Función sub-armónica

En matemáticas , una función subarmónica es una función definida en un dominio del plano complejo y con valores reales que satisfacen ciertas condiciones de armonicidad más débiles que las satisfechas por las funciones armónicas . Es una noción introducida en el análisis armónico para resolver el problema fundamental conocido como problema de Dirichlet  ; Resolver este problema usando funciones sub-armónicas se llama método de Perron  (en) .

Definición

Sea un abierto de . Se dice que una función es subarmónica si satisface las dos propiedades siguientes: Ω{\ Displaystyle \ Omega}VS{\ Displaystyle \ mathbb {C}}tu:Ω→ ]-∞,+∞[{\ Displaystyle u: \ Omega \ rightarrow \] - \ infty, + \ infty [}Ω{\ Displaystyle \ Omega}

• tu{\ Displaystyle u} es continuo.
• tu{\ Displaystyle u}tiene la propiedad de sub-promedio local  : para cualquier punto , podemos encontrar tal que:z0∈Ω{\ Displaystyle z_ {0} \ in \ Omega}r0>0{\ Displaystyle r_ {0}> 0}tu(z0)≤∫02πtu(z0+rmiIt)Dt2π{\ Displaystyle u (z_ {0}) \ leq \ int _ {0} ^ {2 \ pi} u (z_ {0} + re ^ {it}) {\ frac {dt} {2 \ pi}}}por todo .r<r0{\ Displaystyle r <r_ {0}}

A veces, encontramos otra definición que requiere que la función sea semicontinua superiormente . tu{\ Displaystyle u}

Algunas propiedades

Además de la analogía con la igualdad de la media , las funciones subarmónicas verifican un cierto número de propiedades a comparar con las de las funciones armónicas:

• el principio del máximo  : en cualquier parte relativamente compacta en , el máximo de en la adherencia de se alcanza en el borde  ; y si admite un máximo global en , entonces es constante. Por otro lado, no existe un principio mínimo.ω{\ Displaystyle \ omega} Ω{\ Displaystyle \ Omega}tu{\ Displaystyle u}ω{\ Displaystyle \ omega}tu{\ Displaystyle u}Ω{\ Displaystyle \ Omega}
• las funciones sub-armónicas en se caracterizan entre las funciones continuas como aquellas que verifican el principio del máximo en cualquier disco relativamente compacto en .Ω{\ Displaystyle \ Omega}Ω{\ Displaystyle \ Omega}
• Una propiedad interesante en el contexto de los espacios de Hardy es la siguiente: Si es una función convexa creciente y si es una función sub-armónica, entonces es sub-armónica.φ:R→R{\ Displaystyle \ varphi: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}tu{\ Displaystyle u}φ∘tu{\ Displaystyle \ varphi \ circ u}

El teorema central para usar estas funciones en el análisis armónico es decir que si una familia de funciones subarmónicas en un dominio es estable F{\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}Ω{\ Displaystyle \ Omega}

• por máximo (si , entonces ) ytu,v∈F{\ Displaystyle u, v \ in {\ mathcal {F}}}max(tu,v)∈F{\ Displaystyle \ max (u, v) \ in {\ mathcal {F}}}
• por Poisson modificado (si y si es un disco relativamente compacto en , centro , Poisson modificado en que es la función que comprueba en y  : está todavía en )tu∈F{\ Displaystyle u \ in {\ mathcal {F}}}Δ{\ Displaystyle \ Delta}Ω{\ Displaystyle \ Omega}a{\ Displaystyle a}tu{\ Displaystyle u}Δ{\ Displaystyle \ Delta}tu~{\ Displaystyle {\ tilde {u}}}tu~=tu{\ Displaystyle {\ tilde {u}} = u}Ω-Δ{\ Displaystyle \ Omega - \ Delta}Δ{\ Displaystyle \ Delta}tu~(a+z)=Rmi(12π∫02πmiIt+zmiIt-ztu(a+miIt)Dt){\ Displaystyle {\ tilde {u}} (a + z) = \ mathrm {Re} \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {e ^ {it} + z} {e ^ {it} -z}} u (a + e ^ {it}) \ mathrm {d} t \ right)}F{\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}

entonces el límite superior de los elementos de es constantemente igual a , o una función armónica en . F{\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}+∞{\ Displaystyle + \ infty}Ω{\ Displaystyle \ Omega}

Para demostrar el principio de Dirichlet , entonces nos colocamos en un dominio cuyo borde es regular, provisto de una función continua en su borde, y tomamos la familia de funciones subarmónicas aumentadas por en el borde de  : el terminal superior de esta familia es entonces una solución. Ω{\ Displaystyle \ Omega}ϕ{\ Displaystyle \ phi}F{\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}Ω{\ Displaystyle \ Omega}ϕ{\ Displaystyle \ phi}Ω{\ Displaystyle \ Omega}