Extensión radial

En la teoría de extensiones de campo , a diferencia de las extensiones algebraicas separables , existen las extensiones radicielles . Es un fenómeno específico de la característica positiva y que aparece naturalmente con los campos de funciones en característica positiva.

Definición

Es una extensión de la característica corporal . Un elemento de se dice que es radial en si hay un número entero tal que . Una extensión (algebraica) es una extensión raíz si cada elemento de tiene raíz en . ${\ Displaystyle L / K}$ $p> 0$ $X$ $L$ $K$ $n> 0$ ${\ Displaystyle x ^ {p ^ {n}} \ in K}$ ${\ Displaystyle L / K}$ $L$ $K$

Una extensión radial también se llama extensión puramente inseparable , que está más cerca de la terminología inglesa extensión puramente inseparable . El término radiciel refleja el hecho de que cualquier elemento es raíz de un elemento de (esta propiedad también caracteriza las extensiones de raíz entre cualquier extensión algebraica). $K$

Una extensión radial L / K es de altura m si, para cualquier elemento x de L , tenemos y si m es mínimo para esta propiedad. Cualquier extensión de raíz finita tiene una altura finita. ${\ Displaystyle x ^ {p ^ {m}} \ in K}$

Ejemplos de

Si es un elemento que no es una -ésima potencia en , entonces el polinomio es irreducible, su cuerpo de fractura (igual al cuerpo de descomposición aquí) es una extensión radial de de grado . ${\ Displaystyle a \ in K}$ $pag$ $K$ ${\ Displaystyle X ^ {p} -a \ in K [X]}$ $K$ $pag$
Sea un campo de característica . Sea un número natural. Entonces, el conjunto de los elementos de la forma es un subcampo de y es una extensión algebraica de raíz (que no es necesariamente de grado finito). $L$ $pag$ $no$ ${\ Displaystyle L ^ {p ^ {n}}}$ ${\ Displaystyle x ^ {p ^ {n}}}$ $L$ ${\ Displaystyle L / L ^ {p ^ {n}}}$
Sea el campo de fracciones racionales con una variable sobre un campo perfecto . Entonces es una extensión radial de grado en y es la extensión radial única de de grado . De ello se deduce que cualquier extensión radial de es isomorfa a un campo de fracciones racionales . $K (X)$ $K$ ${\ Displaystyle K (X ^ {1 / p})}$ $pag$ $K (X)$ $K (X)$ $pag$ $K (X)$ ${\ Displaystyle K (X ^ {1 / p ^ {d}})}$
Por otro lado, tiene varias extensiones de raíz de grado no isomorfas entre sí (como extensiones de ). ${\ Displaystyle K (X, Y)}$ $pag$ ${\ Displaystyle K (X, Y)}$

Propiedades

Una extensión radial finita es necesariamente de grado una potencia de . $pag$
El polinomio mínimo de un elemento radial tiene la forma . ${\ Displaystyle X ^ {p ^ {n}} - a}$
Si es una extensión radial, entonces cualquier homomorfismo de en un campo perfecto se extiende únicamente a un homomorfismo . En particular, si contiene (por ejemplo, si es un cierre algebraico de ), entonces cualquier -homomorfismo de in es igual a la identidad sobre el compuesto con inclusión canónica . ${\ Displaystyle L / K}$ $K$ $F$ $L \ a F$ $F$ $L$ $L$ $K$ $L$ $F$ $L$ ${\ Displaystyle L \ subseteq F}$
Una extensión radial de grado finito se descompone en una sucesión de extensiones radiales de grado . $pag$
Un cierre algebraico de es radial sobre el cierre separable de contenido en . $\Omega$ $K$ $K$ $\Omega$

Valla radial

Si arreglamos una cerca algebraica de , el conjunto de elementos radware en forma una extensión de raíz de , llamada cerca radial de . Es un cuerpo perfecto . Todas las vallas radiales de son isomorfas entre sí. $\Omega$ $K$ $\Omega$ $K$ $K$ $K$ $K$

Por ejemplo, si es un campo perfecto de característica , el cierre radial del campo de fracciones racionales es la unión (en un cierre algebraico de ) de las extensiones para atravesar los enteros naturales. $K$ $p> 0$ $K (X)$ $K (X)$ ${\ Displaystyle K (X ^ {1 / p ^ {n}})}$ $no$

