En álgebra , el término bivector designa un tensor antisimétrico de orden 2, es decir, una cantidad X que se puede escribir
,donde las cantidades ω a son formas lineales y el signo denota el producto externo .
Un bivector puede verse como una aplicación lineal que actúa sobre vectores y los transforma en formas lineales. Se puede considerar que los coeficientes X ab forman una matriz antisimétrica.
Los bivectores se utilizan ampliamente en la relatividad general , donde varios tensores se pueden vincular a bivectores. En particular, el tensor electromagnético es un bivector y el tensor de Weyl puede verse como una aplicación que actúa sobre los bivectores. Este hecho también está en el origen de una clasificación de los diferentes espacios según las características que presenta su tensor de Weyl en este contexto: se trata de la clasificación de Petrov .
Se dice que un bivector X es simple si se puede expresar en la forma del producto externo de dos formas lineales u y v , es decir, si tenemos
,o, en términos de componentes,
En el caso de una forma simple, se dice que la cantidad es de tipo de tiempo, tipo de espacio o tipo de luz según su valor (respectivamente positivo, negativo y cero en el caso donde la convención de signo de la métrica es (- ++ + ) y respectivamente negativo, positivo y cero en el caso de la convención inversa (+ ---)).
En un espacio de cuatro dimensiones en el que se define una métrica de Riemann , podemos usar el tensor de Levi-Civita para asociar un bivector con su bivector dual, anotado , de acuerdo con la fórmula
.El dual de un bivector dual corresponde al signo más cercano al vector original:
.Dos bivectores X e Y satisfacen con la ayuda de sus bivectores duales algunas propiedades como
,Se dice que un bivector complejo es autodual si satisface
.Cualquier bivector X se puede asociar con un bivector X * autodual combinándolo con su dual, según la fórmula
.El significado físico de un bivector autodual aparece al señalar que los seis componentes independientes de un bivector real se pueden transformar en un vector tridimensional complejo. Para ello, basta con elegir un vector de tiempo amable, uy definir la cantidad X a por
.Un simple cálculo hace posible inmediatamente reconstituir el bivector original, por
.El tensor electromagnético es un tensor antisimétrico de orden 2. Es, por tanto, un bivector. El vector X calculado por el método anterior da
.