Problema de Dirichlet
En matemáticas , el problema de Dirichlet es encontrar una función armónica definida en un abierto de extender una función continua definida en el límite del abierto . Este problema lleva el nombre del matemático alemán Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet .
Ω{\ Displaystyle \ Omega \,}
Rno{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
Ω{\ Displaystyle \ Omega \,}![{\ Displaystyle \ Omega \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/771ad27abf999ca4ae152aeb523d93eca2447b7e)
Planteamiento del problema
Problema de Dirichlet : sea un abierto de y su límite.
Ω{\ Displaystyle \ Omega \,}
Rno{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
∂Ω{\ Displaystyle \ parcial \ Omega}![{\ Displaystyle \ parcial \ Omega}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16feddaad462c2a1c9efdaeee062a0484a023fde)
O continúe.
GRAMO:∂Ω→R{\ Displaystyle G: \ parcial \ Omega \ a \ mathbb {R}}![{\ Displaystyle G: \ parcial \ Omega \ a \ mathbb {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f087c80a631ec6276222223e9efcb3e79f3298a)
¿Podemos encontrar tal que:
Φ:Ω→R{\ Displaystyle \ Phi: \ Omega \ to \ mathbb {R}}![{\ Displaystyle \ Phi: \ Omega \ to \ mathbb {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dbcdf00ecc3b3706cd8fc68d5096f39fdc1c7f2)
-
Φ{\ Displaystyle \ Phi \,}
de clase y ( verifica la ecuación de Laplace );VS2{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {2}}
ΔΦ=∂2Φ∂X12+∂2Φ∂X22+...+∂2Φ∂Xno2=0{\ Displaystyle \ Delta \ Phi = {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Phi} {\ parcial x_ {1} ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Phi} {\ parcial x_ {2} ^ {2}}} + ... + {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Phi} {\ parcial x_ {n} ^ {2}}} = 0}
Φ{\ Displaystyle \ Phi \,}![\ Phi \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9633e8fc90fb5a458060f1593e5aebf9045de53)
-
Φ{\ Displaystyle \ Phi \,}
continuar ;Ω¯{\ displaystyle {\ bar {\ Omega}}}![{\ displaystyle {\ bar {\ Omega}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1fb284b1128d8a0d5c5d4d0b8e36e9bd1c56a58)
-
Φ=GRAMO{\ Displaystyle \ Phi = G \,}
en ?∂Ω{\ Displaystyle \ parcial \ Omega}![{\ Displaystyle \ parcial \ Omega}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16feddaad462c2a1c9efdaeee062a0484a023fde)
No siempre hay una solución al problema de Dirichlet.
Soluciones al problema
Ejemplo: solución en un disco en R2{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}
En esta parte ,, donde está el disco con centro 0 y radio 1. Hay entonces una solución al problema de Dirichlet, que se define a continuación.
Ω=D(0,1){\ Displaystyle \ Omega = D (0,1)}
D(0,1){\ Displaystyle D (0,1)}![{\ Displaystyle D (0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e278b4ff5c32f3cce4a2ea680f269a5398a7d49)
Siempre seguimos adelante .
GRAMO:∂Ω→R{\ Displaystyle G: \ parcial \ Omega \ a \ mathbb {R}}
∂Ω{\ Displaystyle \ parcial \ Omega}![{\ Displaystyle \ parcial \ Omega}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16feddaad462c2a1c9efdaeee062a0484a023fde)
Nos preguntamos: .
gramo:R→Rθ↦GRAMO(porqueθ,pecadoθ){\ Displaystyle g: {\ begin {matrix} \ mathbb {R} & \ to & \ mathbb {R} \\\ theta & \ mapsto & G (\ cos \ theta, \ sin \ theta) \ end {matrix} }}![{\ Displaystyle g: {\ begin {matrix} \ mathbb {R} & \ to & \ mathbb {R} \\\ theta & \ mapsto & G (\ cos \ theta, \ sin \ theta) \ end {matrix} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a2ebcb33062a14c68bccb13fcf84924ae70f7)
La solución se define como:
Φ:Ω→R{\ Displaystyle \ Phi: \ Omega \ to \ mathbb {R}}![{\ Displaystyle \ Phi: \ Omega \ to \ mathbb {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dbcdf00ecc3b3706cd8fc68d5096f39fdc1c7f2)
Φ(rporqueθ,rpecadoθ)={∑no∈ZVSno(gramo)r|no|minoIθ,Si r<1gramo(θ),Si r=1{\ Displaystyle \ Phi (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta) = \ left \ {{\ begin {matrix} \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} C_ {n} (g) r ^ {\ left | n \ right |} e ^ {ni \ theta}, & {\ mbox {si}} r <1 \\ g (\ theta), & {\ mbox {si}} r = 1 \ end {matriz}} \ derecha.}
donde es el coeficiente de la serie de Fourier de la función g .
