Función por etapas

Una función simple es una función numérica cuya imagen consta de un número finito de valores reales (o posiblemente complejos );
Una función escalonada es una función simple definida en un espacio medible y que es en sí misma una función medible ;
Una función escalonada es una función escalonada definida sobre el conjunto de valores reales y cuyos valores (reales) son constantes en intervalos : por lo tanto, son funciones constantes por partes .

En los tres significados, cada una de estas funciones se puede expresar como una combinación lineal (por lo tanto finita) de funciones características .

Estas funciones juegan un papel importante en la teoría de la integración :

las funciones por etapas para la integral de Lebesgue ;
las funciones de escalera para la integral de Riemann y Kurzweil-Henstock .

Propiedad característica común

Propiedad : una función es simple si y solo si es una combinación lineal de funciones características.

Prueba

Necesitar :

Sea $f$ una función simple y tenga k los n valores que puede tomar. Sea A k la imagen recíproca de {a k } , es decir . Dado que los A k son dos por dos disjuntos , entonces para todo x en el dominio de definición de $f$ : ${\ Displaystyle A_ {k} = f ^ {- 1} ({a_ {k}})}$

{\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {N} a_ {k} 1_ {A_ {k}} (x).}

Para funciones por etapas, observamos que A k es medible ya que se supone que $f lo$ es.

Suficiencia:

Sea n conjuntos B k una función $f$ definida por

{\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} 1_ {B_ {k}} (x)}

donde se dan los n valores b k .

Dado que x puede pertenecer simultáneamente a varios B k (cuando las intersecciones no están vacías), el número de valores distintos que puede tomar $f$ está limitado por 2 n . Entonces, $f$ es una función simple.

Para funciones simples (respectivamente escalonadas , escalera ), las siguientes propiedades resultan de la definición y la propiedad anterior:

Una función simple es una combinación lineal de funciones características de la forma

{\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ {\ mathbf {1}} _ {A_ {k}} (x)}

donde

A 1 , ..., A n

es una secuencia finita de conjuntos y

a 1 , ..., a n

es una secuencia finita de valores en ℝ (o ℂ).

Entre las diversas representaciones posibles expresadas con la ayuda de la relación anterior, hay una particular (llamada canónica ) para la cual
- los conjuntos $A k$ son dos o dos disjuntos,
- los valores $a k$ son distintos y no cero,
- $n = 0$ si y solo si $f = 0$ .
La suma o el producto de dos funciones simples, o el producto de una función simple por una función real (o compleja) son siempre funciones simples.
El conjunto de funciones simples constituye un ℝ (o ℂ) - álgebra conmutativa y, a fortiori, un espacio vectorial .
Para una función escalonada , por lo tanto medible y definida en un espacio medible , los conjuntos $A$ $k$ de la representación canónica son medibles. ${\ Displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$

Densidad de funciones escalonadas

Teorema -

Cualquier función medible positiva es un simple límite de una secuencia creciente de funciones escalonadas.
Cualquier función medible es un simple límite de funciones por etapas.
Cualquier función medible acotada es un límite uniforme de funciones escalonadas.

Demostración

1 : sea $f$ una función medible positiva. Para cualquier número natural $n$ , $[0, + \infty]$ se divide en $N n = 2 2 n + 1$ subintervalos definidos por

{\ Displaystyle I_ {n, k} = \ left [{\ frac {k-1} {2 ^ {n}}}, {\ frac {k} {2 ^ {n}}} \ right [}

para

1 \leq k \leq N n - 1

{\ Displaystyle I_ {n, N_ {n}} = [2 ^ {n}, + \ infty].}

Definimos los conjuntos medibles $A n , k = f -1 ( I n , k )$ para $1 \leq k \leq N n$ .

El conjunto de funciones

{\ Displaystyle f_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {N_ {n}} {\ frac {k-1} {2 ^ {n}}} {\ mathbf {1}} _ {A_ { n, k}}}

es entonces creciente y simplemente converge a $f$ .

