Clase Stiefel-Whitney

En topología algebraica , las clases de Stiefel-Whitney son clases características asociadas con paquetes de vectores de rango finito real.

Por tanto, constituyen un análogo real de las clases de Chern en el caso complejo.

Llevan los nombres de Eduard Stiefel y Hassler Whitney .

Cualquier clase característica asociada con paquetes de vectores reales aparece como un polinomio en las clases de Stiefel-Whitney.

Axiomático

Las clases de cohomología singulares con coeficientes en el anillo anneau / 2ℤ de cualquier paquete de vectores , ξ=mi→B{\ Displaystyle \ xi = E \ rightarrow B}

wno(ξ)∈Hno(B;Z/2Z) (no∈NO),{\ Displaystyle w_ {n} (\ xi) \ in H ^ {n} (B; \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}) ~ (n \ in \ mathbb {N}),}

están determinados únicamente por los siguientes axiomas :

• w0(ξ)=1{\ Displaystyle w_ {0} (\ xi) = 1}y para n estrictamente mayor que la dimensión de las fibras;wno(ξ)=0{\ Displaystyle w_ {n} (\ xi) = 0}
• si es un mapa continuo, entonces , donde denota el retroceso de ξ por f  ;F:B′→B{\ displaystyle f: B '\ rightarrow B} F∗(wno(ξ))=wno(F∗(ξ)){\ Displaystyle ~ f ^ {*} (w_ {n} (\ xi)) = w_ {n} (f ^ {*} (\ xi))}F∗(ξ){\ Displaystyle f ^ {*} (\ xi)}
• si denotamos , entonces donde denota la suma de Whitney y el producto de taza  ;w(ξ)=1+w1(ξ)+w2(ξ)+...{\ Displaystyle w (\ xi) = 1 + w_ {1} (\ xi) + w_ {2} (\ xi) + \ ldots}w(ξ⊕ξ′)=w(ξ)⌣w(ξ′){\ Displaystyle w (\ xi \ oplus \ xi ') = w (\ xi) \ smile w (\ xi')}⊕{\ Displaystyle \ oplus}⌣{\ Displaystyle \ smile}
• w1(γ1){\ Displaystyle w_ {1} (\ gamma ^ {1})}es el elemento distinto de cero de , donde denota el paquete de líneas tautológicas en ℝ P 1 .H1(RPAG1;Z/2Z){\ Displaystyle H ^ {1} (\ mathbb {R} P ^ {1}; \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z})}γ1{\ Displaystyle \ gamma ^ {1}}

La última condición asegura que las clases no sean triviales. De hecho, si elimináramos esta condición, podríamos establecer todo i > 0 . wI(ξ)=0{\ Displaystyle w_ {i} (\ xi) = 0}

Consecuencias

• Si es isomorfo a , entonces .ξ{\ Displaystyle \ xi}η{\ Displaystyle \ eta}wno(ξ)=wno(η){\ Displaystyle w_ {n} (\ xi) = w_ {n} (\ eta)}

• El segundo axioma también asegura que las clases Stiefel-Whitney de un paquete trivial sean cero (excepto la del índice 0). De hecho, un paquete trivial es isomorfo al producto fibroso de un paquete en el punto y la cohomología de un punto es trivial en una dimensión estrictamente positiva.

• El tercer axioma implica que la suma de un paquete con un paquete trivial no cambia sus clases Stiefel-Whitney. Por ejemplo, la suma del paquete tangente de S n con el paquete normal (que es un paquete trivial) es un paquete trivial y, por lo tanto, sus clases Stiefel-Whitney son cero para n > 0.

Solicitud

Si B es homotópicamente equivalente a un complejo CW , entonces un paquete de vectores E → B es orientable si y solo si . w1(mi)=0{\ Displaystyle w_ {1} (E) = 0}

Más allá de eso, un paquete de vectores orientado en una variedad X admite una estructura de espino si y solo si , y en este caso las diferentes estructuras de espino están en correspondencia uno a uno con . w2(mi)=0{\ Displaystyle w_ {2} (E) = 0}H1(X,Z2){\ Displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathbf {Z}} _ {2})}

Notas y referencias

1. (en) H. Blaine Lawson  (en) y Marie-Louise Michaelson , Spin Geometry , PUP ,1989( ISBN  978-0-691-08542-5 ), teorema 1.7 p. 82

Bibliografía

(en) John Milnor y James Stasheff , Characteristic Classes , Princeton University Press , coll.  "Annals of Mathematics Studies" ( n o  76)1974( leer en línea )

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