Función Liouville

La función de Liouville , denominada λ y nombrada en honor al matemático francés Joseph Liouville , es una función aritmética importante de la teoría de números , definida por:

{\ Displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} ^ {*}, \ quad \ lambda (n) = (- 1) ^ {\ Omega (n)},}

donde Ω ( n ) es el número de factores primos contados con multiplicidad del entero n > 0.

{\ text {si}} n = \ prod _ {{i = 1}} ^ {m} p_ {i} ^ {{\ gamma _ {i}}}, {\ text {luego}} \ Omega (n ) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {m} \ gamma _ {i}.

por ejemplo: 12 = 2² × 3 y Ω (12) = 3).

Propiedades

La función λ es completamente multiplicativa porque la función Ω es completamente aditiva . Por lo tanto, λ (1) = 1.
Satisface la siguiente identidad, donde ✻ denota la convolución de Dirichlet , $1$ la función constante 1 y $χ$ C la función indicadora del conjunto C de cuadrados perfectos : ${\ Displaystyle \ lambda * {\ mathbf {1}} = \ chi _ {C}, \ quad {\ rm {o ~ de nuevo ~:}} \ quad \ sum _ {d | n} \ lambda (d) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {si}} n {\ text {es un cuadrado perfecto,}} \\ 0 & {\ text {de lo contrario.}} \ end {cases}}}$ De hecho, estas dos funciones de n son multiplicativas y claramente coinciden en las potencias de los números primos .
La función de Liouville es la inversa , para ✻, del valor absoluto de la función de Möbius μ.
Esta propiedad se puede deducir de la anterior observando que $χ$ C ✻ | μ | = $1$ .
La serie de Dirichlet de λ está relacionada con la función zeta de Riemann por la fórmula:

{\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (2s)} {\ zeta (s )}}.}

La serie de Lambert de λ es:

{\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} q ^ {n ^ {2}} = {\ frac {1} {2}} \ left (\ vartheta _ {3} (q) -1 \ right)}

donde es una función theta de Jacobi. ${\ Displaystyle \ vartheta _ {3} (q)}$

Conjeturas

Conjetura de Pólya

Notamos . Pólya había conjeturado en 1919 eso , que fue refutado en 1958 por Colin Brian Haselgrove . Minoru Tanaka encontró en 1980 el contraejemplo más pequeño $n$ : $L$ (906 150 257) = 1. Incluso tenemos $L$ $($ $n$ $)$ > 0.061867 $\sqrt$ $n$ para una infinidad de números enteros $n$ . No se sabe si el número de cambios de signo de $L$ es finito, y por una buena razón: resultaría la hipótesis de Riemann y la simplicidad de todos los ceros de la función zeta de Riemann . ${\ Displaystyle L (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ lambda (k)}$ ${\ Displaystyle \ forall n> 1, \; L (n) \ leqslant 0}$

Otra conjetura (a veces atribuida erróneamente a Pál Turán ): si definimos , entonces parecía plausible que $M$ $($ $n$ $) \geq 0$ para $n$ suficientemente grande, lo que también fue refutado en 1958 por Haselgrove. Esta propiedad, si hubiera sido cierta, habría resultado, como había demostrado Pál Turán, en la veracidad de la hipótesis de Riemann. ${\ Displaystyle M (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ lambda (k)} {k}}}$

Conjetura de Chowla

Una conjetura de Sarvadaman Chowla establece que para los números enteros no negativos, todos los enteros distintos y no negativos con para tenemos: $k$ $bi}$ $k$ $tengo}$ ${\ Displaystyle a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i} \ not = 0}$ ${\ Displaystyle 1 \ leq i <j \ leq k}$

{\ Displaystyle \ sum _ {1 \ leq n \ leq x} \ lambda (a_ {1} n + b_ {1}) \ cdot \ cdot \ cdot \ lambda (a_ {k} n + b_ {k}) = o (x)}

cuando ,

{\ Displaystyle x \ to \ infty}

donde denota el símbolo Landau . $o$

La conjetura es cierta porque es equivalente al teorema de los números primos ; está abierto para . $k = 1$ ${\ Displaystyle k \ geq 2}$

En 2015, Kaisa Matomäki , Maksym Radziwill y Terence Tao hicieron algunos avances, cuando se trata de una versión promedio de las conjeturas. En 2016, Terence Tao demostró una versión logarítmica de la conjetura en el caso . Se formula una conjetura similar de la misma manera, reemplazando la función de Liouville por la función de Möbius. $k = 2$

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado “ Función de Liouville ” ( ver la lista de autores ) .

Suite A008836 de OEIS .
(es) Eric W. Weisstein , “ Pólya conjetura, ” en MathWorld .
(en) CB Haselgrove , “ A refutación de una conjetura de Pólya ” , Mathematika , vol. 5,1958, p. 141-145 ( DOI 10.1112 / S0025579300001480 ).
(es) Peter Borwein , Ron Ferguson y Michael J. Mossinghoff , “ cambia de signo en Sumas de la función de Liouville ” , Math. Comp. , vol. 77, n o 263,2008, p. 1681-1694 ( leer en línea ).
K. Matomäki, M. Radziwill, Terence Tao : Una forma promediada de la conjetura de Chowla, Álgebra y teoría de números, vol 9, 2015, pp 2167-2196, Arxiv
T. Tao: Las conjeturas de Chowla y Elliott promediadas logarítmicamente para correlaciones de dos puntos, Forum of Mathematics, Pi (2016), Vol. 4, 36 páginas doi: 10.1017 / fmp.2016.6.