Exponencial de una matriz
En matemáticas , y más particularmente en análisis , el exponencial de una matriz es una función que generaliza la función exponencial a matrices y endomorfismos por cálculo funcional . En particular, une un grupo de Lie y su álgebra de Lie .
Definición
Teorema y definición : la serie de matrices de términos generales
METROno(VS)⟶METROno(VS)A⟼1k!Ak{\ Displaystyle {\ begin {array} {ccc} \ mathrm {M} _ {n} (\ mathbb {C}) & \ longrightarrow & \ mathrm {M} _ {n} (\ mathbb {C}) \\ A & \ longmapsto & {\ frac {1} {k!}} A ^ {k} \ end {array}}}![{\ Displaystyle {\ begin {array} {ccc} \ mathrm {M} _ {n} (\ mathbb {C}) & \ longrightarrow & \ mathrm {M} _ {n} (\ mathbb {C}) \\ A & \ longmapsto & {\ frac {1} {k!}} A ^ {k} \ end {array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d539ca44f250e61ce112dbc295de7baa0ec21f3)
normalmente converge en cualquier parte acotada de .
METROno(VS){\ Displaystyle \ mathrm {M} _ {n} (\ mathbb {C})}![{\ Displaystyle \ mathrm {M} _ {n} (\ mathbb {C})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5d2be5052e8b42542b70067bd62ca8cb561f78)
Luego llamamos exponencialmente a la aplicación
Exp:METROno(VS)→METROno(VS),A↦miA=∑k∈NO1k!Ak{\ Displaystyle \ exp: \ mathrm {M} _ {n} (\ mathbb {C}) \ to \ mathrm {M} _ {n} (\ mathbb {C}), \ quad A \ mapsto \ mathrm {e } ^ {A} = \ sum _ {k \ in \ mathbb {N}} {\ frac {1} {k!}} A ^ {k}}![{\ Displaystyle \ exp: \ mathrm {M} _ {n} (\ mathbb {C}) \ to \ mathrm {M} _ {n} (\ mathbb {C}), \ quad A \ mapsto \ mathrm {e } ^ {A} = \ sum _ {k \ in \ mathbb {N}} {\ frac {1} {k!}} A ^ {k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b60187237c6c22e45a826cf1ea0ce152bcf66227)
.
Para n = 1, encontramos la definición del exponencial complejo .
Propiedades
A menos que se indique lo contrario, X , Y , etc. denotar matrices complejas n × n (con coeficientes complejos).
Propiedades generales
- El exponencial de la matriz cero es la matriz de identidad : ;mi0=I{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {0} = I}
![{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {0} = I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93b705075d295c53ef5a0496ecf85ad3a21aa3a1)
- El determinante de la matriz exponencial es igual a la exponencial de su pista : ;det(miX)=mitr(X){\ Displaystyle \ det \ left (\ mathrm {e} ^ {X} \ right) = \ mathrm {e} ^ {\ operatorname {tr} (X)}}
![{\ Displaystyle \ det \ left (\ mathrm {e} ^ {X} \ right) = \ mathrm {e} ^ {\ operatorname {tr} (X)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/987f9fa08d215f5d25d6a7552d2c463d6294b355)
- si Y es una matriz invertible , entonces ;miYXY-1=YmiXY-1{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {YXY ^ {- 1}} = Y \, \ mathrm {e} ^ {X} Y ^ {- 1}}
![{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {YXY ^ {- 1}} = Y \, \ mathrm {e} ^ {X} Y ^ {- 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/536ebd4f6809ea14ba3274d8b7d7ff1081cd053c)
- el exponencial de la matriz satisface el límite :;miX=limk→∞(I+Xk)k{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {X} = \ lim _ {k \ to \ infty} \ left (I + {\ frac {X} {k}} \ right) ^ {\! k}}
![{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {X} = \ lim _ {k \ to \ infty} \ left (I + {\ frac {X} {k}} \ right) ^ {\! k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5a307511bf7abc30fe3b18a7b1443f119dd10c9)
-
mi(X+Y)=limno→∞(miXnomiYno)no{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {(X + Y)} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (\ mathrm {e} ^ {\ frac {X} {n}} \ mathrm {e } ^ {\ frac {Y} {n}} \ right) ^ {\! n}}
( Fórmula de Trotter-Kato );
- existe un polinomio de endomorfismo P X (dependiente de X ) tal que .miX=PAGX(X){\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {X} = P_ {X} (X)}
![{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {X} = P_ {X} (X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3b8faaa2507bf684b2c91b561d1b65f56a5cf21)
Transposición y conjugación
La transpuesta , el conjugado y el adjunto de una matriz X se denotan , y .
XT{\ Displaystyle X ^ {\ mathsf {T}}}
X¯{\ Displaystyle {\ overline {X}}}
X†{\ Displaystyle X ^ {\ dagger}}![{\ Displaystyle X ^ {\ dagger}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b31335fa0abde1543f245fe140e1516948435d8)
- La exponencial de la transpuesta de una matriz es la transpuesta de la exponencial de la matriz . Resulta que:
miXT=(miX)T{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {X ^ {\ mathsf {T}}} = \ left (\ mathrm {e} ^ {X} \ right) ^ {\! {\ mathsf {T}}}}
![{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {X ^ {\ mathsf {T}}} = \ left (\ mathrm {e} ^ {X} \ right) ^ {\! {\ mathsf {T}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e6e120b870381b8425b9f7ae40db39fd340d38)
- si X es simétrico ( ), entonces e X también es :;XT=X{\ Displaystyle X ^ {\ mathsf {T}} = X}
(miX)T=miX{\ Displaystyle \ left (\ mathrm {e} ^ {X} \ right) ^ {\! {\ mathsf {T}}} = \ mathrm {e} ^ {X}}![{\ Displaystyle \ left (\ mathrm {e} ^ {X} \ right) ^ {\! {\ mathsf {T}}} = \ mathrm {e} ^ {X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6cc0326d7bf772b99725a5564f69127ac60c731)
- si X es skew ( ) y real (con coeficientes reales), entonces e X es ortogonal : .XT=-X{\ Displaystyle X ^ {\ mathsf {T}} = - X}
(miX)-1=(miX)T{\ Displaystyle \ left (\ mathrm {e} ^ {X} \ right) ^ {- 1} = \ left (\ mathrm {e} ^ {X} \ right) ^ {\ mathsf {T}}}![{\ Displaystyle \ left (\ mathrm {e} ^ {X} \ right) ^ {- 1} = \ left (\ mathrm {e} ^ {X} \ right) ^ {\ mathsf {T}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ff4d4286660d02345992d5156bf4e142b2ecd54)
- El exponencial del conjugado de una matriz es el conjugado del exponencial de la matriz: y por tanto, teniendo en cuenta la propiedad anterior:miX¯=miX¯{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ overline {X}} = {\ overline {\ mathrm {e} ^ {X}}}}
![{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ overline {X}} = {\ overline {\ mathrm {e} ^ {X}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b5851b43ebd982b636a97a1717ae3e1ad0628ac)
- El exponencial de la adjunta de una matriz es el adjunto de la exponencial de la matriz: . Resulta que:
miX†=(miX)†{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {X ^ {\ dagger}} = \ left (\ mathrm {e} ^ {X} \ right) ^ {\! \ dagger}}
![{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {X ^ {\ dagger}} = \ left (\ mathrm {e} ^ {X} \ right) ^ {\! \ dagger}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53c78aa3ec17ddfe497bca872ef30df2748cec0e)
- si X es hermitiano ( ), entonces e X también es :;X†=X{\ Displaystyle X ^ {\ dagger} = X}
(miX)†=miX{\ Displaystyle \ left (\ mathrm {e} ^ {X} \ right) ^ {\! \ dagger} = \ mathrm {e} ^ {X}}![{\ Displaystyle \ left (\ mathrm {e} ^ {X} \ right) ^ {\! \ dagger} = \ mathrm {e} ^ {X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06398e42fe570602343dd36e8b48e18681b4d240)
- si X es anti-hermitiana ( ), mientras que un X es unitaria : .X†=-X{\ Displaystyle X ^ {\ dagger} = - X}
(miX)-1=(miX)†{\ Displaystyle \ left (\ mathrm {e} ^ {X} \ right) ^ {- 1} = \ left (\ mathrm {e} ^ {X} \ right) ^ {\ dagger}}![{\ Displaystyle \ left (\ mathrm {e} ^ {X} \ right) ^ {- 1} = \ left (\ mathrm {e} ^ {X} \ right) ^ {\ dagger}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f043be353408d788346660eb8d6ec77c63f111e4)
Conmutatividad
El cambio de X e Y se denota [ X , Y ] (= XY -YX ) .
