Categoría de espacios topológicos

En matemáticas , la categoría de espacios topológicos es una construcción que explica de manera abstracta las propiedades generales observadas en el estudio de los espacios topológicos . No es la única categoría que tiene espacios topológicos como objeto, y sus propiedades generales son demasiado débiles; esto motiva la búsqueda de categorías de espacios “mejores”. Este es un ejemplo de una categoría topológica.

Definición

La categoría de espacios topológicos es la categoría superior definida de la siguiente manera:

• Los objetos son espacios topológicos  ;
• Los morfismos son mapas continuos entre dichos espacios, siendo la composición la composición habitual de funciones , y la identidad es la función de identidad .

Adiciones

Existe el functor olvidadizo de Top en la categoría de conjuntos  de ignorar la topología  :

U:Topag→Smit{\ Displaystyle U: \ mathrm {Arriba} \ a \ mathrm {Establecer}}

Este funtor forma un triplete de suma

D⊣U⊣I{\ Displaystyle D \ dashv U \ dashv I}

donde D dota al conjunto considerado con la topología discreta , y yo lo dota con la topología burda . Estos dos functores forman integraciones completas de Set in Top .

Propiedades categóricas

• Top es una categoría concreta  ;
• La parte superior está completa y cocompleta  (en)  ;
• Top no es una categoría pre-aditiva;
• Top no es un cartesiano cerrado , por lo tanto no es un topos .

Objetos

• El conjunto vacío es el objeto inicial de Top  ;
• El singleton es el objeto final de Top  ;
• Top no tiene un objeto cero;
• Top no tiene un objeto exponencial  ;

Morfismos

• Los monomorfismos de Top son los mapas continuos inyectivos;
• Los monomorfismos extremos son regulares y corresponden a incrustaciones  ;
• Los epimorfismos de Top son los mapas continuos sobreyectivos;
• Los epimorfismos extremos son regulares y corresponden a mapas de cocientes;
• Los isomorfismos de Top son homeomorfismos  ;
• Top no admite morfismo cero.

Limites

• El producto en Top corresponde al producto cartesiano proporcionado con la topología del producto .
• El ecualizador en Top es el ecualizador de conjunto provisto con la topología inducida .
• El co-ecualizador en Top es el conjunto co-ecualizador provisto con la topología del cociente .
• El límite inductivo en Top corresponde al límite establecido dotado de la topología final .
• El límite proyectivo en Top corresponde al límite establecido dotado de la topología inicial .

Ver también

Notas

1. Ver (en) "  Categoría conveniente de espacios topológicos  " en NLAB  (en) .

Referencias

• (en) Saunders Mac Lane , Categorías para el matemático que trabaja [ detalle de la edición ]
• N. Bourbaki , Elementos de las matemáticas, libro III: Topología general [ detalle de las ediciones ]