Función gamma incompleta
En análisis matemático , hay varias definiciones de funciones gamma incompletas : para un parámetro complejo a con una parte real estrictamente positiva,
γ(a,X)=∫0Xta-1mi-tDt,Γ(a,X)=∫X∞ta-1mi-tDt=Γ(a)-γ(a,X),PAG(a,X)=γ(a,X)Γ(a)=1Γ(a)∫0Xmi-tta-1Dt,γ∗(a,X)=X-aPAG(a,X)=X-aΓ(a)γ(a,X).{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ gamma (a, x) & = \ int _ {0} ^ {x} t ^ {a-1} {\ rm {e}} ^ {- t} {\ rm {d}} t, \\\ Gamma (a, x) & = \ int _ {x} ^ {\ infty} t ^ {a-1} {\ rm {e}} ^ {- t} {\ rm {d}} t = \ Gamma (a) - \ gamma (a, x), \\ P (a, x) & = {\ frac {\ gamma (a, x)} {\ Gamma (a)}} = {\ frac {1} {\ Gamma (a)}} \ int _ {0} ^ {x} {\ rm {e}} ^ {- t} t ^ {a-1} {\ rm {d} } t, \\\ gamma ^ {*} (a, x) & = x ^ {- a} P (a, x) = {\ frac {x ^ {- a}} {\ Gamma (a)}} \ gamma (a, x). \ end {alineado}}}
Derivados
La derivada de la función gamma incompleta Γ ( a , x ) con respecto ax es el opuesto del integrando de su definición integral:
∂Γ(a,X)∂X=-Xa-1mi-X.{\ Displaystyle {\ frac {\ partial \ Gamma (a, x)} {\ partial x}} = - x ^ {a-1} {\ rm {e}} ^ {- x}.}
La derivada con respecto al parámetro a viene dada por
∂Γ(a,X)∂a=en(X)Γ(a,X)+X T(3,a,X){\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ Gamma (a, x)} {\ parcial a}} = \ ln (x) \ Gamma (a, x) + x ~ T (3, a, x)}
y la segunda derivada por
∂2Γ(a,X)∂a2=en2(X)Γ(a,X)+2X (en(X) T(3,a,X)+T(4,a,X)),{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {2} \ Gamma (a, x)} {\ parcial a ^ {2}}} = \ ln ^ {2} (x) \ Gamma (a, x) + 2x ~ (\ ln (x) ~ T (3, a, x) + T (4, a, x)),}
donde la función T ( m , a , x ) es un caso especial de la función G de Meijer (en)
T(metro,a,z)=GRAMOmetro-1,metro metro, 0(X|0,0,...0-1,-1,...,a-1,-1).{\ Displaystyle T (m, a, z) = G_ {m-1, m} ^ {~ m, ~ 0} \ left (x \ left | {\ begin {array} {c} 0,0, \ ldots 0 \\ - 1, -1, \ ldots, a-1, -1 \ end {matriz}} \ right. \ Right).}
Este caso particular tiene propiedades internas de cierre que le son específicas porque permite expresar todas las derivadas sucesivas. En general,
∂metroΓ(a,X)∂ametro=enmetro(X)Γ(a,X)+metroX ∑I=0metro-1PAGImetro-1enmetro-I-1(X) T(3+I,a,X){\ Displaystyle {\ frac {\ parcial ^ {m} \ Gamma (a, x)} {\ parcial a ^ {m}}} = \ ln ^ {m} (x) \ Gamma (a, x) + mx ~ \ sum _ {i = 0} ^ {m-1} P_ {i} ^ {m-1} \ ln ^ {mi-1} (x) ~ T (3 + i, a, x)}
donde P denota el factorial decreciente :
PAGjI=I!(I-j)!.{\ Displaystyle P_ {j} ^ {i} = {\ frac {i!} {(ij)!}}.}
Todos estos derivados se pueden producir a partir de
∂T(metro,a,X)∂a=en(X) T(metro,a,X)+(metro-1)T(metro+1,a,X){\ Displaystyle {\ frac {\ parcial T (metro, a, x)} {\ parcial a}} = \ ln (x) ~ T (metro, a, x) + (m-1) T (metro + 1 , a, x)}
y
∂T(metro,a,X)∂X=-1X(T(metro-1,a,X)+T(metro,a,X)).{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial T (m, a, x)} {\ parcial x}} = - {\ frac {1} {x}} (T (m-1, a, x) + T ( m, a, x)).}
Esta función T ( m , a , x ) se puede calcular mediante su representación serial, válida para | z | <1 :