- Si [ X , Y ] = 0 (las matrices conmutan) entonces .miXmiY=miX+Y(=miYmiX){\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {X} \ mathrm {e} ^ {Y} = \ mathrm {e} ^ {X + Y} \; (= \ mathrm {e} ^ {Y} \ mathrm {e } ^ {X})}
![{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {X} \ mathrm {e} ^ {Y} = \ mathrm {e} ^ {X + Y} \; (= \ mathrm {e} ^ {Y} \ mathrm {e } ^ {X})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a12d1e3e6b97d7416672653ddfe27dcade7c09f1)
- De manera más general, asumiendo solo que [ X , Y ] conmuta con X e Y , (fórmula de Glauber ).miXmiY=miX+Y+12[X,Y]{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {X} \ mathrm {e} ^ {Y} = \ mathrm {e} ^ {X + Y + {\ frac {1} {2}} [X, Y]}}
![{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {X} \ mathrm {e} ^ {Y} = \ mathrm {e} ^ {X + Y + {\ frac {1} {2}} [X, Y]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/687796bcfd8954af2e4ed35ce2041c4b12df8dcc)
Demostración
O bien . Entonces, y .
Φ(t)=miXtmiYt{\ Displaystyle \ Phi (t) = \ mathrm {e} ^ {Xt} \ mathrm {e} ^ {Yt}}
Φ(0)=I{\ Displaystyle \ Phi (0) = I}
Φ′(t)=XmiXtmiYt+miXtYmiYt=(X+miXtYmi-Xt)Φ(t)=(X+Y+[miXt,Y]mi-Xt)Φ(t){\ Displaystyle \ Phi '(t) = X \ mathrm {e} ^ {Xt} \ mathrm {e} ^ {Yt} + \ mathrm {e} ^ {Xt} Y \ mathrm {e} ^ {Yt} = (X + \ mathrm {e} ^ {Xt} Y \ mathrm {e} ^ {- Xt}) \ Phi (t) = \ left (X + Y + \ left [\ mathrm {e} ^ {Xt}, Y \ right] \ mathrm {e} ^ {- Xt} \ right) \ Phi (t)}![{\ Displaystyle \ Phi '(t) = X \ mathrm {e} ^ {Xt} \ mathrm {e} ^ {Yt} + \ mathrm {e} ^ {Xt} Y \ mathrm {e} ^ {Yt} = (X + \ mathrm {e} ^ {Xt} Y \ mathrm {e} ^ {- Xt}) \ Phi (t) = \ left (X + Y + \ left [\ mathrm {e} ^ {Xt}, Y \ right] \ mathrm {e} ^ {- Xt} \ right) \ Phi (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c8127b9ba30d05af46d52197398dd34eab8a30)
- Note primero la relación
[A,F(B)]=[A,B]F′(B){\ Displaystyle [A, F (B)] = [A, B] \, F '(B)}
,para todas las matrices A y B tales que B conmuta con [ A , B ] y para cualquier función F desarrollable en series enteras.
De hecho, para todos , la fórmula se convierte aquí .no∈NO{\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}
[A,Bno]=∑0≤k<noBk[A,B]Bno-1-k{\ Displaystyle [A, B ^ {n}] = \ sum _ {0 \ leq k <n} B ^ {k} \ left [A, B \ right] B ^ {n-1-k}}
[A,Bno]=no[A,B]Bno-1{\ Displaystyle [A, B ^ {n}] = n [A, B] B ^ {n-1}}![{\ Displaystyle [A, B ^ {n}] = n [A, B] B ^ {n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/889176ff3ab0faf2bb621911194334d8d837d426)
- Apliquemos esta relación al interruptor :
[Y,miXt]{\ Displaystyle \ left [Y, \ mathrm {e} ^ {Xt} \ right]}
[Y,miXt]=t[Y,X]miXt{\ Displaystyle \ left [Y, \ mathrm {e} ^ {Xt} \ right] = t [Y, X] \ mathrm {e} ^ {Xt}}
, o incluso , por lo tanto .[miXt,Y]=t[X,Y]miXt{\ Displaystyle \ left [\ mathrm {e} ^ {Xt}, Y \ right] = t [X, Y] \ mathrm {e} ^ {Xt}}
Φ′(t)=(X+Y+t[X,Y])Φ(t){\ Displaystyle \ Phi '(t) = \ left (X + Y + t [X, Y] \ right) \ Phi (t)}
Integramos usando que [ X , Y ] conmuta con X + Y :Φ(t)=Φ(0)mit(X+Y)+t22[X,Y]=mit(X+Y)+t22[X,Y]{\ Displaystyle \ Phi (t) = \ Phi (0) \ mathrm {e} ^ {t (X + Y) + {\ frac {t ^ {2}} {2}} [X, Y]} = \ mathrm {e} ^ {t (X + Y) + {\ frac {t ^ {2}} {2}} [X, Y]}}
Tomando t = 1: .miXmiY=miX+Y+12[X,Y]{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {X} \ mathrm {e} ^ {Y} = \ mathrm {e} ^ {X + Y + {\ frac {1} {2}} [X, Y]}}
- Incluso de manera más general, la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff da la expresión , más precisamente, de un logaritmo de e X e Y , por una serie que involucra solo a X , Y y sus conmutadores. Los primeros términos son:
miX+Y-miXmiY{\ Displaystyle {\ rm {e}} ^ {X + Y} - \ mathrm {e} ^ {X} \ mathrm {e} ^ {Y}}
Iniciar sesión(miXmiY)=X+Y+12[X,Y]+112[X,[X,Y]]+112[Y,[Y,X]]-124[X,[Y,[X,Y]]]+...{\ Displaystyle \ log (\ mathrm {e} ^ {X} \ mathrm {e} ^ {Y}) = X + Y + {\ frac {1} {2}} [X, Y] + {\ frac { 1} {12}} [X, [X, Y]] + {\ frac {1} {12}} [Y, [Y, X]] - {\ frac {1} {24}} [X, [ Y, [X, Y]]] + \ puntos}![{\ Displaystyle \ log (\ mathrm {e} ^ {X} \ mathrm {e} ^ {Y}) = X + Y + {\ frac {1} {2}} [X, Y] + {\ frac { 1} {12}} [X, [X, Y]] + {\ frac {1} {12}} [Y, [Y, X]] - {\ frac {1} {24}} [X, [ Y, [X, Y]]] + \ puntos}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f305fbbd0b03497dd08641a2818c534fc29342e)
Aplicación exponencial
Aplicación de matriz exponencial: X↦miX{\ Displaystyle X \ mapsto \ mathrm {e} ^ {X}}
El exponencial de una matriz siempre es invertible . La inversa de correo X está dada por E - X . Esta función es, por tanto, un mapa del conjunto de n × n matrices al grupo lineal general , es decir, el grupo de todas las matrices invertibles. Esta aplicación es sobreyectiva .
Exp:METROno(VS)→GRAMOLno(VS){\ Displaystyle \ exp: \ mathrm {M} _ {n} (\ mathbb {C}) \ to \ mathrm {GL} _ {n} (\ mathbb {C})}![{\ Displaystyle \ exp: \ mathrm {M} _ {n} (\ mathbb {C}) \ to \ mathrm {GL} _ {n} (\ mathbb {C})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1519327fa9070e60f626b9f67cda7b0a11fa357b)
Para dos matrices X e Y , tenemos:
‖miX+Y-miX‖≤‖Y‖mi‖X‖mi‖Y‖,{\ Displaystyle \ | \ mathrm {e} ^ {X + Y} \! - \ mathrm {e} ^ {X} \ | \ leq \ | Y \ | \, \ mathrm {e} ^ {\ | X \ |} \, \ mathrm {e} ^ {\ | Y \ |},}![{\ Displaystyle \ | \ mathrm {e} ^ {X + Y} \! - \ mathrm {e} ^ {X} \ | \ leq \ | Y \ | \, \ mathrm {e} ^ {\ | X \ |} \, \ mathrm {e} ^ {\ | Y \ |},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eeb7d0d58e98c41ff3a61a0ed442c06f697dab5)
donde || · || denota una norma de matriz arbitraria. De ello se deduce que el mapa exponencial es continuo y de Lipschitziano sobre cualquier subconjunto compacto de .
METROno(VS){\ Displaystyle \ mathrm {M} _ {n} (\ mathbb {C})}![{\ Displaystyle \ mathrm {M} _ {n} (\ mathbb {C})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5d2be5052e8b42542b70067bd62ca8cb561f78)
La aplicación es incluso elegante .
