Espacio generado de forma compacta

En matemáticas , un espacio topológico se dice que es generada de forma compacta si es un Hausdorff débilmente k- espacio . Esta noción entra en juego en la teoría de la homotopía , en el estudio de los complejos CW . Un espacio X es:

• un espacio k si cualquier parte "compactamente cerrada" de X está cerrada ( se dice que una parte F de X está compactamente cerrada si para cualquier mapa continuo f de un compacto K en X , f −1 ( F ) está cerrado en K );
• débilmente Hausdorff si cualquier aplicación continua de un compacto en X está cerrado .

Justificación de las definiciones

Restringirse a los espacios k sirve principalmente para obtener una subcategoría de la de los espacios topológicos que es cartesiana cerrada .

Se muestra que X es débilmente Hausdorff, o T 2 , si y solo si su diagonal está compactamente cerrada en X × X , que es una condición más débil que la separación habitual de Hausdorff , o T 2 , para la cual la diagonal debe estar cerrada . Más precisamente, la propiedad t 2 se ubica, en la jerarquía de axiomas de separación , entre la separación T 1 y la separación KC, o T ' 2 . Un espacio KC es un espacio en el que casi todo está cerrado. En un espacio débilmente de Hausdorff, solo pedimos que se cierren las imágenes continuas de compactos. Pero luego se separan automáticamente y, por lo tanto , se compactan , y se sigue que

en un espacio X compacta generada, parte de la cual se cierra tan pronto como su intersección con cualquier compacto K de X es cerrado en K .

Podemos deducir fácilmente que X es KC. Por lo tanto, para un espacio k , estas dos nociones muy cercanas de separación (débilmente Hausdorff y KC) son de hecho equivalentes.

Una ventaja de esta hipótesis de separación es que permite una reformulación más simple de la definición de espacios k : acabamos de ver que un espacio débilmente de Hausdorff es un espacio k si y solo si su topología es consistente con la familia de sus partes compactas. . Puede ser sustituido por cerrado abierto en este producto: débilmente espacio de Hausdorff X es un k -espacio si y sólo si una porción de X se abre tan pronto como su intersección con cualquier compacto K de X está abierto en K . También podemos reemplazar la familia de todos los compactos de X por cualquier superposición por cuasi compactos.

Uno de los intereses de no imponer una condición de separación más fuerte, como la separación habitual, es preservar la estabilidad por colimitas  : no se puede separar el cociente de un espacio k- separado por uno cerrado.

Ejemplos de

Los espacios k son exactamente los cocientes de espacios localmente compactos , en particular, cualquier espacio localmente compacto (separado por definición) se genera de forma compacta.

Cualquier espacio metrizable se genera de forma compacta. De manera más general, cualquier espacio secuencial es un espacio k y si tiene un límite secuencial único, entonces es débilmente Hausdorff .

Cualquier CW compleja se genera y separa de forma compacta.

Propiedades

Cualquier espacio X puede ser equipado con una nueva topología definida como: cerrado este nuevo espacio, denota kX , son por definición cerrada partes forma compacta de X . Por tanto, la topología de kX es más fina que la de X, pero los mapas continuos de un compacto en X o kX son los mismos, de modo que kX es un k -espacio. De manera más general, cualquier mapa continuo de un k- espacio Y en X es continuo desde Y en kX . En otras palabras: el functor de “  k -ificación” se agrega a la derecha de la inclusión de la subcategoría de k -espacios en la de espacios topológicos; además, si X es débilmente Hausdorff, entonces kX también.

La inclusión de la subcategoría de espacios débilmente de Hausdorff, por otro lado, admite un asistente de la mano izquierda, que asocia con cualquier espacio su cociente máximo débilmente de Hausdorff.

Cualquier cociente y cualquier unión disjunta de k -espacios es un k -espacio, como lo es todo lo que produce un compacto local.

El producto existe en la categoría de k -espacios: es la k -ificación del producto de espacios topológicos, a veces denotado por × k , lo que lo convierte en una categoría monoidal . Como cualquier producto de espacios débilmente Hausdorff es débilmente Hausdorff, la subcategoría de espacios generados de forma compacta también es monoidal.

X es un k -espacio (y si) sólo si todas las aplicaciones de X en cualquier espacio continúa en cada compacto X es continua sobre X .