T(metro,a,z)=-(-1)metro-1(metro-2)!Dmetro-2Dtmetro-2[Γ(a-t)zt-1]|t=0+∑I=0∞(-1)Iza-1+II!(-a-I)metro-1{\ Displaystyle T (m, a, z) = - {\ frac {(-1) ^ {m-1}} {(m-2)!}} \ left. {\ frac {{\ rm {d} } ^ {m-2}} {{\ rm {d}} t ^ {m-2}}} \ left [\ Gamma (at) z ^ {t-1} \ right] \ right | _ {t = 0} + \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {i} z ^ {a-1 + i}} {i! (- ai) ^ {m -1 }}}}
y siempre que el parámetro a no sea un número entero negativo o cero. En este último caso, se debe utilizar un límite. Resultados para | z | ≥ 1 puede obtenerse mediante continuación analítica . Algunos casos especiales de esta función se pueden simplificar. Por ejemplo,
T(2,a,X)=Γ(a,X)XmitX T(3,1,X)=mi1(X),{\ Displaystyle T (2, a, x) = {\ frac {\ Gamma (a, x)} {x}} \ quad {\ rm {y}} \ quad x ~ T (3,1, x) = {\ rm {E}} _ {1} (x),}
donde E 1 es la integral exponencial . Las derivadas y la función T ( m , a , x ) proporcionan las soluciones exactas a un número de integrales mediante la diferenciación repetida de la definición integral de la función gamma incompleta Γ ( a , x ) . Por ejemplo,
∫X∞ta-1enmetro(t) mi-tDt=∂metro∂ametro∫X∞ta-1mi-tDt=∂metro∂ametroΓ(a,X).{\ Displaystyle \ int _ {x} ^ {\ infty} t ^ {a-1} \ ln ^ {m} (t) ~ {\ rm {e}} ^ {- t} {\ rm {d}} t = {\ frac {\ parcial ^ {m}} {\ parcial a ^ {m}}} \ int _ {x} ^ {\ infty} t ^ {a-1} {\ rm {e}} ^ { -t} {\ rm {d}} t = {\ frac {\ parcial ^ {m}} {\ parcial a ^ {m}}} \ Gamma (a, x).}
Esta fórmula se puede "inflar" más o generalizar a una clase considerable de transformadas de Laplace o Mellin . Cuando se combina con un sistema de álgebra por computadora , la explotación de funciones especiales proporciona un método poderoso para resolver integrales definidas, especialmente aquellas encontradas por aplicaciones prácticas de ingenieros.
Notas y referencias
(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en
inglés titulado
" Función gamma incompleta " ( consulte la lista de autores ) .
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(en) Milton Abramowitz e Irene Stegun , Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas [ detalles de publicación ] ( leer en línea ).
-
(in) KO Geddes (in) , ML Glasser, RA Moore y TC Scott, "Evaluación de clases de integrales definidas que involucran funciones elementales vía diferenciación de funciones especiales", AAECC (Álgebra aplicable en ingeniería, comunicación y computación) , vol. 1, 1990, pág. 149-165 , DOI : 10.1007 / BF01810298 .
Bibliografía
- (en) KO Geddes y TC Scott, “Recetas para clases de integrales definidas que involucran exponenciales y logaritmos” , en E. Kaltofen y SM Watt, Computers and Mathematics , Springer-Verlag,1989( DOI 10.1007 / 978-1-4613-9647-5_24 ) , pág. 192-201
- (en) Serge Winitzki, “Computación de la función Gamma incompleta con precisión arbitraria” , en Computational Science and Its Applications - ICCSA 2003 ( leer en línea ) , p. 790-798
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">