Exp:METROno(VS)→GRAMOLno(VS){\ Displaystyle \ exp: \ mathrm {M} _ {n} (\ mathbb {C}) \ to \ mathrm {GL} _ {n} (\ mathbb {C})}
VS∞{\ Displaystyle C ^ {\ infty}}![C ^ {\ infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971ed05871d69309df32efdfd2020128c9cf69d8)
Su diferencial en 0 es la identidad y realiza un difeomorfismo entre una vecindad de 0 y una vecindad de la identidad.
Solicitud t↦mitX{\ Displaystyle t \ mapsto \ mathrm {e} ^ {tX}}
La aplicación:
t↦mitX,t∈R{\ Displaystyle t \ mapsto {\ rm {e}} ^ {tX}, \ quad t \ in \ mathbb {R}}![t \ mapsto {{\ rm {e}}} ^ {{tX}}, \ quad t \ in \ mathbb {R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad63503db9fa2d7bf26b3d69596fac316155384)
define una curva de clase en el grupo lineal que pasa a través de la identidad en t = 0. Esta curva es de hecho un subgrupo de Lie conmutativo con un parámetro de ya que:
VS∞{\ Displaystyle C ^ {\ infty}}
GRAMOLno(VS){\ Displaystyle \ mathrm {GL} _ {n} (\ mathbb {C})}![{\ Displaystyle \ mathrm {GL} _ {n} (\ mathbb {C})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b67cb7ecf4cc49fd1bcb8f86070d0d6167b54a78)
mit1Xmit2X=mi(t1+t2)X=mit2Xmit1X{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {t_ {1} X} \ mathrm {e} ^ {t_ {2} X} = \ mathrm {e} ^ {(t_ {1} + t_ {2}) X} = \ mathrm {e} ^ {t_ {2} X} \ mathrm {e} ^ {t_ {1} X}}![{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {t_ {1} X} \ mathrm {e} ^ {t_ {2} X} = \ mathrm {e} ^ {(t_ {1} + t_ {2}) X} = \ mathrm {e} ^ {t_ {2} X} \ mathrm {e} ^ {t_ {1} X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b721e8f43fb45503435e0e742d21ed6e97c46920)
.
La derivada de esta curva en el punto t viene dada por:
DDtmitX=XmitX=mitXX(1){\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ mathrm {e} ^ {tX} = X \, \ mathrm {e} ^ {tX} = \ mathrm {e} ^ {tX} X \ qquad (1)}![{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ mathrm {e} ^ {tX} = X \, \ mathrm {e} ^ {tX} = \ mathrm {e} ^ {tX} X \ qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a6189f59be018c8e3d4487a2120e2de4f73c20)
(la derivada en el punto t = 0 es la matriz X , lo que equivale a decir que X genera este subgrupo de un parámetro)
De hecho, de manera más general, el diferencial del mapa exponencial en una matriz X viene dado por:
ExpX′(H)=∑I,j∈NOXIHXj(I+j+1)!=∑I,j∈NOB(I+1,j+1)XII!HXjj!=∫01mi(1-α)XHmiαXDα{\ Displaystyle \ exp '_ {X} (H) = \ sum _ {i, j \ in \ mathbb {N}} {\ frac {X ^ {i} HX ^ {j}} {(i + j + 1)!}} = \ Sum _ {i, j \ in \ mathbb {N}} \ mathrm {B} (i + 1, j + 1) {\ frac {X ^ {i}} {i!}} H {\ frac {X ^ {j}} {j!}} = \ Int _ {0} ^ {1} {\ rm {e}} ^ {(1- \ alpha) X} H {\ rm {e }} ^ {\ alpha X} {\ rm {d}} \ alpha}![{\ Displaystyle \ exp '_ {X} (H) = \ sum _ {i, j \ in \ mathbb {N}} {\ frac {X ^ {i} HX ^ {j}} {(i + j + 1)!}} = \ Sum _ {i, j \ in \ mathbb {N}} \ mathrm {B} (i + 1, j + 1) {\ frac {X ^ {i}} {i!}} H {\ frac {X ^ {j}} {j!}} = \ Int _ {0} ^ {1} {\ rm {e}} ^ {(1- \ alpha) X} H {\ rm {e }} ^ {\ alpha X} {\ rm {d}} \ alpha}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3ba028d9f07dfc01c58c4a61df94c0248d18bc9)
donde B denota la función beta , por lo tanto:
Si XH=HX,ExpX′(H)=HmiX{\ Displaystyle {\ text {si}} XH = HX, \ quad \ exp '_ {X} (H) = H \, \ mathrm {e} ^ {X}}![{\ Displaystyle {\ text {si}} XH = HX, \ quad \ exp '_ {X} (H) = H \, \ mathrm {e} ^ {X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52980d48cd914d70b5bd0fac40305dbd2fc16795)
.
Ejemplos físicos
Rotación en el avión
En el plano euclidiano provisto de un sistema de coordenadas ortonormal , considere la matriz de rotación del ánguloπ/2 :
R⊥=(0-110){\ displaystyle R _ {\ perp} = {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}![{\ displaystyle R _ {\ perp} = {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89ae8e0178a7a9ff117ea9c0d4be4f5d21d58ef7)
.
Entonces :
miθR⊥=(porqueθ-pecadoθpecadoθporqueθ)=R(θ){\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ theta \, R _ {\ perp}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}} = R (\ theta)}![{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ theta \, R _ {\ perp}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}} = R (\ theta)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9c471071870aec73582a28723fee5f69429f283)
es la matriz de rotación del ángulo θ .
La transformación de Galileo
Sea la matriz:
PAGGRAMO=(0100){\ displaystyle P _ {\ mathrm {G}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}![{\ displaystyle P _ {\ mathrm {G}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/758d9600f8e326b8bf4f3327c207a80a5388129e)
.
Entonces :
mi-vPAGGRAMO=(1-v01)=TGRAMO(v){\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {- v \, P _ {\ mathrm {G}}} = {\ begin {pmatrix} 1 & -v \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = T _ { \ mathrm {G}} (v)}![{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {- v \, P _ {\ mathrm {G}}} = {\ begin {pmatrix} 1 & -v \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = T _ { \ mathrm {G}} (v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb4c71313f901ce7c489ca407b97a0425e71386e)
es la matriz de transformación de Galileo en el plano ( x , t ) para un desplazamiento de velocidad v en el eje O x : x ' = x - vt , t' = t .
Transformación de Lorentz
Sea la matriz:
PAGL=(0110){\ displaystyle P _ {\ mathrm {L}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}![{\ displaystyle P _ {\ mathrm {L}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9643538d69c576d043b97fb699cae117b065e90)
.
Entonces :
mi-φPAGL=(aporrearφ-pecadoφ-pecadoφaporrearφ)=TL(φ){\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {- \ varphi P _ {\ mathrm {L}}} = {\ begin {pmatrix} \ cosh \ varphi & - \ sinh \ varphi \\ - \ sinh \ varphi & \ cosh \ varphi \ end {pmatrix}} = T _ {\ mathrm {L}} (\ varphi)}![{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {- \ varphi P _ {\ mathrm {L}}} = {\ begin {pmatrix} \ cosh \ varphi & - \ sinh \ varphi \\ - \ sinh \ varphi & \ cosh \ varphi \ end {pmatrix}} = T _ {\ mathrm {L}} (\ varphi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf3cddaf70af8891f05ce04af6fab4f65d45a3c)
es la matriz de transformación de Lorentz en el plano ( x , ct ) para un desplazamiento de rapidez φ sobre el eje O x .
Rotaciones en el espacio
Sea un vector unitario de cosenos directores α , β , γ ( con α 2 + β 2 + γ 2 = 1 ), y sea la matriz:
no^{\ Displaystyle {\ hat {n}}}
no^=αmi→X+βmi→y+γmi→z{\ Displaystyle {\ hat {n}} = \ alpha \, {\ vec {e}} _ {x} + \ beta \, {\ vec {e}} _ {y} + \ gamma \, {\ vec {e}} _ {z} \,}![{\ Displaystyle {\ hat {n}} = \ alpha \, {\ vec {e}} _ {x} + \ beta \, {\ vec {e}} _ {y} + \ gamma \, {\ vec {e}} _ {z} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/691eeeec708b1c3191a0dbe7a8df48a3294e148b)
NOno^=(0-γβγ0-α-βα0){\ displaystyle N _ {\ hat {n}} = {\ begin {pmatrix} 0 & - \ gamma & \ beta \\\ gamma & 0 & - \ alpha \\ - \ beta & \ alpha & 0 \ end { pmatrix}}}![{\ displaystyle N _ {\ hat {n}} = {\ begin {pmatrix} 0 & - \ gamma & \ beta \\\ gamma & 0 & - \ alpha \\ - \ beta & \ alpha & 0 \ end { pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3da7c7b3d1a17f28f1c79f10f0cab2e6f9f43b0)
.