Cualquier parte cerrada de un espacio k es un espacio k , pero el espacio de Arens-Fort , aunque es un subespacio de un compacto, no es un espacio k .

Si X e Y son k -espacios y si CO ( X , Y ) denota el espacio de mapas continuos de X a Y con la topología compacta-abierta , el siguiente mapa es continuo:

k(VSO(X,Y))×kX→Y, (F,X)↦F(X).{\ Displaystyle k (CO (X, Y)) \ times _ {k} X \ to Y, ~ (f, x) \ mapsto f (x).}

Notas y referencias

1. terminología fluctúa. Adoptamos eso, actual, de Bruno Klingler, Homotopie, primera parte , Universidad de París 7 y (en) J. Peter May , Un curso conciso en topología algebraica ( leer en línea ) , cap.  5.
   (en) Neil P. Strickland  (de) , "  La categoría de los espacios CGWH  " ,2009[PDF] llama "generado de forma compacta" lo que Klingler llama "  espacio k ", y "Hausdorff débilmente generado de forma compacta" (CGWH: Hausdorff débilmente generado de forma compacta ) lo que Klingler llama "generado de forma compacta".
   El artículo (in) "  espacio topológico generado de forma compacta  " en NLAB  (in) da la misma terminología, pero Klingler indica que Strickland.
   (en) Edwin H. Spanier , Topología algebraica , Springer,1994( 1 st  ed. 1966), 548  p. ( ISBN  978-0-387-94426-5 , leer en línea ) , pág.  5y Steenrod 1967 llaman a los espacios k de Hausdorff “generados de forma compacta” , pero esta categoría no es óptima (véase infra ).
   Como ellos, (en) Saunders Mac Lane , Categorías para el matemático que trabaja [ detalle de la edición ], § VII.8 limita su estudio a los espacios k de Hausdorff, que él llama espacios CGHaus o Kelley .
2. (en) Allen Hatcher , Topología Algebraica , Nueva York, CUP ,2001, 544  p. ( ISBN  978-0-521-79540-1 , leer en línea ) , pág.  523-531
3. También decimos: "débilmente separados".
4. (in) NE Steenrod , "  Una categoría conveniente de espacios topológicos  " , Michigan Math. J. , vol.  14, n o  21967, p.  133-152 ( leer en línea )
5. (in) PI Booth y J. Tillotson , "  categorías monoidal cerradas, cerradas cartesianas y convenientes de espacios topológicos  " , Pacific J. Math. , vol.  88,1980, p.  33-53 ( leer en línea )
6. (es) ¿Por qué la “W” en CGWH (compactamente generado débilmente espacios de Hausdorff)? , en MathOverflow
7. (en) Rudolf-E. Hoffmann , “  Sobre espacios débiles de Hausdorff  ” , Archiv der Mathematik , vol.  32, n o  1,1979, p.  487-504 ( leer en línea )
8. Strickland, op. cit. , pag. 1-2
9. (en) Mark Behrens, MIT , Algebraic Topology II Spring, 2010 Lectura 2: espacios generados de forma compacta , Observación 1.5
10. (in) Martín Escardó Jimmie Lawson y Alex Simpson , "  Comparación de categorías cerradas cartesianas de espacios (centrales) generados de forma compacta  " , Topología y sus aplicaciones , vol.  143, n hueso  1-3,Agosto de 2004, p.  105-145 ( leer en línea ), Corolario 3.4
11. (en) Jon Peter mayo y Johann Sigurdsson , parametrizada Teoría Homotopía , Providence (RI), AMS ,2006, 441  p. ( ISBN  978-0-8218-3922-5 , leer en línea ) , pág.  dieciséis
12. Tome la solicitud de identidad , de X a kX .

Ver también

Artículos relacionados

• Espacio generado contablemente
• Espacio finamente generado
• Grupo generado de forma compacta  (en)

Bibliografía

• (en) Ronald Brown , Topología y grupos , BookSurge,2006, 3 e  ed. , 512  p. ( ISBN  978-1-4196-2722-4 )
• (en) Stephen Willard , Topología general , Dover ,2012( 1 st  ed. 1970), 384  p. ( ISBN  978-0-486-13178-8 , leer en línea )

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