Valla separable
En matemáticas , un cierre separable de un campo conmutativo K es una extensión algebraica separable de K y máxima (en el sentido de inclusión) para esta propiedad.
Definición
Un cuerpo K se cierra de forma separable si cualquier extensión finita separable de K es trivial, es decir, igual a K .
Un cierre separable K sep de K es una extensión algebraica separable (no necesariamente finita) que está separadamente cerrada. Esto equivale a decir que si L es una extensión algebraica separable de K que contiene K sep , entonces L = K sep .
Por ejemplo, un campo algebraicamente cerrado es su propia valla separable.
El cierre separable de K en una extensión algebraica L es el conjunto de elementos de L que son separables sobre K.
Propiedades
- En un campo cerrado separablemente, cualquier polinomio separable se divide (es decir, igual a un producto de polinomios de grado 1).
- Cualquier cierre separable de K en una extensión algebraica es una extensión separable.
- Todavía existe una valla separable y es única hasta el isomorfismo K. De hecho, si elegimos una cerca algebraica K alg de K , el cierre separable de K en K alg es una cerca separable, y cualquier cerca separable se puede construir de esta manera.
- Si K es perfecto , la noción de cierre separable coincide con la de cierre algebraico.
- La valla algebraica es una extensión radial de la valla separable. Cualquier K -automorfismo de K alg deja a K sep globalmente invariante .
- La valla separable es una extensión máxima (posiblemente infinita) de Galois. En un campo no perfecto, el cierre algebraico no es una extensión de Galois , luego trabajamos con el cierre separable para un cierto número de preguntas (por ejemplo, para el grupo de Galois absoluto ).