es siempre la mitad que la de .
NO{\ Displaystyle N}
(METRO,ω){\ Displaystyle (M, \ omega)}
METRO{\ Displaystyle M}![METRO](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
Casos especiales y generalizaciones
Referencias
-
2000, Patrick Iglesias-Zemmour, Colección Simetrías y momentos Ciencia Educación. Hermann. p.15
-
1953, J.-M. Souriau, Geometría simpléctica diferencial, aplicaciones, Coll. En t. CNRS, p.53, CNRS, Estrasburgo.
-
Dicho esto, una forma simpléctica es el componente imaginario de una forma de Kähler. La noción de variedad Kähler data de una nota de Kähler en 1933, ver el prefacio del libro Variétés kählériennes de André Weil, 1958.
-
J.-M. Souriau, 1966, Cuantificación geométrica, Commun. Matemáticas. Phys., 1, págs. 374-398. En la p. 381.
-
J.-L. Lagrange, 1811, Mecánica analítica.
-
J.-M. Souriau, 1966, Cuantificación geométrica, Commun. Matemáticas. Phys., 1, págs. 374-398. En la p. 380.
-
MF Atiyah y R. Bott, Las ecuaciones de Yang-Mills sobre superficies de Riemann, 1982
-
A. Kriegl y PW Michor, El entorno conveniente del análisis global, 1997
-
VI Arnol'd, Métodos matemáticos de la mecánica clásica, 1989
-
D. McDuff y D. Salamon, Introducción a la topología simpléctica, 2017
-
o Huyghensien para amigos cercanos. Ver: P. Iglesias, Symétries et Moments, p. 158-159
-
NMJ Woodhouse, 1991, Cuantificación geométrica. Clarendon Press, segunda edición. p.11
-
NMJ Woodhouse, 1991, Cuantificación geométrica. Clarendon Press, segunda edición. Páginas 9 y 11.
Ver también
enlaces externos
-
(en) McDuff y D. Salamon, Introducción a la topología simpléctica (1998), Oxford Mathematical Monographs , ( ISBN 0-19-850451-9 ) .
-
(en) Abraham y Jarrold E. Marsden, Fundamentos de la mecánica (1978), Benjamin-Cummings, Londres , ( ISBN 0-8053-0102-X )
-
(en) Alan Weinstein, “ Variedades simplécticas y sus subvariedades lagrangianas ”, Adv. Matemáticas. 6 (1971), 329–346
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