Entonces :
miθNOno^=Rno^(θ){\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ theta \, N _ {\ hat {n}}} = R _ {\ hat {n}} (\ theta)}![{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ theta \, N _ {\ hat {n}}} = R _ {\ hat {n}} (\ theta)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bec2ec6264c027ac54a2603e887e31128e1ba3a7)
es la matriz de rotación del ángulo θ alrededor de un eje Δ del vector unitario .
no^{\ Displaystyle {\ hat {n}}}![{\ Displaystyle {\ hat {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d125dccc556f5c8b0bf98a4f3847590b3f353bd4)
Deformaciones
En geología estructural nos interesa la deformación finita resultante, después de cierto tiempo, de una deformación progresiva:
r→F=D⋅r→0{\ Displaystyle {\ vec {r}} _ {\ mathrm {f}} = D \ cdot {\ vec {r}} _ {0}}![{\ Displaystyle {\ vec {r}} _ {\ mathrm {f}} = D \ cdot {\ vec {r}} _ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/159d0c72e44810f15c539e40249c5f170a63c4cc)
,
Dr→Dt=L(t)⋅r→(t){\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}}} {\ mathrm {d} t}} = L (t) \ cdot {\ vec {r}} (t)}![{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {r}}} {\ mathrm {d} t}} = L (t) \ cdot {\ vec {r}} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66bf3dd2568b5237b4f17b548b1f8619bba2f599)
,
donde denota el vector de posición con respecto a un punto material arbitrario elegido como origen (que puede seguir cualquier trayectoria entre los tiempos t 0 y t f ), la posición inicial (en ) y la posición final (en t = t f ). D es la "matriz de deformación finita" y L ( t ) la "matriz de deformación progresiva".
r→(t)=OMETRO→{\ Displaystyle {\ vec {r}} (t) = {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}}}
r→0{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {0}}
t=t0{\ Displaystyle t = t_ {0}}
r→F{\ Displaystyle {\ vec {r}} _ {\ mathrm {f}}}![{\ Displaystyle {\ vec {r}} _ {\ mathrm {f}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9bcc5a1fb85bdbd1ae2bcc6d34dc51554aa396c)
- Si L ( t ) es una matriz constante L , entonces:
D=mi(t-t0)L{\ Displaystyle D = \ mathrm {e} ^ {(t-t_ {0}) L}}
.
- Si L ( t ) varía pero conmuta con su derivada , entonces la fórmula anterior se generaliza a:
(DL/Dt){\ Displaystyle ({\ mathrm {d} L} / {\ mathrm {d} t})}
D=mi∫t0tFL(τ)Dτ{\ Displaystyle D = \ mathrm {e} ^ {\ int _ {t_ {0}} ^ {t _ {\ mathrm {f}}} L (\ tau) \, \ mathrm {d} \ tau}}
.
- En el caso general, solo podemos expresar D en forma de expansión en serie .
Cálculos del exponencial de una matriz
El cálculo de una matriz exponencial no es a priori un problema fácil. Sin embargo, en determinados casos, y en particular los de matriz diagonal y de matriz nilpotente, no presenta ninguna dificultad. Una vez hecha esta observación, el caso general puede tratarse reduciendo a los dos casos anteriores.
Matriz diagonalizable
Si D es una matriz diagonal , es decir:
D=(D10...00D2...0⋮⋮⋱⋮00...Dno){\ displaystyle D = {\ begin {pmatrix} d_ {1} & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & d_ {2} & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ ldots & d_ {n} \ end {pmatrix}}}![{\ displaystyle D = {\ begin {pmatrix} d_ {1} & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & d_ {2} & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ ldots & d_ {n} \ end {pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade9eb7d179af94723a7c79e3732f0ee73214e83)
,
entonces su exponencial se obtiene calculando el exponencial de cada uno de los términos de la diagonal principal:
miD=(miD10...00miD2...0⋮⋮⋱⋮00...miDno){\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {D} = {\ begin {pmatrix} \ mathrm {e} ^ {d_ {1}} & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & \ mathrm {e} ^ {d_ {2}} & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ ldots & \ mathrm {e} ^ {d_ {n}} \ end {pmatrix}}}![{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {D} = {\ begin {pmatrix} \ mathrm {e} ^ {d_ {1}} & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & \ mathrm {e} ^ {d_ {2}} & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ ldots & \ mathrm {e} ^ {d_ {n}} \ end {pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6c5ad2ea55451fa8b0a11bca561d4994a1fe732)
.
Si A es una matriz diagonalizable , es decir:
A=PAGDPAG-1{\ Displaystyle A = PDP ^ {- 1}}![A = PDP ^ {{- 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb65274012f2c5751a348bd334c9cd347b5d1ea)
donde D es diagonal, entonces
miA=PAGmiDPAG-1{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {A} = P \ mathrm {e} ^ {D} P ^ {- 1}}![{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {A} = P \ mathrm {e} ^ {D} P ^ {- 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d55e2ab9b14a3101d191d3eaa50fd74e46981c0)
.
Las conservas exponenciales fuera áreas limpias o sub-espacios abarcado por los vectores columna de P .
Además, los valores de E A son las de los exponenciales A o e elementos diagonales de D .
Matriz nilpotente
Una matriz N es nilpotente si N q = 0 para un número entero q . En este caso, su e N exponencial se calcula directamente a partir de su desarrollo en serie, ya que éste comprende solo un número finito de términos:
miNO=I+NO+NO22!+NO33!+⋯+NOq-1(q-1)!{\ Displaystyle \ operatorname {e} ^ {N} = I + N + {\ frac {N ^ {2}} {2!}} + {\ frac {N ^ {3}} {3!}} + \ cdots + {\ frac {N ^ {q-1}} {(q-1)!}}}![{\ Displaystyle \ operatorname {e} ^ {N} = I + N + {\ frac {N ^ {2}} {2!}} + {\ frac {N ^ {3}} {3!}} + \ cdots + {\ frac {N ^ {q-1}} {(q-1)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2878a26b00dc22d01692a50b89d1aaa3e5f215a)
.
Cualquier matriz
Cuando se divide el polinomio mínimo de una matriz X (que es siempre el caso, en particular, de las matrices con coeficientes complejos), la descomposición de Dunford da
X=A+NO{\ Displaystyle X = A + N \,}![X = A + N \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6c484f44729510798f166ff8b1d7afc35748a5d)
o
-
A es diagonalizable;
-
N es nilpotente;
-
A conmuta con N .
En consecuencia, el cálculo de la exponencial de X se reduce a los dos casos anteriores:
miX=miA+NO=miAmiNO{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {X} = \ mathrm {e} ^ {A + N} = \ mathrm {e} ^ {A} \ mathrm {e} ^ {N}}![{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {X} = \ mathrm {e} ^ {A + N} = \ mathrm {e} ^ {A} \ mathrm {e} ^ {N}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97686659b36c3a1eebfed7a2fd53a0f0d0b2e4a3)
.
También se puede invocar la reducción de Jordan : sea J la forma de Jordan de X y P la matriz de paso . Entonces,
miX=PAGmiJPAG-1{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {X} = P \ mathrm {e} ^ {J} P ^ {- 1}}![{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {X} = P \ mathrm {e} ^ {J} P ^ {- 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39329e25fb832e2be67c05bca1e21ff614cd21c8)
.
