Función de Von Mangoldt

En matemáticas, la función de von Mangoldt es una función aritmética que lleva el nombre del matemático alemán Hans von Mangoldt .

Definición

La función de von Mangoldt tradicionalmente señalada se define en por $\ Lambda$ $\ mathbb {N} ^ {*}$

\ Lambda (n) = {\ begin {cases} \ ln p & {\ text {si}} n = p ^ {k} {\ text {para un número primo}} p {\ mbox {y un entero}} k \ geq 1, \\ 0 & {\ text {de lo contrario.}} \ end {cases}}

Esta importante función aritmética no es multiplicativa ni aditiva .

Ella satisface la identidad

{\ Displaystyle \ ln n = \ sum _ {d \ mid n} \ Lambda (d)}

o, lo que es equivalente , ,

{\ Displaystyle \ Lambda (n) = - \ sum _ {d \ mid n} \ mu (d) \ ln (d)}

donde las sumas se toman sobre todos los números naturales d que dividen ny donde denota la función de Möbius . $\ mu$

Función de Chebyshev

La "función de suma de von Mangoldt" , también conocida como la segunda función de Chebyshev , se define por $\ psi$

{\ Displaystyle \ psi (x): = \ sum _ {p ^ {k} \ leq x} \ ln p = \ sum _ {n \ leq x} \ Lambda (n) = \ sum _ {p \ leq x } \ lfloor \ log _ {p} x \ rfloor \ ln p}

Von Mangoldt proporcionó una prueba rigurosa de una fórmula explícita (en) para involucrar una suma sobre los ceros de la función zeta de Riemann no trivial . Esta fue una parte importante de la primera demostración del teorema de los números primos, que es equivalente a . $\ psi (x) \,$ ${\ Displaystyle \ psi (x) \ sim x \ quad (x \ to + \ infty)}$

Serie Dirichlet

La función de von Mangoldt juega un papel importante en la teoría de las series de Dirichlet , en particular la función zeta de Riemann . Su logaritmo es

{\ Displaystyle \ log \ zeta (s) = \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ Lambda (n)} {\ ln n}} \, {\ frac {1} {n ^ {s}}}}

para . Por tanto, su derivada logarítmica es: $\ Re (s)> 1$

{\ Displaystyle {\ frac {\ zeta ^ {\ prime} (s)} {\ zeta (s)}} = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ Lambda (n) } {n ^ {s}}}}

De manera más general, en el semiplano de convergencia de una serie de Dirichlet , tenemos $F (s) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {f (n)} {n ^ {s}}}$

{\ Displaystyle F '(s) = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {f (n)} {n ^ {s}}} \ ln n = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {f (n)} {n ^ {s}}} \ sum _ {d \ mid n} \ Lambda (d)}

y si es completamente multiplicativo , deducimos

F

{\ Displaystyle F '(s) = - F (s) \ sum _ {d = 1} ^ {\ infty} {\ frac {f (d) \ Lambda (d)} {d ^ {s}}}}

Transformación de Mellin de la función de Chebyshev

La transformada de Mellin de la función Chebyshev se puede encontrar aplicando la fórmula de suma Abel :

{\ Displaystyle {\ frac {\ zeta ^ {\ prime} (s)} {\ zeta (s)}} = - s \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ psi (x)} {x ^ {s + 1}}} \, {\ rm {d}} x}

que sigue siendo válido para . ${\ Displaystyle \ Re (s)> 1}$

Serie exponencial

El equivalente ( ver arriba ) se reescribe: ${\ Displaystyle \ psi (x) \ sim x}$

{\ Displaystyle \ sum _ {n \ leq x} \ left (\ Lambda (n) -1 \ right) = o (x)}

Hardy y Littlewood revisaron la serie

{\ Displaystyle F (y) = \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} \ left (\ Lambda (n) -1 \ right) \ mathrm {e} ^ {- ny}}

Demostraron bajo la hipótesis de Riemann que

{\ Displaystyle F (y) = O \ left ({\ sqrt {\ frac {1} {y}}} \ right) \ (y \ to 0)}

y que

{\ Displaystyle F (y) = \ Omega _ {\ pm} \ left ({\ sqrt {\ frac {1} {y}}} \ right) \ (y \ to 0)}

Así (si la hipótesis de Riemann es cierta) esta función es oscilatoria, con oscilaciones divergentes: existe un valor tal que cada una de las desigualdades $K> 0$

{\ Displaystyle F (y) <- {\ frac {K} {\ sqrt {y}}}}

{\ Displaystyle F (z)> {\ frac {K} {\ sqrt {z}}}}

es muy a menudo cierto en cada vecindario de 0. El gráfico de la derecha muestra que este comportamiento no es fácil de ilustrar: las oscilaciones solo son claramente visibles cuando se han sumado los primeros 100 millones de términos de la serie, y para . $y <10 ^ {{- 5}}$

La media de Riesz

La media de Riesz de la función de von Mangoldt está dada por

\ sum _ {{n \ leq \ lambda}} \ left (1 - {\ frac {n} {\ lambda}} \ right) ^ {\ delta} \ Lambda (n)

{\ Displaystyle = - {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ int _ {c- \ mathrm {i} \ infty} ^ {c + \ mathrm {i} \ infty} {\ frac {\ Gamma (1+ \ delta) \ Gamma (s)} {\ Gamma (1+ \ delta + s)}} {\ frac {\ zeta ^ {\ prime} (s)} {\ zeta (s) }} \ lambda ^ {s} ds}

{\ displaystyle = {\ frac {\ lambda} {1+ \ delta}} + \ sum _ {\ rho} {\ frac {\ Gamma (1+ \ delta) \ Gamma (\ rho)} {\ Gamma (1 + \ delta + \ rho)}} + \ sum _ {n} c_ {n} \ lambda ^ {- n}}

Aquí, y son números que caracterizan la media de Riesz. Debemos tomar . La suma sobre es la suma sobre los ceros de la función zeta de Riemann, y podemos demostrar que la serie converge para . $\ lambda$ $\delta$ $c> 1$ $\ rho$ $\ sum _ {n} c_ {n} \ lambda ^ {{- n}}$ $\ lambda> 1$

Ver también

Referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Función de Von Mangoldt " ( consulte la lista de autores ) .

Ver (en) Tom M. Apostol , Introducción a la teoría analítica de números , Springer ,1976, 340 p. ( ISBN 978-0-387-90163-3 , leer en línea ) , pág. 32-33, th. 2.10 y 2.11, o este ejercicio corregido de la lección "Introducción a la teoría de números" en Wikiversidad .
(en) Allan Gut , " Algunas observaciones sobre la distribución zeta de Riemann " , Rev. Matemáticas rumanas. Puros y Appl. , vol. 51,2006, p. 205-217 ( leer en línea ).
Es más bien por este método que Apostol 1976 , p. 236, calcule $ζ '/ ζ$ , después de asegurarse ( pág. 228-229 ) de que en su semiplano de convergencia, $ζ$ no se cancela.
(en) GH Hardy y JE Littlewood , " Contribuciones a la teoría de la función Zeta de Riemann y la teoría de la distribución de bonificaciones " , Acta , vol. 41, 1916, pág. 119-196.