Una partición de un conjunto X es una colección de piezas no vaciar de X pares disjuntos y cuya unión es X .
Sea X un conjunto . Un conjunto de partes de X es una partición de X si:
El conjunto {1, 2, 3} tiene las siguientes particiones:
Tenga en cuenta que:
En el caso de que todos los elementos de la partitura tengan la misma cardinalidad, encontramos el lema de los pastores .
La partición vacía es una partición del conjunto vacío (además es la única) ya que todos sus elementos (no hay ninguno) tienen todas las propiedades deseables (aquí: no estar vacío y disjunto) y que su unión es vacía ( por definición ).
Si una relación de equivalencia se da en el conjunto X , entonces el conjunto de todas las clases de equivalencia forma una partición de X . Por el contrario, si se da una partición P de X , entonces podemos definir una relación de equivalencia en X denotada por ~, por x ~ y si y solo si existe, entre los elementos de P , una parte de X que contiene en ambos x y y . Las nociones de relación de equivalencia y partición son, por tanto, fundamentalmente equivalentes.
El conjunto de todas las particiones de un conjunto X no vacío está parcialmente ordenado : por definición, una partición es más fina que otra si divide los elementos de la otra en partes más pequeñas. Este orden parcial forma una celosía completa de la cual el elemento más pequeño (la partición menos fina) es la partición gruesa en una parte ( X ) y el más grande (la partición más delgada) es la partición en singletons .
El número de Bell , B n , es el número de particiones de un conjunto de n elementos.
El número de particiones diferentes de un conjunto con n elementos indistinguibles es el número de particiones de un entero .
El número de sus particiones en exactamente k subconjuntos es el número de Stirling del segundo tipo S ( n , k ).