Ya que
J=Ja1(λ1)⊕Ja2(λ2)⊕⋯⊕Jano(λno){\ Displaystyle J = J_ {a_ {1}} (\ lambda _ {1}) \ oplus J_ {a_ {2}} (\ lambda _ {2}) \ oplus \ cdots \ oplus J_ {a_ {n}} (\ lambda _ {n})}![{\ Displaystyle J = J_ {a_ {1}} (\ lambda _ {1}) \ oplus J_ {a_ {2}} (\ lambda _ {2}) \ oplus \ cdots \ oplus J_ {a_ {n}} (\ lambda _ {n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8cf188ef7644c9ea81b79ed2887e20b1034c30f)
,
miJ{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {J}}
|
=Exp(Ja1(λ1)⊕Ja2(λ2)⊕⋯⊕Jano(λno)){\ Displaystyle = \ exp \ left (J_ {a_ {1}} (\ lambda _ {1}) \ oplus J_ {a_ {2}} (\ lambda _ {2}) \ oplus \ cdots \ oplus J_ {a_ {n}} (\ lambda _ {n}) \ right)}
|
|
=Exp(Ja1(λ1))⊕Exp(Ja2(λ2))⊕⋯⊕Exp(Jak(λk)){\ displaystyle = \ exp \ left (J_ {a_ {1}} (\ lambda _ {1}) \ right) \ oplus \ exp \ left (J_ {a_ {2}} (\ lambda _ {2}) \ derecha) \ oplus \ cdots \ oplus \ exp \ left (J_ {a_ {k}} (\ lambda _ {k}) \ right)} .
|
En consecuencia, solo se necesita conocer el método para calcular la exponencial de un bloque de Jordan. Cada uno es de la forma
Ja(λ)=λI+NO{\ Displaystyle J_ {a} (\ lambda) = \ lambda I + N}![{\ Displaystyle J_ {a} (\ lambda) = \ lambda I + N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/923847429fcdad7652909729aaf698d49099b667)
donde N es una matriz nilpotente. La exponencial del bloque viene dada por
miλI+NO=miλmiNO{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ lambda I + N} = \ mathrm {e} ^ {\ lambda} \ mathrm {e} ^ {N}}![{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ lambda I + N} = \ mathrm {e} ^ {\ lambda} \ mathrm {e} ^ {N}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/548d76718535bb659eef8b4e6aa5b240422e9c0b)
.
Ejemplo
Deja que la matriz sea
B=(21176-5-1-644dieciséis){\ displaystyle B = {\ begin {pmatrix} 21 & 17 & 6 \\ - 5 & -1 & -6 \\ 4 & 4 & 16 \ end {pmatrix}}}![B = {\ begin {pmatrix} 21 & 17 & 6 \\ - 5 & -1 & -6 \\ 4 & 4 & 16 \ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b0b0ecb0c11bf1f944a239fb6b9b78158c6412)
que tiene la forma de Jordan
J=PAG-1BPAG=(4000dieciséis100dieciséis){\ displaystyle J = P ^ {- 1} BP = {\ begin {pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 1 \\ 0 & 0 & 16 \ end {pmatrix}}}![J = P ^ {- 1} BP = \ begin {pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 1 \\ 0 & 0 & 16 \ end {pmatrix}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8696921fa9807a8776c192753ba1291ad426d446)
y la matriz de paso
PAG=(-1425414-2-14040){\ Displaystyle P = {\ begin {pmatrix} - {\ frac {1} {4}} & 2 & {\ frac {5} {4}} \\ {\ frac {1} {4}} & - 2 & - {\ frac {1} {4}} \\ 0 & 4 & 0 \ end {pmatrix}}}![{\ Displaystyle P = {\ begin {pmatrix} - {\ frac {1} {4}} & 2 & {\ frac {5} {4}} \\ {\ frac {1} {4}} & - 2 & - {\ frac {1} {4}} \\ 0 & 4 & 0 \ end {pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b667c3f57c6580d860018ae37fc358733151023)
,
contrarrestar
PAG-1=(1520014110){\ displaystyle P ^ {- 1} = {\ begin {pmatrix} 1 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & {\ frac {1} {4}} \\ 1 & 1 & 0 \ end {pmatrix}} }![{\ displaystyle P ^ {- 1} = {\ begin {pmatrix} 1 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & {\ frac {1} {4}} \\ 1 & 1 & 0 \ end {pmatrix}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a518d1b698fa5f3983396649258b120a97cbee)
.
Ahora,
J=J1(4)⊕J2(dieciséis)ymiB=PAGmiJPAG-1=PAG(miJ1(4)⊕miJ2(dieciséis))PAG-1{\ Displaystyle J = J_ {1} (4) \ oplus J_ {2} (16) \ qquad {\ text {et}} \ qquad \ mathrm {e} ^ {B} = P \ mathrm {e} ^ { J} P ^ {- 1} = P \ left (\ mathrm {e} ^ {J_ {1} (4)} \ oplus \ mathrm {e} ^ {J_ {2} (16)} \ right) P ^ {-1}}![{\ Displaystyle J = J_ {1} (4) \ oplus J_ {2} (16) \ qquad {\ text {et}} \ qquad \ mathrm {e} ^ {B} = P \ mathrm {e} ^ { J} P ^ {- 1} = P \ left (\ mathrm {e} ^ {J_ {1} (4)} \ oplus \ mathrm {e} ^ {J_ {2} (16)} \ right) P ^ {-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e914a6b73621b40719a230091b5dab2d54d778)
.
La exponencial de la matriz 1 × 1 J 1 (4) = [4] es simplemente la matriz 1 × 1 [e 4 ].
El exponencial de la matriz 2 × 2 J 2 (16) se puede calcular mediante la fórmula e λ I + N = e λ e N mencionada anteriormente; obtenemos
Exp(dieciséisI+(0100))=midieciséis((1001)+(0100)+12!(0000)+⋯)=(midieciséismidieciséis0midieciséis){\ displaystyle \ exp \ left (16I + {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} \ right) = \ mathrm {e} ^ {16} \ left ({\ begin { pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} + {1 \ over 2!} {\ Begin {pmatrix } 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} + \ cdots \ right) = {\ begin {pmatrix} \ mathrm {e} ^ {16} & \ mathrm {e} ^ {16} \\ 0 & \ mathrm {e} ^ {16} \ end {pmatrix}}}![{\ displaystyle \ exp \ left (16I + {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} \ right) = \ mathrm {e} ^ {16} \ left ({\ begin { pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} + {1 \ over 2!} {\ Begin {pmatrix } 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} + \ cdots \ right) = {\ begin {pmatrix} \ mathrm {e} ^ {16} & \ mathrm {e} ^ {16} \\ 0 & \ mathrm {e} ^ {16} \ end {pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e584736a503f74e079ce22bdf998e5758ec2d6a4)
,
de donde
miB=PAG(mi4000midieciséismidieciséis00midieciséis)PAG-1=14(13midieciséis-mi413midieciséis-5mi42midieciséis-2mi4-9midieciséis+mi4-9midieciséis+5mi4-2midieciséis+2mi4dieciséismidieciséisdieciséismidieciséis4midieciséis){\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {B} = P {\ begin {pmatrix} \ mathrm {e} ^ {4} & 0 & 0 \\ 0 & \ mathrm {e} ^ {16} & \ mathrm { e} ^ {16} \\ 0 & 0 & \ mathrm {e} ^ {16} \ end {pmatrix}} P ^ {- 1} = {1 \ over 4} {\ begin {pmatrix} 13 \ mathrm { e} ^ {16} - \ mathrm {e} ^ {4} & 13 \ mathrm {e} ^ {16} -5 \ mathrm {e} ^ {4} & 2 \ mathrm {e} ^ {16} - 2 \ mathrm {e} ^ {4} \\ - 9 \ mathrm {e} ^ {16} + \ mathrm {e} ^ {4} & - 9 \ mathrm {e} ^ {16} +5 \ mathrm { e} ^ {4} & - 2 \ mathrm {e} ^ {16} +2 \ mathrm {e} ^ {4} \\ 16 \ mathrm {e} ^ {16} & 16 \ mathrm {e} ^ { 16} & 4 \ mathrm {e} ^ {16} \ end {pmatrix}}}![{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {B} = P {\ begin {pmatrix} \ mathrm {e} ^ {4} & 0 & 0 \\ 0 & \ mathrm {e} ^ {16} & \ mathrm { e} ^ {16} \\ 0 & 0 & \ mathrm {e} ^ {16} \ end {pmatrix}} P ^ {- 1} = {1 \ over 4} {\ begin {pmatrix} 13 \ mathrm { e} ^ {16} - \ mathrm {e} ^ {4} & 13 \ mathrm {e} ^ {16} -5 \ mathrm {e} ^ {4} & 2 \ mathrm {e} ^ {16} - 2 \ mathrm {e} ^ {4} \\ - 9 \ mathrm {e} ^ {16} + \ mathrm {e} ^ {4} & - 9 \ mathrm {e} ^ {16} +5 \ mathrm { e} ^ {4} & - 2 \ mathrm {e} ^ {16} +2 \ mathrm {e} ^ {4} \\ 16 \ mathrm {e} ^ {16} & 16 \ mathrm {e} ^ { 16} & 4 \ mathrm {e} ^ {16} \ end {pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8985fd0445b05efd00375d4da2ab92aa185ee6a)
.
