Álgebra asociativa
En matemáticas , un álgebra asociativa (en un anillo conmutativo A ) es una de las estructuras algebraicas utilizadas en el álgebra general . Es un anillo (o simplemente un pseudo-anillo ) B provisto de una estructura adicional de módulo en A y tal que la ley de multiplicación del anillo B es A - bilineal . Por tanto, es un caso especial de álgebra sobre un anillo .
Definicion formal
Sea A un anillo conmutativo. Decimos que ( B , +,., ×) es un álgebra A asociativa cuando:
- ( B , + ,. ) Es un módulo A ,
- ( B , +, ×) es un pseudo-anillo ,
- ∀λ∈A, ∀X,y∈B,λ⋅(X×y)=X×(λ⋅y)=(λ⋅X)×y .{\ Displaystyle \ forall \ lambda \ in A, ~ \ forall x, y \ in B, \ qquad \ lambda \ cdot (x \ times y) = x \ times (\ lambda \ cdot y) = (\ lambda \ cdot x) \ veces y ~.}
![{\ Displaystyle \ forall \ lambda \ in A, ~ \ forall x, y \ in B, \ qquad \ lambda \ cdot (x \ times y) = x \ times (\ lambda \ cdot y) = (\ lambda \ cdot x) \ veces y ~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6402ed9d5d8e3285d8bd2d2e4eb4c1ee1a230434)
Los elementos de A se llaman escalares .
En el caso particular en el que el anillo A es un campo, hablamos de álgebra asociativa sobre un campo .
Hablamos de álgebra unitaria (o unificada) cuando B tiene un neutro para la multiplicación.
Ejemplos de
- Cualquier anillo ( M , +, ×) (e incluso cualquier pseudo-anillo) es también un álgebra asociativa para la ley externa definida por: para cualquier número entero y cualquier elemento de M ,
Z{\ Displaystyle \ mathbb {Z}}
no{\ Displaystyle n}
X{\ Displaystyle x}
{Si no>0 entonces no⋅X=X+X+...+X⏟no FoIs ,Si no<0 entonces no⋅X=-X-X-...-X⏟|no| FoIs ,Si no=0 entonces no⋅X=0 .{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} {\ text {si}} n> 0 {\ text {then}} & n \ cdot x = \ underbrace {x + x + \ ldots + x} _ { n \ \ mathrm {veces}} ~, \\ {\ text {si}} n <0 {\ text {luego}} & n \ cdot x = \ underbrace {-xx- \ ldots -x} _ {| n | \ \ mathrm {veces}} ~, \\ {\ text {si}} n = 0 {\ text {luego}} & n \ cdot x = 0 ~. \ end {matriz}} \ right.}![{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} {\ text {si}} n> 0 {\ text {then}} & n \ cdot x = \ underbrace {x + x + \ ldots + x} _ { n \ \ mathrm {veces}} ~, \\ {\ text {si}} n <0 {\ text {luego}} & n \ cdot x = \ underbrace {-xx- \ ldots -x} _ {| n | \ \ mathrm {veces}} ~, \\ {\ text {si}} n = 0 {\ text {luego}} & n \ cdot x = 0 ~. \ end {matriz}} \ right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803c200d5a1b5e8844704ab872e2a35395f9a0f9)
- Cualquier anillo es un álgebra asociativa en su centro , por lo tanto, en cualquier subanillo A de este centro.
- Sea A un anillo conmutativo.
Definición equivalente
Hay una definición equivalente cuando el álgebra B está unificada:
Deje que A sea un anillo conmutativo, B anillo, y un morfismo de anillos de tal manera que f ( A ) en el centro de B . Entonces podemos definir una ley externa que dota a B de una estructura de A- álgebra asociativa (y unificada).
F:A→B{\ Displaystyle f \ ,: \, A \ to B}
(a,B)↦F(a)B{\ Displaystyle (a, b) \ mapsto f (a) b}![{\ Displaystyle (a, b) \ mapsto f (a) b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e67c830af3839e0132ea8c8df6fe0efb89851bd8)
Por el contrario, si B es un álgebra A asociativa y unificada, es un morfismo de anillo tal que
F:a↦a.1B{\ Displaystyle f \ ,: \, a \ mapsto a.1_ {B}}![{\ Displaystyle f \ ,: \, a \ mapsto a.1_ {B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56feefd7c774052014304b4765fc821889f400c0)
(a.1B)×X=1B×(a.X)=(a.X)×1B=X×(a.1B) Entonces F(a)×X=X×F(a) ;{\ Displaystyle (a.1_ {B}) \ times x = 1_ {B} \ times (ax) = (ax) \ times 1_ {B} = x \ times (a.1_ {B}) ~ {\ text {entonces}} ~ f (a) \ times x = x \ times f (a) ~;}
Imagen A está contenido en el centro de B .
Ver también
Calificación y referencia
-
Definición utilizada por ejemplo en Serge Lang , Algebre [ detalle de ediciones ]
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">