Epígrafe (matemáticas)

Sea una función definida en un conjunto con valores en la línea real completada . El epígrafe de es el conjunto señalado y definido por F{\ Displaystyle f}mi{\ Displaystyle \ mathbb {E}} R¯=R∪{-∞,+∞}{\ Displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}} = \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}F{\ Displaystyle f}oídoF{\ Displaystyle \ operatorname {epi} \, f}

oídoF: ={(X,α)∈mi×R:F(X)⩽α}.{\ Displaystyle \ operatorname {epi} \, f: = \ {(x, \ alpha) \ in \ mathbb {E} \ times \ mathbb {R}: f (x) \ leqslant \ alpha \}.}

Por lo tanto, se trata del conjunto de puntos del conjunto de productos que se encuentran por encima del gráfico de ( oreja procedente del griego antiguo y que significa on , arriba ). mi×R{\ Displaystyle \ mathbb {E} \ times \ mathbb {R}}F{\ Displaystyle f}

El epígrafe estricto de es el conjunto señalado y definido por F{\ Displaystyle f}oídosF{\ Displaystyle \ operatorname {epi} _ {s} \, f}

oídosF: ={(X,α)∈mi×R:F(X)<α}.{\ Displaystyle \ operatorname {epi} _ {s} \, f: = \ {(x, \ alpha) \ in \ mathbb {E} \ times \ mathbb {R}: f (x) <\ alpha \}. }

Ejemplos de uso

El epígrafe permite transferir nociones definidas para conjuntos a funciones. A continuación se muestran dos ejemplos.

• Si es un espacio topológico , demostramos que un mapa es semicontinuo inferiormente si y solo si su epígrafe es un espacio cerrado del producto topológico . En el análisis convexo , se dice que dicho mapa está cerrado.mi{\ Displaystyle \ mathbb {E}}F:mi→R¯{\ Displaystyle f: \ mathbb {E} \ to {\ overline {\ mathbb {R}}}} mi×R{\ Displaystyle \ mathbb {E} \ times \ mathbb {R}}
• Si es un espacio vectorial real , decimos que es convexo si su epígrafe es convexo del espacio vectorial producto .mi{\ Displaystyle \ mathbb {E}} F:mi→R¯{\ Displaystyle f: \ mathbb {E} \ to {\ overline {\ mathbb {R}}}} mi×R{\ Displaystyle \ mathbb {E} \ times \ mathbb {R}}

Notas y referencias

1. Esta noción no debe confundirse con la de aplicación cerrada en topología general .
2. (en) Charalambos D. Aliprantis y Kim C. Border Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide , Springer ,2007, 3 e  ed. ( leer en línea ) , pág.  254.

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