Aplicaciones
Ecuaciones diferenciales lineales
Una de las primeras aplicaciones del exponencial de matrices es la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias . De hecho, de la ecuación anterior, deducimos que la solución de:
DDty(t)=Ay(t),y(0)=y0{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} y (t) = Ay (t), \ quad y (0) = y_ {0}}![{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} y (t) = Ay (t), \ quad y (0) = y_ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b2dd717a9c6df775f0e28bb21d995029a96a91)
,
donde A es una matriz, viene dada por
y(t)=miAty0{\ Displaystyle y (t) = \ mathrm {e} ^ {At} y_ {0}}![{\ Displaystyle y (t) = \ mathrm {e} ^ {At} y_ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26285ac6faeb89944f1276a08e38315676f299d)
.
El exponencial de una matriz también se puede utilizar para resolver ecuaciones no homogéneas:
DDty(t)=Ay(t)+B(t),y(0)=y0{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} y (t) = Ay (t) + b (t), \ quad y (0) = y_ {0}}![{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} y (t) = Ay (t) + b (t), \ quad y (0) = y_ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/197b32fa5dd1ab5293907fa70010421c9b4f0127)
.
Al multiplicar por e - At , tenemos
mi-AtDDty(t)-mi-AtAy(t)=mi-AtB{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {- At} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} y (t) - \ mathrm {e} ^ {- At} Ay (t ) = \ mathrm {e} ^ {- At} b}
DDt(mi-Aty)=mi-AtB{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (\ mathrm {e} ^ {- At} y) = \ mathrm {e} ^ {- At} b}![{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (\ mathrm {e} ^ {- At} y) = \ mathrm {e} ^ {- At} b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bfdda278d31b4bce9a3d1df287079d0bdefa011)
.
Por tanto, la resolución del sistema se reduce al cálculo de e At .
No hay una solución explícita para las ecuaciones diferenciales de la forma:
DDty(t)=A(t)y(t),y(0)=y0{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} y (t) = A (t) \, y (t), \ quad y (0) = y_ {0}}![{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} y (t) = A (t) \, y (t), \ quad y (0) = y_ {0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4f60f9d2a1e4f0f877be73d4d43703402fff2ae)
donde A no es constante, pero el desarrollo de Magnus (in) da la solución como una suma infinita.
Ejemplo (ecuación homogénea)
O el sistema
{X′=2X-y+zy′=3y-zz′=2X+y+3z.{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x '& = & 2x & -y & + z \\ y' & = && 3y & -z \\ z '& = & 2x & + y & + 3z . \ end {matriz}} \ right.}![{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x '& = & 2x & -y & + z \\ y' & = && 3y & -z \\ z '& = & 2x & + y & + 3z . \ end {matriz}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/579a9f8817acd849f8ce84281dd742b84cb63491)
La matriz asociada es
METRO=(2-1103-1213){\ displaystyle M = {\ begin {pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \ end {pmatrix}}}![M = {\ begin {pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \ end {pmatrix}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b495794007edd607892b7730a771f552bb2062c1)
y su exponencial es
mitMETRO=(-11110-11-11)(mitJ2(2)⊕mitJ1(4))(1/211/21101/201/2)=((mi2t(1-2t)+mi4t)/2-tmi2t(-mi2t+mi4t)/2(mi2t(1+2t)-mi4t)/2mi2t(1+t)(mi2t-mi4t)/2(mi2t(-1+2t)+mi4t)/2tmi2t(mi2t+mi4t)/2).{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathrm {e} ^ {tM} & = {\ begin {pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \ end {pmatrix}} \ left (\ mathrm {e} ^ {tJ_ {2} (2)} \ oplus \ mathrm {e} ^ {tJ_ {1} (4)} \ right) {\ begin {pmatrix} 1 / 2 & 1 & 1/2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1/2 & 0 & 1/2 \ end {pmatrix}} \\ & = {\ begin {pmatrix} (\ mathrm {e} ^ {2t } (1-2t) + \ mathrm {e} ^ {4t}) / 2 & -t \ mathrm {e} ^ {2t} & (- \ mathrm {e} ^ {2t} + \ mathrm {e} ^ {4t}) / 2 \\ (\ mathrm {e} ^ {2t} (1 + 2t) - \ mathrm {e} ^ {4t}) / 2 & \ mathrm {e} ^ {2t} (1 + t ) & (\ mathrm {e} ^ {2t} - \ mathrm {e} ^ {4t}) / 2 \\ (\ mathrm {e} ^ {2t} (- 1 + 2t) + \ mathrm {e} ^ {4t}) / 2 & t \ mathrm {e} ^ {2t} & (\ mathrm {e} ^ {2t} + \ mathrm {e} ^ {4t}) / 2 \ end {pmatrix}}. \ End {alineado}}}![{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathrm {e} ^ {tM} & = {\ begin {pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \ end {pmatrix}} \ left (\ mathrm {e} ^ {tJ_ {2} (2)} \ oplus \ mathrm {e} ^ {tJ_ {1} (4)} \ right) {\ begin {pmatrix} 1 / 2 & 1 & 1/2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1/2 & 0 & 1/2 \ end {pmatrix}} \\ & = {\ begin {pmatrix} (\ mathrm {e} ^ {2t } (1-2t) + \ mathrm {e} ^ {4t}) / 2 & -t \ mathrm {e} ^ {2t} & (- \ mathrm {e} ^ {2t} + \ mathrm {e} ^ {4t}) / 2 \\ (\ mathrm {e} ^ {2t} (1 + 2t) - \ mathrm {e} ^ {4t}) / 2 & \ mathrm {e} ^ {2t} (1 + t ) & (\ mathrm {e} ^ {2t} - \ mathrm {e} ^ {4t}) / 2 \\ (\ mathrm {e} ^ {2t} (- 1 + 2t) + \ mathrm {e} ^ {4t}) / 2 & t \ mathrm {e} ^ {2t} & (\ mathrm {e} ^ {2t} + \ mathrm {e} ^ {4t}) / 2 \ end {pmatrix}}. \ End {alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2fb74e7ba7c024286f907373e67bbf5ab5a3fe0)
Por tanto, la solución general del sistema es
(Xyz)=VS12(mi2t(1-2t)+mi4tmi2t(1+2t)-mi4tmi2t(-1+2t)+mi4t)+VS2(-tmi2tmi2t(1+t)tmi2t)+VS32(-mi2t+mi4tmi2t-mi4tmi2t+mi4t){\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}} = {\ frac {C_ {1}} {2}} {\ begin {pmatrix} \ mathrm {e} ^ {2t } (1-2t) + \ mathrm {e} ^ {4t} \\\ mathrm {e} ^ {2t} (1 + 2t) - \ mathrm {e} ^ {4t} \\\ mathrm {e} ^ {2t} (- 1 + 2t) + \ mathrm {e} ^ {4t} \ end {pmatrix}} + C_ {2} {\ begin {pmatrix} -t \ mathrm {e} ^ {2t} \\\ mathrm {e} ^ {2t} (1 + t) \\ t \ mathrm {e} ^ {2t} \ end {pmatrix}} + {\ frac {C_ {3}} {2}} {\ begin {pmatrix } - \ mathrm {e} ^ {2t} + \ mathrm {e} ^ {4t} \\\ mathrm {e} ^ {2t} - \ mathrm {e} ^ {4t} \\\ mathrm {e} ^ {2t} + \ mathrm {e} ^ {4t} \ end {pmatrix}}}![{\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}} = {\ frac {C_ {1}} {2}} {\ begin {pmatrix} \ mathrm {e} ^ {2t } (1-2t) + \ mathrm {e} ^ {4t} \\\ mathrm {e} ^ {2t} (1 + 2t) - \ mathrm {e} ^ {4t} \\\ mathrm {e} ^ {2t} (- 1 + 2t) + \ mathrm {e} ^ {4t} \ end {pmatrix}} + C_ {2} {\ begin {pmatrix} -t \ mathrm {e} ^ {2t} \\\ mathrm {e} ^ {2t} (1 + t) \\ t \ mathrm {e} ^ {2t} \ end {pmatrix}} + {\ frac {C_ {3}} {2}} {\ begin {pmatrix } - \ mathrm {e} ^ {2t} + \ mathrm {e} ^ {4t} \\\ mathrm {e} ^ {2t} - \ mathrm {e} ^ {4t} \\\ mathrm {e} ^ {2t} + \ mathrm {e} ^ {4t} \ end {pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc1e596e081ee1dfaf81552d6612f5d4f83c2dc)
es decir, planteando , y :
a=VS1/2{\ Displaystyle a = C_ {1} / 2}
B=VS2{\ Displaystyle b = C_ {2}}
vs=VS3/2{\ Displaystyle c = C_ {3} / 2}![c = C_ {3} / 2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/640fb1e27df655e9aa97ed967fdc542f148e7166)
X=a(mi2t(1-2t)+mi4t)-Btmi2t+vs(-mi2t+mi4t)y=a(mi2t(1+2t)-mi4t)+Bmi2t(1+t)+vs(mi2t-mi4t)z=a(mi2t(-1+2t)+mi4t)+Btmi2t+vs(mi2t+mi4t).{\ Displaystyle {\ begin {alineado} x & = a (\ mathrm {e} ^ {2t} (1-2t) + \ mathrm {e} ^ {4t}) - bt \ mathrm {e} ^ {2t} + c (- \ mathrm {e} ^ {2t} + \ mathrm {e} ^ {4t}) \\ y & = a (\ mathrm {e} ^ {2t} (1 + 2t) - \ mathrm {e } ^ {4t}) + b \ mathrm {e} ^ {2t} (1 + t) + c (\ mathrm {e} ^ {2t} - \ mathrm {e} ^ {4t}) \\ z & = a (\ mathrm {e} ^ {2t} (- 1 + 2t) + \ mathrm {e} ^ {4t}) + bt \ mathrm {e} ^ {2t} + c (\ mathrm {e} ^ {2t } + \ mathrm {e} ^ {4t}). \ end {alineado}}}
Ejemplo (ecuación no homogénea, variación de la constante)
Para una ecuación no homogénea, se puede utilizar un método similar a variar la constante .