Aplicaciones a extensiones algebraicas

Teorema : sea una extensión algebraica con característica . Entonces existe una sub-extensión única de tal que es separable y que es radial. Además, exactamente es la valla separable desde adentro . ${\ Displaystyle L / K}$ $K$ $p> 0$ ${\ displaystyle E / K}$ $L$ ${\ displaystyle E / K}$ ${\ displaystyle L / E}$ $mi$ $K$ $L$

Observaciones

El grado de extensión se denomina grado de inseparabilidad de la extensión . ${\ displaystyle L / E}$ ${\ Displaystyle L / K}$
En general, no se puede descomponer en una extensión radial y una extensión separable . Pero si es una extensión finita normal , entonces es una extensión de Galois de una extensión raíz de . Aquí la extensión radial es el subcampo de los elementos de invariantes por el grupo de -automorfismos de . ${\ Displaystyle L / K}$ ${\ displaystyle F / K}$ ${\ displaystyle L / F}$ ${\ Displaystyle L / K}$ $K$ $L$ $K$ $L$
Un cuerpo es perfecto si y solo si no tiene otra extensión radial que no sea él mismo.
Un conjunto de funciones con una característica positiva en al menos una variable nunca es perfecto.
A diferencia de las extensiones finitas separables, una extensión de raíz finita no admite necesariamente un elemento primitivo . Por ejemplo, ampliar el campo de las fracciones racionales requiere dos generadores. ${\ Displaystyle K (X ^ {1 / p}, Y ^ {1 / p})}$ ${\ Displaystyle K (X, Y)}$

Vínculos con Frobenius

El endomorfismo de Frobenius de un anillo A con característica p viene dado por x ↦ x p . Si K es un campo de característica p , entonces el Frobenius K → K induce una extensión radial de altura 1. Es la extensión K de K p (el conjunto de p -ésimas potencias de los elementos de K ) o la extensión K 1 / p (el conjunto de las raíces p elementos -ésimos de K en un cierre algebraica de K ) de K .

Por el contrario, cualquier extensión de raíz L / K de altura 1 está contenida en K 1 / p .

Geometría algebraica

Se dice que un morfismo de diagramas es radial si para cualquier campo K , el mapa es inyectivo. Esto equivale a decir que f es inyectiva y que para cualquier punto x de X , la extensión de los campos residuales es radial. ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$ ${\ Displaystyle X (K) \ a Y (K)}$ ${\ Displaystyle k (x) / k (f (x))}$

Decimos que f es un homeomorfismo universal si para todos los esquemas Y Z , el morfismo obtenido por cambio de base es un homeomorfismo. Un morfismo finito sobreyectivo y radial es un homeomorfismo universal, y lo contrario es cierto si además f es de presentación finita. ${\ Displaystyle X \ times _ {Y} Z \ to Z}$

Si A es una variedad abeliana supersingular en un campo de característica p , el morfismo de multiplicación por p en A es un morfismo radial.

Notas y referencias

Notas

De hecho, consideremos el campo de fracciones racionales con dos variables con coeficientes en un campo de característica p distinta de cero. Entonces el polinomio es irreducible en . Sea un cuerpo de ruptura . Es una extensión radical de grado de la extensión cuadrática separables de K . En particular, es una extensión inseparable. Si es separable en una subextensión radial E , entonces y . Entonces hay tales como . Sigue eso con . Así y . Lo que implicaría eso . Contradicción. ${\ Displaystyle K = k (X, Y)}$ ${\ Displaystyle F (T) = T ^ {2p} + XT ^ {p} + Y \ en K [T]}$ $K$ ${\ Displaystyle L = K [t]}$ ${\ Displaystyle F (T)}$ $pag$ ${\ Displaystyle K [t ^ {p}]}$ ${\ Displaystyle [E: K] = p}$ ${\ Displaystyle [L: E] = 2}$ ${\ Displaystyle r, s \ en E}$ ${\ Displaystyle t ^ {2} + rt + s = 0}$ ${\ Displaystyle t ^ {2p} + r ^ {p} t ^ {p} + s ^ {p} = 0}$ ${\ Displaystyle r ^ {p}, s ^ {p} \ in K}$ ${\ Displaystyle r = X ^ {1 / p}}$ ${\ Displaystyle s = Y ^ {1 / p}}$ ${\ Displaystyle [E: K] \ geq p ^ {2}}$
De hecho, es una extensión de grado , pero cualquier elemento de la extensión es de grado como máximo . $p ^ {2}$ $pag$
EGA , I.3.5.4
EGA , I.3.5.8
EGA , IV.2.4.2
EGA , IV.8.11.6