VSno(gramo){\ Displaystyle C_ {n} (g) \,}![{\ Displaystyle C_ {n} (g) \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1dbb0007240c7ddfe52cad60174626a8040ae2)
VSno(gramo)=12π∫02πgramo(θ)mi-InoθDθ{\ Displaystyle C_ {n} (g) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} g (\ theta) e ^ {- en \ theta} d \ theta}
Prueba :
La continuidad de la función, así como el hecho de que sea real, se deriva de los resultados de las sumas de Poisson , vinculadas a la serie de Fourier .
Φ{\ Displaystyle \ Phi \,}
satisface la ecuación de Laplace porque la convierte en la parte real de una función analítica . Observamos de hecho que se expresa como la suma de dos funciones analíticas y que es real. Sin embargo, la parte real de una función analítica siempre satisface la ecuación de Laplace.
Φ{\ Displaystyle \ Phi \,}![{\ Displaystyle \ Phi \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9633e8fc90fb5a458060f1593e5aebf9045de53)
Singularidad de la solución para acotadoΩ{\ Displaystyle \ Omega}
Cuando el problema admite solución y es acotado, éste es único.Ω{\ Displaystyle \ Omega}![\Omega](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b0d5ca6f381068d756f6337c08e0af9d1eeb6f)
Prueba :
Deje y estar dos funciones definidas de de tal manera que y respuesta problema de Dirichlet.
Φ{\ Displaystyle \ Phi \,}
Ψ{\ Displaystyle \ Psi \,}
Ω{\ Displaystyle \ Omega \,}
R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}
Φ{\ Displaystyle \ Phi \,}
Ψ{\ Displaystyle \ Psi \,}![{\ Displaystyle \ Psi \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bb35f42ebab064f83f8a9dda692b3172f2ef437)
Nosotros posamos ω=Φ-Ψ{\ Displaystyle \ omega = \ Phi - \ Psi \,}
Calculemos dónde está un elemento infinitesimal de∫Ω∑I=1no(∂ω∂XI)2DA{\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ izquierda ({\ frac {\ parcial \ omega} {\ parcial x_ {i}}} \ derecha) ^ {2} dA \ quad}
DA{\ Displaystyle dA \,}
Rno{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
Obtenemos : ∫Ω[∑I=1no∂(ω∂ω∂XI)∂XI-ω∇2ω]DA{\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} \ izquierda [\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial \ izquierda (\ omega {\ frac {\ parcial \ omega} {\ parcial x_ { i}}} \ right)} {\ partial x_ {i}}} - \ omega \ nabla ^ {2} \ omega \ right] dA}
Oro ∇2ω=∇2Φ-∇2Ψ=0{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ omega = \ nabla ^ {2} \ Phi - \ nabla ^ {2} \ Psi = 0 \,}
Ahora aplicamos el teorema de la divergencia y obtenemos:
∫Ω∑I=1no(∂ω∂XI)2DA=∫∂Ωω[(∑I=1no∂ω∂XIsI)]DS{\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ izquierda ({\ frac {\ parcial \ omega} {\ parcial x_ {i}}} \ derecha) ^ {2} dA = \ int _ {\ parcial \ Omega} \ omega \ izquierda [\ izquierda (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial \ omega} {\ parcial x_ {i}}} s_ {i} \ derecha) \ derecha] dS \ quad}
donde es el vector normal en la superficie y un elemento infinitesimal des→=(s1,s2,...,sno){\ Displaystyle {\ vec {s}} = (s_ {1}, s_ {2}, ..., s_ {n})}
∂Ω{\ Displaystyle \ parcial \ Omega}
DS{\ Displaystyle dS \,}
∂Ω{\ Displaystyle \ parcial \ Omega}