Buscamos una solución de la forma y p ( t ) = exp ( tA ) z ( t ) :
ypag′=(mitA)′z(t)+mitAz′(t)=AmitAz(t)+mitAz′(t)=Aypag(t)+mitAz′(t){\ Displaystyle \ mathbf {y} _ {p} '= (\ mathrm {e} ^ {tA})' \ mathbf {z} (t) + \ mathrm {e} ^ {tA} \ mathbf {z} ' (t) = A \ mathrm {e} ^ {tA} \ mathbf {z} (t) + \ mathrm {e} ^ {tA} \ mathbf {z} '(t) = A \ mathbf {y} _ { p} (t) + \ mathrm {e} ^ {tA} \ mathbf {z} '(t)}![{\ Displaystyle \ mathbf {y} _ {p} '= (\ mathrm {e} ^ {tA})' \ mathbf {z} (t) + \ mathrm {e} ^ {tA} \ mathbf {z} ' (t) = A \ mathrm {e} ^ {tA} \ mathbf {z} (t) + \ mathrm {e} ^ {tA} \ mathbf {z} '(t) = A \ mathbf {y} _ { p} (t) + \ mathrm {e} ^ {tA} \ mathbf {z} '(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49da7c1d435722027206ee4450ae578409e82516)
Con y p como solución:
mitAz′(t)=B(t){\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {tA} \ mathbf {z} '(t) = \ mathbf {b} (t)}
z′(t)=(mitA)-1B(t){\ Displaystyle \ mathbf {z} '(t) = (\ mathrm {e} ^ {tA}) ^ {- 1} \ mathbf {b} (t)}
z(t)=∫0tmi-tuAB(tu)Dtu+vs{\ Displaystyle \ mathbf {z} (t) = \ int _ {0} ^ {t} \ mathrm {e} ^ {- uA} \ mathbf {b} (u) \, \ mathrm {d} u + \ mathbf {vs}}![{\ Displaystyle \ mathbf {z} (t) = \ int _ {0} ^ {t} \ mathrm {e} ^ {- uA} \ mathbf {b} (u) \, \ mathrm {d} u + \ mathbf {vs}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f942bb24db61a946e3c919df19dc3c422241e070)
.
Entonces,
ypag=mitA∫0tmi-tuAB(tu)Dtu+mitAvs=∫0tmi(t-tu)AB(tu)Dtu+mitAvs{\ Displaystyle \ mathbf {y} _ {p} = \ mathrm {e} ^ {tA} \ int _ {0} ^ {t} \ mathrm {e} ^ {- uA} \ mathbf {b} (u) \, \ mathrm {d} u + \ mathrm {e} ^ {tA} \ mathbf {c} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathrm {e} ^ {(usted) A} \ mathbf {b } (u) \, \ mathrm {d} u + \ mathrm {e} ^ {tA} \ mathbf {c}}![{\ Displaystyle \ mathbf {y} _ {p} = \ mathrm {e} ^ {tA} \ int _ {0} ^ {t} \ mathrm {e} ^ {- uA} \ mathbf {b} (u) \, \ mathrm {d} u + \ mathrm {e} ^ {tA} \ mathbf {c} = \ int _ {0} ^ {t} \ mathrm {e} ^ {(usted) A} \ mathbf {b } (u) \, \ mathrm {d} u + \ mathrm {e} ^ {tA} \ mathbf {c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0d7bd736635568d6b6e9f05084388275bc27d1d)
donde c depende de las condiciones iniciales.
Ejemplo (no homogéneo)
O el sistema
{X′=2X-y+z+mi2ty′=3y-1zz′=2X+y+3z+mi2t.{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x '& = & 2x & -y & + z & + \ mathrm {e} ^ {2t} \\ y' & = && 3y & -1z & \\ z '& = & 2x & + y & + 3z & + \ mathrm {e} ^ {2t}. \ End {matriz}} \ right.}![{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x '& = & 2x & -y & + z & + \ mathrm {e} ^ {2t} \\ y' & = && 3y & -1z & \\ z '& = & 2x & + y & + 3z & + \ mathrm {e} ^ {2t}. \ End {matriz}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/604b2eb940cbcac7fd3bb04ee277148086eb9fb1)
Entonces tenemos
METRO=(2-1103-1213)yB=mi2t(101){\ displaystyle M = {\ begin {pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \ end {pmatrix}} \ qquad {\ text {et}} \ qquad \ mathbf {b} = \ mathrm {e} ^ {2t} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}![{\ displaystyle M = {\ begin {pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \ end {pmatrix}} \ qquad {\ text {et}} \ qquad \ mathbf {b} = \ mathrm {e} ^ {2t} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38840d2721144ede0609f46106e28f1667b6d8d0)
.
Como antes, la suma de la solución homogénea y la solución particular da la solución general. Conocida la solución homogénea, basta con encontrar la solución particular.
ypag=mit∫0tmi-tuA(mi2tu0mi2tu)Dtu+mitAvs=mit∫0t(2mitu-2tumi2tu-2tumi2tu0-2mitu+2(tu+1)mi2tu2(tu+1)mi2tu02tumi2tu2tumi2tu2mitu)(mi2tu0mi2tu)Dtu+mitAvs=mit∫0t(mi2tu(2mitu-2tumi2tu)mi2tu(-2mitu+2(1+tu)mi2tu)2mi3tu+2tumi4tu)Dtu+mitAvs=mit(-124mi3t(3mit(4t-1)-dieciséis)124mi3t(3mit(4t+4)-dieciséis)124mi3t(3mit(4t-1)-dieciséis))+(2mit-2tmi2t-2tmi2t0-2mit+2(t+1)mi2t2(t+1)mi2t02tmi2t2tmi2t2mit)(vs1vs2vs3),{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {y} _ {p} & = \ mathrm {e} ^ {t} \ int _ {0} ^ {t} \ mathrm {e} ^ {- uA} { \ begin {pmatrix} \ mathrm {e} ^ {2u} \\ 0 \\\ mathrm {e} ^ {2u} \ end {pmatrix}} \, \ mathrm {d} u + e ^ {tA} \ mathbf {c} \\ & = \ mathrm {e} ^ {t} \ int _ {0} ^ {t} {\ begin {pmatrix} 2 \ mathrm {e} ^ {u} -2u \ mathrm {e} ^ {2u} & - 2u \ mathrm {e} ^ {2u} & 0 \\\\ - 2 \ mathrm {e} ^ {u} +2 (u + 1) \ mathrm {e} ^ {2u} & 2 (u +1) \ mathrm {e} ^ {2u} & 0 \\\\ 2u \ mathrm {e} ^ {2u} & 2u \ mathrm {e} ^ {2u} & 2 \ mathrm {e} ^ { u} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ mathrm {e} ^ {2u} \\ 0 \\\ mathrm {e} ^ {2u} \ end {pmatrix}} \, \ mathrm {d} u + \ mathrm {e} ^ {tA} \ mathbf {c} \\ & = \ mathrm {e} ^ {t} \ int _ {0} ^ {t} {\ begin {pmatrix} \ mathrm {e} ^ {2u} (2 \ mathrm {e} ^ {u} -2u \ mathrm {e} ^ {2u}) \\\\\ mathrm {e} ^ {2u} (- 2 \ mathrm {e} ^ { u} +2 (1 + u) \ mathrm {e} ^ {2u}) \\\\ 2 \ mathrm {e} ^ {3u} + 2u \ mathrm {e} ^ {4u} \ end {pmatrix}} \, \ mathrm {d} u + \ mathrm {e} ^ {tA} \ mathbf {c} \\ & = \ mathrm {e} ^ {t} {\ begin {pmatrix} - {1 \ over 24} \ mathrm {e} ^ {3t} (3 \ mathrm {e} ^ {t} (4t-1) -16) \\\\ {1 \ over 24} \ mathrm {e} ^ {3t} (3 \ mathrm {e} ^ {t} (4t + 4) -16) \\\\ { 1 \ over 24} \ mathrm {e} ^ {3t} (3 \ mathrm {e} ^ {t} (4t-1) -16) \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} 2 \ mathrm { e} ^ {t} -2t \ mathrm {e} ^ {2t} & - 2t \ mathrm {e} ^ {2t} & 0 \\\\ - 2 \ mathrm {e} ^ {t} +2 (t + 1) \ mathrm {e} ^ {2t} & 2 (t + 1) \ mathrm {e} ^ {2t} & 0 \\\\ 2t \ mathrm {e} ^ {2t} & 2t \ mathrm {e } ^ {2t} & 2 \ mathrm {e} ^ {t} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} c_ {1} \\ c_ {2} \\ c_ {3} \ end {pmatrix}} , \ end {alineado}}}![{\ displaystyle {\ begin {alineado} \ mathbf {y} _ {p} & = \ mathrm {e} ^ {t} \ int _ {0} ^ {t} \ mathrm {e} ^ {- uA} { \ begin {pmatrix} \ mathrm {e} ^ {2u} \\ 0 \\\ mathrm {e} ^ {2u} \ end {pmatrix}} \, \ mathrm {d} u + e ^ {tA} \ mathbf {c} \\ & = \ mathrm {e} ^ {t} \ int _ {0} ^ {t} {\ begin {pmatrix} 2 \ mathrm {e} ^ {u} -2u \ mathrm {e} ^ {2u} & - 2u \ mathrm {e} ^ {2u} & 0 \\\\ - 2 \ mathrm {e} ^ {u} +2 (u + 1) \ mathrm {e} ^ {2u} & 2 (u +1) \ mathrm {e} ^ {2u} & 0 \\\\ 2u \ mathrm {e} ^ {2u} & 2u \ mathrm {e} ^ {2u} & 2 \ mathrm {e} ^ { u} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ mathrm {e} ^ {2u} \\ 0 \\\ mathrm {e} ^ {2u} \ end {pmatrix}} \, \ mathrm {d} u + \ mathrm {e} ^ {tA} \ mathbf {c} \\ & = \ mathrm {e} ^ {t} \ int _ {0} ^ {t} {\ begin {pmatrix} \ mathrm {e} ^ {2u} (2 \ mathrm {e} ^ {u} -2u \ mathrm {e} ^ {2u}) \\\\\ mathrm {e} ^ {2u} (- 2 \ mathrm {e} ^ { u} +2 (1 + u) \ mathrm {e} ^ {2u}) \\\\ 2 \ mathrm {e} ^ {3u} + 2u \ mathrm {e} ^ {4u} \ end {pmatrix}} \, \ mathrm {d} u + \ mathrm {e} ^ {tA} \ mathbf {c} \\ & = \ mathrm {e} ^ {t} {\ begin {pmatrix} - {1 \ over 24} \ mathrm {e} ^ {3t} (3 \ mathrm {e} ^ {t} (4t-1) -16) \\\\ {1 \ over 24} \ mathrm {e} ^ {3t} (3 \ mathrm {e} ^ {t} (4t + 4) -16) \\\\ { 1 \ over 24} \ mathrm {e} ^ {3t} (3 \ mathrm {e} ^ {t} (4t-1) -16) \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} 2 \ mathrm { e} ^ {t} -2t \ mathrm {e} ^ {2t} & - 2t \ mathrm {e} ^ {2t} & 0 \\\\ - 2 \ mathrm {e} ^ {t} +2 (t + 1) \ mathrm {e} ^ {2t} & 2 (t + 1) \ mathrm {e} ^ {2t} & 0 \\\\ 2t \ mathrm {e} ^ {2t} & 2t \ mathrm {e } ^ {2t} & 2 \ mathrm {e} ^ {t} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} c_ {1} \\ c_ {2} \\ c_ {3} \ end {pmatrix}} , \ end {alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a713b9887ef4ab0446085092da54695669607a74)
expresión que puede simplificarse para obtener la solución particular buscada.
Notas y referencias
(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en
inglés titulado
" Matriz exponencial " ( ver la lista de autores ) .
Notas
-
Esta matriz es la que permite escribir el producto cruzado como un mapa lineal :NOno^r→=no^∧r→.{\ Displaystyle N _ {\ hat {n}} \, {\ vec {r}} = {\ hat {n}} \ wedge {\ vec {r}}.}
-
Este es particularmente el caso cuando L ( t ) es proporcional a una matriz constante ( L ( t ) = L 0 f ( t ) ), o incluso si es diagonal .
-
Para verificar que esta expresión es un (el) solución del sistema diferencial y las condiciones iniciales anteriores, simplemente calculado mediante la aplicación de la definición de la matriz exponencial: .Dr→/Dt{\ Displaystyle {\ mathrm {d} {\ vec {r}}} / {\ mathrm {d} t}}
miA=I+A+A22+⋯+Anono!+⋯{\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {A} = I + A + {\ frac {A ^ {2}} {2}} + \ cdots + {\ frac {A ^ {n}} {n!}} + \ cdots}
-
Se conoce una solución analítica cerrada en algunos casos raros donde no conmuta con su derivada, en particular la de una matriz triangular .L(t){\ Displaystyle L (t)}
Referencias
-
Ver por ejemplo el capítulo "Exponencial de una matriz" sobre Wikiversidad .
-
C. Cohen-Tannoudji , B. Diu y F. Laloë , Quantum Mechanics [ detalle de la edición ], Vuelo. 1, pág. 174-175 ( en inglés en Google Books y p. 158-159 en alemán en Google Books ).
-
Albert Messiah , Mecánica Cuántica [ detalle de ediciones ], Vuelo. 1, pág. 442 de la traducción al inglés .
-
Cohen-Tannoudji, Diu y Laloë , p. 171-172.
-
Roger Godement , Introducción a la teoría de los grupos de mentiras , Berlín, Springer ,mil novecientos ochenta y dos, 305 p. ( ISBN 3-540-20034-7 , leído en línea ) , p. 263.
-
Para conocer los términos, consulte, por ejemplo (en) Janusz Czyż , Paradoxes of Measures and Dimensions Originated in Felix Hausdorff's Ideas , World Scientific,1994, 738 p. ( ISBN 978-981-02-0189-0 , leer en línea ) , pág. 421.
-
Jean-Pierre Provost y Gérard Vallée, matemáticas de la física: la física a través del filtro de las matemáticas , París, Éditions Dunod , coll. "Sup Sciences",Marzo de 2004, 1 st ed. , 331 p. ( ISBN 2-10-004652-7 ) , pág. 101-102.
-
(en) Ariel Provost, Cécile Buisson y Olivier Merle, “ De progresiva a la deformación finita y de vuelta ” , Journal of Geophysical Research: Tierra Sólida , vol. 109, n o B2,Febrero de 2004, p. 1-11, el artículo n o B02405 ( DOI 10.1029 / 2001JB001734 , leer en línea , consultado 10 de junio de, 2018 ).
-
Daniel Pham, Técnicas du Calcul matriciel , París, Dunod,1962, 387 p. , p. 232-235.
Ver también
Bibliografía
- (en) Roger A. Horn y Charles R. Johnson , Temas de análisis matricial , Cambridge University Press ,1991, 607 p. ( ISBN 0-521-46713-6 , leer en línea )
- Xavier Merlin, Álgebra , Elipses , coll. "Methodix",2007, 400 p. ( ISBN 978-2-7298-9555-6 y 2-7298-9555-8 )
- (en) Cleve Moler y Charles Van Loan , " Diecinueve formas dudosas de calcular la exponencialidad de una matriz " , SIAM Review , vol. 20, n o 4,1978( DOI 10.1137 / 1020098 )
- (en) Cleve Moler y Charles Van Loan , " Diecinueve formas dudosas de calcular la exponencialidad de una matriz, veinticinco años después " , SIAM Review , vol. 45, n o 1,2003( DOI 10.1137 / S00361445024180 )
-
(en) Roger B. Sidje, " Expokit: un paquete de software para calcular matrices exponenciales " , ACM TOMS , vol. 24, n o 1,Marzo de 1998( DOI 10.1145 / 285861.285868 ) - código fuente
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