2 se deduce inmediatamente de 1 porque las partes positivas y negativas de una función medible son medibles.

3 : para una función positiva $f$ limitada por $y > 0$ , la construcción desarrollada en 1 nos permite afirmar que

{\ Displaystyle | f (x) -f_ {n} (x) | \ leq 2 ^ {- n}}

tan pronto como

2 n > y

. Por tanto, se satisface la convergencia uniforme.

Para cualquier función acotada, la descomposición presentada en 2 nos permite concluir.

Integración de una función por etapas

En la teoría de la medición , definir la integral de una función escalonada positiva es uno de los primeros pasos que conducen a la definición de la integral con respecto a una medición positiva .

Sea un espacio medido . Por todo lo que definimos ${\ Displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$ ${\ Displaystyle A \ in {\ mathcal {A}},}$

${\ Displaystyle \ int 1_ {A} \, d \ mu = \ mu (A).}$

Para una función escalonada positiva, la linealidad de la integral impone la siguiente relación: ${\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} {\ mathbf {1}} _ {A_ {k}} (x),}$

${\ Displaystyle \ int f \, d \ mu = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ mu (A_ {k}).}$

Para otorgar a esta relación el estatus de definición, es aconsejable asegurar su consistencia comprobando que la integral de una función escalonada positiva sea independiente de su representación en forma de combinación lineal de funciones características.

Demostración

Por diferencia, basta comprobar que ${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} {\ mathbf {1}} _ {A_ {k}} = 0 \ Rightarrow \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ mu (A_ {k}) = 0.}$ Para cualquier n tupla $ε$ de elementos igual a ± 1, nota $B ε$ la intersección de $A k ε k$ donde $A k +1$ indica el conjunto $A k$ y $A k -1$ designa su complementaria en $X$ . Los $B ε$ son por tanto dos o dos disjuntos, cada $A k$ es la unión de aquellos para los que $ε k = 1$ , y su medida es la suma de las medidas de estos $B ε$ . La hipótesis ${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} {\ mathbf {1}} _ {A_ {k}} = 0}$ luego reescrito ${\ displaystyle \ sum _ {\ varepsilon} a _ {\ varepsilon} {\ mathbf {1}} _ {B _ {\ varepsilon}} = 0 {\ text {with}} a _ {\ varepsilon} = \ sum _ {\ varepsilon _ {k} = 1} a_ {k},}$ es decir, para todo $ε$ , $B ε$ está vacío o $a ε$ es cero. Entonces tenemos ${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ mu (A_ {k}) = \ sum _ {\ varepsilon} a _ {\ varepsilon} \ mu (B _ {\ varepsilon} ) = 0.}$

Luego verificamos que este mapa ∫ es lineal y que está aumentando (si $f \leq g$ entonces $\int f d μ \leq \int g d μ$ ) tan pronto como $μ$ sea una medida positiva .

En el caso particular en el que $X$ es un segmento real provisto de la medida de Lebesgue , ∫ se define en particular en las funciones escalonadas y satisface la relación de Chasles .

Integral de una función de escalera en un segmento

Las funciones por etapas son para la teoría de la integración de Lebesgue lo que las funciones de escalera son para la integración de Riemann o Kurzweil-Henstock.

Por ejemplo, en el caso particular donde $A 1 , ..., A n$ son intervalos contiguos de la misma longitud $Δ$ , y donde $a i$ son las evaluaciones de una función $g$ en el centro de los intervalos $A i$ , la expresión es un caso especial de suma de Riemann . ${\ Displaystyle I_ {n} = \ Delta \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}}$

Generalmente presentadas en un intervalo dado, las funciones de escalera se pueden extender en 0 sobre ℝ entero, lo que hace posible deshacerse del intervalo y considerar un solo conjunto de funciones.

Notas

Para una función de escalera, los conjuntos $A k$ son la unión de un número finito de intervalos.
$I$ $n$ también es una aproximación comúnmente utilizada para el cálculo numérico de una integral , más conocida con el nombre de método del punto medio .