∫Ω∑I=1no(∂ω∂XI)2DA=0{\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ izquierda ({\ frac {\ parcial \ omega} {\ parcial x_ {i}}} \ derecha) ^ {2} dA = 0 \ quad}
porque enω=0{\ Displaystyle \ omega = 0 \,}
∂Ω{\ Displaystyle \ parcial \ Omega}
Conclusión:
∑I=1no(∂ω∂XI)2=0{\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ izquierda ({\ frac {\ parcial \ omega} {\ parcial x_ {i}}} \ derecha) ^ {2} = 0}
y por lo tanto , es constante, y por continuidad en porque en∀I=1,...,no∂ω∂XI=0{\ Displaystyle \ forall i = 1, ..., n \ quad {\ frac {\ parcial \ omega} {\ parcial x_ {i}}} = 0}
ω{\ Displaystyle \ omega \,}
ω=0{\ Displaystyle \ omega = 0 \ quad \,}
Ω{\ Displaystyle \ Omega \,}
ω=0{\ Displaystyle \ omega = 0 \,}
∂Ω{\ Displaystyle \ parcial \ Omega}
En el caso de los ilimitados, puede haber patologías: típicamente, si consideramos el plano privado del disco unitario. Las funciones y coinciden en el límite del dominio y son armónicas.
Ω{\ Displaystyle \ Omega}
R2{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}
X{\ Displaystyle x}
XX2+y2{\ Displaystyle {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}}}![{\ Displaystyle {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32ad0a85c3ca7dff6cf42f2a6c8e9862b67a0d1c)
Forma de la solución general
Tenemos la siguiente equivalencia:
Φ solución al problemami''yo de dirichlet⇔{∀Ψ continuo y clase VSno sobre Ω a'' valor en R, extendiendo G∫Ω∑I=1no(∂Ψ∂XI)2DA>∫Ω∑I=1no(∂Φ∂XI)2DA{\ displaystyle \ Phi {\ mbox {solución al problema}} {\ grave {\ mbox {e}}} {\ mbox {yo de Dirichlet}} \ Leftrightarrow \ left \ {{\ begin {matrix} \ forall \ Psi {\ mbox {continuar y clase}} {\ mathcal {C}} ^ {n} {\ mbox {on}} \ Omega \ {\ grave {a}} {\ mbox {valor en}} \ mathbb {R } {\ mbox {, extendiendo G}} \\\\\ estilo de visualización \ int _ {\ Omega} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial x_ {i}}} \ derecha) ^ {2} dA> \ int _ {\ Omega} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ izquierda ({\ frac {\ parcial \ Phi} {\ parcial x_ {i}}} \ right) ^ {2} dA \ end {matrix}} \ right.}![{\ displaystyle \ Phi {\ mbox {solución al problema}} {\ grave {\ mbox {e}}} {\ mbox {yo de Dirichlet}} \ Leftrightarrow \ left \ {{\ begin {matrix} \ forall \ Psi {\ mbox {continuar y clase}} {\ mathcal {C}} ^ {n} {\ mbox {on}} \ Omega \ {\ grave {a}} {\ mbox {valor en}} \ mathbb {R } {\ mbox {, extendiendo G}} \\\\\ estilo de visualización \ int _ {\ Omega} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial x_ {i}}} \ derecha) ^ {2} dA> \ int _ {\ Omega} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ izquierda ({\ frac {\ parcial \ Phi} {\ parcial x_ {i}}} \ right) ^ {2} dA \ end {matrix}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567971213dddf310c57ab7f9f7dab986f4ef1c75)
El primer sentido de equivalencia se demuestra de manera similar a la unicidad de la solución.
Dirichlet ya había encontrado esta equivalencia y había deducido que el problema siempre tenía solución (esto se llama principio de Dirichlet ). De hecho, le parecía obvio que podíamos minimizar la integral. Riemann y Gauss estuvieron de acuerdo con él. Weierstrass demostró con un contraejemplo que esto no siempre era posible.
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